梅鳳翔　吳惠彬　李彥敏

1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京100081； 2. 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 北京100081； 3. 商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院， 商丘476000； ?E-mail: meifx@bit.edu.cn

?

Nielsen方程的兩類廣義梯度表示

梅鳳翔1，?吳惠彬2李彥敏3

1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京100081； 2. 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 北京100081； 3. 商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院， 商丘476000； ?
E-mail: meifx@bit.edu.cn

提出兩類廣義梯度系統(tǒng)， 并研究其性質(zhì)。給出 Nielsen 方程成為廣義梯度系統(tǒng)的條件。利用廣義梯度系統(tǒng)的性質(zhì)， 研究Nielsen方程解的穩(wěn)定性。舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

Nielsen方程； 廣義梯度系統(tǒng)； 穩(wěn)定性

北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

1935 年哥本哈根高等技術(shù)學(xué)校理論力學(xué)教授Nielsen［1］給出一類完整系統(tǒng)的動力學(xué)方程， 后人稱其為 Nielsen 方程。文獻［2-7］推廣了 Nielsen 方程。然而， 至今沒有一個有效方法來積分 Nielsen方程， 或研究其解的穩(wěn)定性。分析力學(xué)一般都研究力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 如文獻［8-9］。梯度系統(tǒng)特別適合用 Lyapunov 函數(shù)來研究［10］。McLachlan 等［11］研究了各類梯度系統(tǒng)。有關(guān)約束力學(xué)系統(tǒng)與梯度系統(tǒng)關(guān)系的研究已有一些結(jié)果， 如文獻［12-15］。但是，在這些研究中， 梯度系統(tǒng)中的矩陣和函數(shù)都不含時間。如果梯度系統(tǒng)中的矩陣或函數(shù)包含時間t， 則稱其為廣義梯度系統(tǒng)。有兩類廣義梯度系統(tǒng)對研究系統(tǒng)解的穩(wěn)定性特別有用: 一類是廣義斜梯度系統(tǒng)，另一類是具有對稱負(fù)定矩陣的廣義梯度系統(tǒng)。本文將完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)的 Nielsen 方程在一定條件下化成這兩類廣義梯度系統(tǒng)， 并利用廣義梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究Nielsen方程解的穩(wěn)定性。

1　兩類廣義梯度系統(tǒng)

一類是廣義斜梯度系統(tǒng)， 其微分方程為

因此， 若V可以成為Lyapunov函數(shù)， 例如， 在有解的鄰域內(nèi)是正定的， 且有則由Lyapunov定理知， 解是穩(wěn)定的。這個重要性質(zhì)可用來研究可化成廣義斜梯度系統(tǒng)的非定常力學(xué)系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。

另一類重要的廣義梯度系統(tǒng)是具有對稱負(fù)定矩陣的廣義梯度系統(tǒng)， 其微分方程為

2　方程的廣義梯度表示

研究受有雙面理想完整約束的力學(xué)系統(tǒng)， 其位形由n個廣義坐標(biāo)來確定。Nielsen方程為

令

則方程（6）可寫成一階形式:

其中，

如果系統(tǒng)還受有g(shù)個雙面理想Chetaev型非完整約束:

那么運動微分方程有形式

其中βλ為約束乘子。由方程（10）和（11）， 可在運動微分方程積分之前求出βλ為，，t˙ qq的函數(shù):

將其代入方程（11）， 得

其中，

稱方程（13）為與非完整系統(tǒng)（10）和（11）相應(yīng)的完整系統(tǒng)的方程。若運動初始條件滿足約束方程（10）， 則相應(yīng)完整系統(tǒng)（13）的解就給出非完整系統(tǒng)的運動。因此， 只需研究方程（13）。由方程（13）可解出所有廣義加速度， 記為

令

則方程（15）可寫成一階形式：

其中，

一階方程（8）或（17）一般還不能成為廣義梯度系統(tǒng)（1）或（3）。對于方程（8）， 若存在反對稱矩陣和函數(shù)V（t，a），

則它可成為廣義梯度系統(tǒng)（3）。類似地， 若有

則方程（17）可成為廣義斜梯度系統(tǒng)（1）。若有則方程（17）可成為廣義梯度系統(tǒng)（3）。

如果條件（19）～（22）不滿足， 可選其他一階形式，例如， 取

其中A和B待定， 以便化成廣義梯度系統(tǒng)。

3　算例

例1單自由度系統(tǒng)的動能和廣義力分別為

其中各量已無量綱化， 試建立 Nielsen 方程并研究零解的穩(wěn)定性。

《規(guī)范》對車站細(xì)水霧滅火系統(tǒng)的相關(guān)條文做了比較明確的規(guī)定，但部分條文對于地鐵車站的特點仍存在一些適用性爭議，而原細(xì)水霧滅火系統(tǒng)在地鐵車站中的成熟應(yīng)用方案是基于地方規(guī)范或行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，是否仍可沿用尚需驗證及討論。本文主要描述了細(xì)水霧滅火系統(tǒng)在地鐵中的一種成熟應(yīng)用方案，以及《規(guī)范》實施后相關(guān)的條文所帶來的主要影響，在必須執(zhí)行《規(guī)范》的前提下，結(jié)合原設(shè)計方案，提出一種新的細(xì)水霧滅火系統(tǒng)的應(yīng)對方案，以供參考。

解經(jīng)計算， 有

Nielsen方程

給出

令

則有

它可寫成形式

其中矩陣是反對稱的， 而

這是一個廣義斜梯度系統(tǒng)。V在120 aa==的鄰域內(nèi)正定， 且有

因此， 零解a1a=2=0穩(wěn)定。

例2單自由度系統(tǒng)的動能和廣義力分別為

試建立Nielsen方程并研究零解的穩(wěn)定性。

解Nielsen方程

給出

令

則方程可寫成一階形式

它可寫成形式

其中矩陣是對稱負(fù)定的， 函數(shù)V為

這是一個廣義梯度系統(tǒng)（3）。V在a1=a2=0 的鄰域內(nèi)正定， 且V˙負(fù)定。因此， 零解a1=a2=0是漸近穩(wěn)定的。

例 3系統(tǒng)的動能， 廣義力和非完整約束分別為

試建立Nielsen方程， 并研究零解的穩(wěn)定性。

解Nielsen方程（11）給出

解得

將之代入第一個方程， 得

令

則有

它可寫成形式

其中矩陣是對稱負(fù)定的， 函數(shù)V為這是一個廣義梯度系統(tǒng)（3）。V在120 aa==的鄰域內(nèi)正定， 且V˙負(fù)定。因此， 零解120 aa==是漸近穩(wěn)定的。

4　結(jié)論

本文將非定常 Nielsen 方程， 無論完整的， 還是非完整的， 在一定條件下化成廣義梯度系統(tǒng)（1）或（3）， 并使梯度系統(tǒng)中的函數(shù)V成為Lyapunov函數(shù)，這樣就可借助廣義梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究這類力學(xué)系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。

［1］ Nielsen J. Vorlesungen über Elementare Mechanik. Kopenhagen: übersetzt und Bearbeitet Von Werner Fenchel， 1935

［2］ 梅鳳翔. 非完整力學(xué)系統(tǒng)的廣義 Nielsen 方程. 力學(xué)與實踐， 1980， 2（3）: 61-62

［3］ Mei F X. On the Nielsen's operator and the Euler's operator for nonholonomic systems // Proc of IUTAM-ISIMM symposium on modern developments in analytical mechanics. Torino， 1982: 627-634

［4］ Mei F X， Capodanno P. Sur les équations du mouvement des systèmes non holonomes de masse variable. Rev Roum Sci Tech Méc Appl， 1983， 28（2）: 123-137

［5］ Liu Z F， Jin F S， Mei F X. Nielsen's and Euler's operators of higher order in analytical mechanics. Appl Math Mech， 1986， 7（1）: 53-63

［6］ 丁光濤. 高階 Nielsen 方程. 科學(xué)通報， 1987， 32（12）: 908-911

［7］ 陳立群. 變質(zhì)量可控力學(xué)系統(tǒng)中的 Nielsen 算子和Euler算子. 固體力學(xué)學(xué)報， 1989， 10（3）: 275-278

［8］ 陳濱. 分析動力學(xué). 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社，2012

［9］ 梅鳳翔. 分析力學(xué)（上卷）. 北京: 北京理工大學(xué)出版社， 2013

［10］ Hirsch M W， Smale S. Differential equations，dynamical systems， and linear algebra. New York: Springer-Verlag， 1974

［11］ McLachlan R I， Quispel G R W， Robidoux N. Geometric integration using discrete gradients. Phil Trans R Soc Lond A， 1999， 357: 1021-1045

［12］ Chen X W， Zhao G L， Mei F X. A fractional gradient representation of the Poincaré equations. Nonlinear Dyn， 2013， 73: 579-582

［13］ 樓智美， 梅鳳翔. 力學(xué)系統(tǒng)的二階梯度表示. 物理學(xué)報， 2012， 61（2）: 024502

［14］ 梅鳳翔， 吳惠彬. 廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示.動力學(xué)與控制學(xué)報， 2012， 10（4）: 289-292

［15］ 梅鳳翔， 崔金超， 吳惠彬. Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示和分?jǐn)?shù)維梯度表示. 北京理工大學(xué)學(xué)報， 2012， 32（12）: 1298-1300

Two Kinds of Gradient Representations for Nielsen Equations

MEI Fengxiang1，?， WU Huibin2， LI Yanmin3

1. School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081； 2. School of Mathematics， Beijing Institute of technology， Beijing 100081； 3. Department of Physics and Information Engineering， Shangqiu Normal College， Shangqiu 476000；? E-mail: meifx@bit.edu.cn

The two kinds of generalized gradient systems are proposed and the characteristics of the two systems are studied. The conditions under which the Nielsen equations can be considered as one of the two generalized gradient systems are obtained. The characteristics of the generalized gradient systems can be used to study the stability of solution of the Nielsen equations. Some examples are given to illustrate the application of the results.

Nielsen equation； generalized gradient system； stability

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.078

國家自然科學(xué)基金（10932002，11272050， 11372169）資助

2015-10-07；

2016-02-07； 網(wǎng)絡(luò)出版時間: 2016-07-12