劉世興　邢　燕　劉　暢　郭永新

1. 遼寧大學(xué)物理學(xué)院， 沈陽 110036； 2. 遼東學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

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對稱約化對完整系統(tǒng)數(shù)值積分的影響

劉世興1邢燕1劉暢1郭永新2，?

1. 遼寧大學(xué)物理學(xué)院， 沈陽 110036； 2. 遼東學(xué)院機(jī)械電子工程學(xué)院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

研究對稱約化對完整系統(tǒng)數(shù)值積分的影響。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)， 對稱約化對完整系統(tǒng)的數(shù)值積分結(jié)果沒有本質(zhì)的影響， 但是在約化后的系統(tǒng)下進(jìn)行數(shù)值積分可以有效地減少程序編寫的難度和計算時間。對于復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)， 可以先對其進(jìn)行對稱約化， 以獲得較少自由度的動力學(xué)系統(tǒng)， 然后在約化系統(tǒng)下進(jìn)行數(shù)值計算， 間接地研究原系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)。

完整系統(tǒng)； 對稱約化； 數(shù)值積分

北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）doi: 10.13209/j.0479-8023.2016.077

自20世紀(jì)末期， 對稱約化理論提出以來， 一直是幾何動力學(xué)領(lǐng)域的熱門課題之一， 并廣泛應(yīng)用于力學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)等多個領(lǐng)域， 如固體力學(xué)、流體力學(xué)、場論、量子力學(xué)和廣義相對論等［1］。對稱約化的主要目的是利用系統(tǒng)的對稱性消除動力學(xué)系統(tǒng)的部分局部坐標(biāo)變量， 從而簡化實(shí)際的動力學(xué)系統(tǒng)。對稱約化的思想最早源于 Routh［2］于 1884 年利用循環(huán)坐標(biāo)對系統(tǒng)進(jìn)行化簡， 這種化簡理論對應(yīng)于現(xiàn)代的 Lagrange 約化理論?，F(xiàn)代約化理論始于 20 世紀(jì)六七十年代 Arnold［3-4］和Smale［5］的重要工作， Arnold開展了Lie群約化方法，Smale 引入動量映射概念。Marsden 等［6］在前人工作的基礎(chǔ)上， 利用等變動量映射開展辛流形上的約化理論， 使現(xiàn)代約化理論走向成熟， 并得到廣泛應(yīng)用［7-8］。目前， 完整約束力學(xué)系統(tǒng)的幾何動力學(xué)約化理論已經(jīng)非常成熟， 大體上包括: 辛約化［9］、Poission 約化［1］和 Lagrange 約化［1，10］。對稱性約化理論在研究約束系統(tǒng)幾何動力學(xué)及應(yīng)用以及約束系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法中發(fā)揮著非常重要的作用， 為研究約束系統(tǒng)幾何數(shù)值積分的幾何不變性質(zhì)提供了新的途徑。但是， 在現(xiàn)有的少量研究工作中， 對稱約化理論在約束力學(xué)系統(tǒng)幾何數(shù)值積分的研究中， 還沒有發(fā)揮其應(yīng)有的作用。較復(fù)雜的動力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過對稱約化得到一個簡單的新的動力學(xué)系統(tǒng)， 系統(tǒng)方程的性質(zhì)發(fā)生了變化， 變量所代表的物理含義有時也發(fā)生改變， 那么約化系統(tǒng)與原系統(tǒng)的內(nèi)部聯(lián)系， 特別是一些重要的性質(zhì)是否能夠很好地得以保留， 對原系統(tǒng)和約化后的系統(tǒng)分別做數(shù)值積分， 對稱約化對數(shù)值積分的結(jié)果是否會受到影響？ 本文就這一問題展開探討， 通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對稱約化對數(shù)值積分的影響。首先， 簡要介紹完整約束系統(tǒng)的辛約化理論； 然后， 簡要介紹完整約束系統(tǒng)的數(shù)值積分方法， 并應(yīng)用數(shù)值積分方法計算約化前和約化后系統(tǒng)的動力學(xué)方程， 比較約化前后動力學(xué)變量的數(shù)值結(jié)果； 最后得出結(jié)論。

1　完整約束系統(tǒng)的辛約化

完整約束力學(xué)系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 形式。定義 Hamilton 系統(tǒng)為這里是辛流形， Ω是辛 2-次型， H是定義在流形M上的Hamilton函數(shù)。系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程可以表示成如下形式:

這里#dH表示 Hamilton 矢量場。辛流形在 Lie 群G的作用下， 可以表示為或者，對任意的gG∈和xM∈， 映射φ可以局域的表示為

如果對于任意一個gG∈， Lie群G在辛流形（，）MΩ上的作用φ滿足如下等式:

則該作用gφ是辛的。

定義（辛約化）辛流形（，）MΩ的辛約化是M的子流形（或侵入子流形）N到辛流形的侵沒滿射: :πNP→， 滿足如下方程:

辛約化滿足 Marseden-Weinstein-Meyer 辛約化定理［2，6］。取點(diǎn)，xMμ*∈∈G是辛流形M和 Lie 代數(shù)上*

G的點(diǎn)， 其在對稱性Lie群G作用φ下的軌跡分別為Gx·和μO， 它們對應(yīng)的迷向群分別為xG和Gμ， 對應(yīng)的 Lie 代數(shù)分別為xG和μG， 則可以得到如下的辛約化定理。

定理設(shè)Lie群G作用在辛流形（，）MΩ上， 并且該作用有一個等變動量映射

如果存在正則值

且存在伴隨余迷向子群

則Gμ自由而正常的作用于

上； 如果存在內(nèi)映射

和正則投影映射

則一定存在具有辛結(jié)構(gòu)?μΩ的商流形

滿足

并且存在一個侵入映射φ使得

是/MG的一個子流形。這里/MG由自然投影映射

確定。定理證明參見文獻(xiàn)［2，6］。

2　完整約束系統(tǒng)的辛幾何算法

完整約束系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 正則方程（1）的形式， 如取 Hamilton 函數(shù)H為2n個變量（p1， …， pn； q1， …， qn）的可微函數(shù)， 并令

則方程（1）可以表示成如下坐標(biāo)形式:

這里τ是時間步長， 還可以在此基礎(chǔ)上構(gòu)造具有更高精度的差分格式， 如4階辛差分格式［12］。

3　數(shù)值算例和結(jié)論

眾所周知， 平面 Kepler 問題是典型的二體問題， 且滿足機(jī)械能守恒和角動量守恒。令為該二體問題的廣義坐標(biāo)， 并取

則可以得到系統(tǒng)的Hamilton函數(shù):

從而得到系統(tǒng)的Hamilton方程:

這里， 1/，ur=r 和θ是對應(yīng)的極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，且滿足

在Lie群變化下， 方程（8）可以約化為一維諧振子的運(yùn)動方程:

是系統(tǒng)的角動量，

這里，

是原二體系統(tǒng)的機(jī)械能。從而得到方程（9）對應(yīng)的Hamilton方程:

取如下初始條件:

從而系統(tǒng)的總能量

總角動量我們采用上面的辛差分格式（式（6））， 并取步長h=0.001， 分別計算方程（8）和（11）， 并比較數(shù)值結(jié)果。圖1給出系統(tǒng)的總能量和能量誤差， 圖2給出系統(tǒng)的總動量和動量誤差。

從圖 1和 2 可以看出， 雖然在原體系框架下計算得到的總能量沒有在約化后的體系中得到的結(jié)果好， 但是總動量的數(shù)值結(jié)果卻優(yōu)于約化體系中的數(shù)值結(jié)果。因此， 在約化前體系下和約化后體系下的數(shù)值結(jié)果并沒有本質(zhì)上的區(qū)別。并且， 我們求得的系統(tǒng)的總能量和總動量都在數(shù)值計算的誤差允許范圍內(nèi)， 數(shù)值結(jié)果都很好地保持了原有系統(tǒng)的守恒量。區(qū)別在于， 我們在約化后的體系下進(jìn)行數(shù)值研究， 由于體系的自由度減少， 從而減少了編程計算的難度， 同時也減少計算機(jī)機(jī)時。因此， 對于完整系統(tǒng)， 無論是在原體系框架下， 還是在約化后的系統(tǒng)中， 都可以得到滿意的數(shù)值結(jié)果， 但在約化體系下， 可以獲得簡潔的計算機(jī)程序， 并減少計算機(jī)工作時間。這對于復(fù)雜的完整動力學(xué)系統(tǒng)來說， 對動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行對稱約化， 以減少動力學(xué)系統(tǒng)的自由度數(shù)， 可以有效地進(jìn)行數(shù)值計算， 從而在約化系統(tǒng)下間接地研究原系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)。

［1］ Marsden JJ E， Ratiu T SS. Introductionn to mechanicss and symmmetry. 2nd ediition. New Yoork: Springer--Verlag， 19999

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The Affection of Symmetry Reduction to the Numerical Integration for Holonomic System

LIU Shixing1， XING Yan1， LIU Chang1， GUO Yongxin2，?

1. College of Physics， Liaoning Universtiy， Shenyang 110036； 2. School of Mechatronics Engineering， Eastern Liaoning University，Dandong 118001； ? Corresponding author， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

This paper researches the effection of symmetry reduction to the numerical integration for holonomic system. Through numerical experiment， there is not essential effection for numerical integrator when system is reduced to lower dimension. But under the reduced system， it can effectively decrease the difficulty of writing program and the time of computation. So for the complicated dynamical system， it should be firstly reduced by symmetry methods and obtain the dynamical system with less degree of freedom， then the dynamical nature of system can be researched under the reduced system.

holonomic system； symmetry reduction； numerical integration

O316

國家自然科學(xué)基金（11472124， 11572145， 11301350）和遼寧省博士啟動基金（20141050）資助

2015-10-09；

2016-03-01； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12