蘇常偉，朱海潮，毛榮富，蘇俊博

（1.海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

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振動理論與數(shù)值解法

ASAC系統(tǒng)中少測點條件下的近場聲壓誤差傳感策略

蘇常偉1，2，朱海潮1，2，毛榮富1，2，蘇俊博1，2

（1.海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

根據(jù)有源控制策略設(shè)計簡潔、有效的誤差傳感非常關(guān)鍵。針對基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略，具體設(shè)計與之對應(yīng)的少測點條件下近場聲壓誤差傳感策略。首先，通過分析聲壓聲輻射模態(tài)的空間濾波特性，證明基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略可行；然后，利用近場測量面上有限個測點的聲壓分布，通過求解模態(tài)展開所構(gòu)成的欠定方程組的最小模最小二乘解，獲取前K階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值，從而形成與基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略相對應(yīng)的近場聲壓誤差傳感策略；最后，以置于無限大障板上的鋼質(zhì)簡支薄板為例，進行數(shù)值仿真分析。結(jié)果表明設(shè)計的誤差傳感策略可行，所獲得的前K階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)具有較高的精度。

聲學(xué)；誤差傳感；近場聲壓；聲壓聲輻射模態(tài)；有源結(jié)構(gòu)聲控制；少測點

近年來，為了有效控制振動結(jié)構(gòu)低頻輻射噪聲，有源結(jié)構(gòu)聲控制（Active structural acoustic control，ASAC）技術(shù)受到了人們廣泛關(guān)注。在ASAC系統(tǒng)中，根據(jù)有源控制策略設(shè)計簡潔、有效的誤差傳感非常關(guān)鍵。所謂誤差傳感策略，是指在控制系統(tǒng)中獲取誤差信號的方法和手段。良好的誤差傳感策略既可采集到對輻射聲功率起主要作用的信息，有效實施有源控制策略，又可避免控制器處理過多輸入信息而導(dǎo)致運算能力下降［1］。傳統(tǒng)的ASAC系統(tǒng)采用位于遠場的聲學(xué)傳感器檢測聲學(xué)量（如場點聲壓）作為誤差信號，構(gòu)成系統(tǒng)的目標函數(shù)，這在實際應(yīng)用中受到一些限制，不僅難以獲得全局控制效果，而且會由于結(jié)構(gòu)作動器和傳感器之間存在“時延”而導(dǎo)致控制效果不佳。

Borgiotti等學(xué)者在90年代初期提出聲輻射模態(tài)的概念，并指出聲輻射模態(tài)的重要特性：每階聲輻射模態(tài)單獨輻射聲功率［2］。由此，一種基于聲輻射模態(tài)的有源控制策略應(yīng)運而生，即只要控制有限的幾階主導(dǎo)輻射模態(tài)的聲功率，就能有效地控制結(jié)構(gòu)的低頻輻射噪聲，這使得有源結(jié)構(gòu)聲控制的實現(xiàn)大為簡便。根據(jù)聲功率表達式中參量形式不同，聲輻射模態(tài)可分為振速聲輻射模態(tài)、聲壓聲輻射模態(tài)、源強（源強密度）聲輻射模態(tài)和力聲輻射模態(tài)等。目前，國內(nèi)外學(xué)者普遍選用結(jié)構(gòu)表面振速聲輻射模態(tài)進行該有源控制策略的研究，其對應(yīng)的誤差傳感策略關(guān)鍵在于采集到對聲功率起主要貢獻的幾階主導(dǎo)振速聲輻射模態(tài)信息。已知梁、板等簡單結(jié)構(gòu)在中、低頻時的主導(dǎo)輻射模態(tài)即為其前幾階聲輻射模態(tài)。TANAKA等使用聚偏氟乙烯（Polyvinylidene fluoride，PVDF）壓電傳感器測量簡支板的振速聲輻射模態(tài)［3］。吳錦武、李雙等則對利用PVDF壓電薄膜測量平板結(jié)構(gòu)前幾階振速聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)進行了深入研究［4-5］。然而，雖然通過設(shè)計PVDF壓電薄膜形狀可以測量聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)，但要同時獲得前幾階聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)所需要的PVDF薄膜個數(shù)非常多，階次越高薄膜形狀越復(fù)雜，且PVDF傳感器的設(shè)計受到振動結(jié)構(gòu)邊界條件的限制，這會在實際應(yīng)用中帶來不便。吳錦武、姜哲等提出可在振動結(jié)構(gòu)上測量有限個點的振動速度分布，通過求解欠定方程組得到前幾階振速聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)近似值，這種直接測量結(jié)構(gòu)表面振速的方法在實驗中較為常用［6］。然而，對于一些對安裝傳感器比較敏感的振動結(jié)構(gòu)，該方法便不再適用，比如：

（1）非常薄的振動結(jié)構(gòu)（比如薄板、薄殼等），它們對外界附加質(zhì)量非常敏感，測點陣列的安裝不可避免地會改變其振速場，從而導(dǎo)致有源控制策略無法有效實施；

（2）在實際應(yīng)用中，在一些結(jié)構(gòu)表面布置傳感器陣列存在極大困難，同時布置位置也會受到各種條件的限制。

陳克安等為了解決有源聲學(xué)結(jié)構(gòu)中誤差信息的傳感問題，推導(dǎo)了基于近場聲壓的輻射聲功率計算公式，指出利用近場聲壓作為誤差信息可以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)聲輻射的有源控制［7］。這就為安裝傳感器陣列比較敏感的振動結(jié)構(gòu)提供了一個可行的誤差傳感途徑。然而，對于如何利用近場聲壓數(shù)據(jù)具體設(shè)計可以獲得全局控制效果、易于工程實現(xiàn)且適用于敏感結(jié)構(gòu)的誤差傳感策略，文獻［7］并沒有開展具體研究及驗證。本文從聲壓聲輻射模態(tài)出發(fā)，具體設(shè)計了一種少測點條件下的近場聲壓誤差傳感策略，并對其有效性和可行性進行數(shù)值仿真驗證，后續(xù)研究中還將開展測點布置優(yōu)化研究以實現(xiàn)更少測點、更高精度。

1　基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略

目前，國內(nèi)外學(xué)者對振速聲輻射模態(tài)進行了全面且深入的研究，而對聲壓聲輻射模態(tài)的研究還比較少。本文首先討論聲壓聲輻射模態(tài)的空間濾波特性，論證基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略是否可行。

和振速聲輻射模態(tài)的求解方法類似，文獻［8］給出了聲壓聲輻射模態(tài)的基本算法，這里不再贅述。振動結(jié)構(gòu)表面的聲壓可以表示為各階聲壓聲輻射模態(tài)疊加的形式

其中P為結(jié)構(gòu)離散后由表面聲壓組成的N維列向量；Φ為N×N維矩陣，其列向量φi為結(jié)構(gòu)的聲壓聲輻射模態(tài)，模態(tài)之間相互正交；ci=φiTP為第i階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)，c為由ci組成的N維列向量；N為離散單元數(shù)目。

振動結(jié)構(gòu)的輻射聲功率可寫為

其中λi（i=1，2，…N）為每階聲壓聲輻射模態(tài)對應(yīng)的特征值，從物理意義上講，λi與各階模態(tài)的聲輻射效率成正比。

接下來建立聲壓聲輻射模態(tài)頻域和空間波數(shù)域的聯(lián)系，用于分析聲壓聲輻射模態(tài)的空間濾波特性。以一置于無限障板上的正方形簡支平板為例，取邊長L=0.5 m。將平板離散為25×25個等面積單元，圖1為平板在頻率為380 Hz時的前6階聲壓聲輻射模態(tài)，圖2給出了圖1中平板的前六階聲壓聲輻射模態(tài)對應(yīng)的波數(shù)域譜。由圖2可見，此頻率下傳播波成分主要集中在前幾階模態(tài)中。分析低頻其它頻率，可得到相同結(jié)論。因此，在低頻時平板的聲壓聲輻射模態(tài)具有明顯的空間濾波特性，即前幾階聲壓聲輻射模態(tài)輻射的聲功率占結(jié)構(gòu)總聲功率的絕大部分。由此可得，控制前幾階聲壓聲輻射模態(tài)即可有效控制結(jié)構(gòu)的遠場聲輻射，即基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略是可行的。

圖1　平板前6階聲壓聲輻射模態(tài)

圖2　平板前6階聲壓聲輻射模態(tài)對應(yīng)波數(shù)域譜

2　誤差傳感策略

根據(jù)式（2）可知，基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略就是要通過控制使前K階聲壓聲輻射模態(tài)輻射的聲功率最小化，即ci→0，i=1，2，…，K。那么，與之相對應(yīng)的誤差傳感策略應(yīng)能夠提供前幾階聲壓聲輻射模態(tài)的伴隨系數(shù)信息。分析式（1），可以發(fā)現(xiàn)利用結(jié)構(gòu)表面聲壓分布求解模態(tài)伴隨系數(shù)需首先解決兩個問題：（1）實際應(yīng)用中只能測量近場聲壓；（2）實際應(yīng)用中很難獲得結(jié)構(gòu)表面所有的聲壓分布。文獻［9］對問題（1）進行了研究，并得到結(jié)論：只要測量面與源面間距遠小于聲波波長，則與源面等面積的測量面聲壓可以近似作為有源控制的誤差變量?；诖耍槍栴}（2）具體設(shè)計一種少測點條件下基于聲壓聲輻射模態(tài)的近場聲壓誤差傳感方法，來獲取前幾階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值。

由聲壓聲輻射模態(tài)的空間濾波特性可知，式（1）的右端具有良好的收斂性。為簡化計算，可采用模態(tài)截斷的形式來表示（考慮頻率相關(guān)項ω），

其中M為模態(tài)截斷階數(shù)，M＜＜N；S為測量面面積，與源面面積相等。為了獲得前K階聲壓聲輻射模態(tài)的伴隨系數(shù)ci（i=1，2，…，K，K＜M ），我們在近場測量面上選取N1個測點xl，l=1，2，…，N1，在每一個測量點xl測量近場聲壓，記為Pl（xl，ω ）。聲壓向量中有N1個元素是已知的，將式（3）中包含這些元素的方程都抽取出來重新組成一組方程組，用矩陣和向量形式表示為

式中P'為N1個測點的聲壓值Pl（xl，ω）組成的向量；φi'為聲壓聲輻射模態(tài)向量φi中對應(yīng)N1個測點所在單元的元素組成的向量；Φ'為M個向量φi'組成的矩陣，需要注意的是，這里不同向量φi'之間不再正交。

為實現(xiàn)少測點的目標，同時也為了保證誤差傳感的實時性，一般取N1＜M。這時，方程組（4）為欠定方程組，將存在無數(shù)組解，常規(guī)方法無法求得準確解，采用最小模最小二乘法求解方程組（4）的最佳逼近解，也稱最小模最小二乘解

3　誤差傳感策略對控制效果的影響

上一節(jié)中給出了基于聲壓聲輻射模態(tài)的近場聲壓誤差傳感策略，利用近場測量面少數(shù)點的聲壓分布即可得到前K階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值。下面以聲功率降低量作為評價控制效果的指標，分析上述誤差傳感策略對控制效果的影響，從而驗證其可行性。

當模態(tài)截斷階數(shù)為M時，振動結(jié)構(gòu)輻射聲功率可由式（2）改寫為

基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略就是要通過控制使前幾階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)變?yōu)榱?，即ci→0，i=1，2，3，4…。那么，控制后結(jié)構(gòu)的聲功率為

聲功率降低量為

然而，當利用近似值c?i來代替ci時，控制目標變?yōu)槭筩?i→0，i=1，2，…，K，其控制后的聲功率為

這時，聲功率降低量為

比較ΔLW和ΔLW'，若兩者一致，就可以判定上述基于聲壓聲輻射模態(tài)的近場聲壓誤差傳感方法是可行的，可以作為基于聲壓聲輻射模態(tài)的ASAC系統(tǒng)中的誤差傳感策略。

4　數(shù)值仿真分析

以置于無限大障板上的鋼質(zhì)簡支薄板為數(shù)值研究對象。以平板左下角頂點為坐標原點，建立正交坐標系。平板尺寸為L×B×h=0.5 m×0.5 m×0.008 m，彈性模量E=2×1011Pa，泊松比υ=0.28，材料密度 ρs=7 800 kg/m3，空氣中聲速 c0=343m/s。在平板上位置（0.125 m，0.125 m）處施加幅值為10 N的初始簡諧力Fp激勵平板產(chǎn)生聲場，頻率 f取100 Hz～800 Hz。

下面通過數(shù)值仿真驗證上述誤差傳感策略的有效性。將平板均勻離散為25×25個小面積單元，取測量面距離平板0.1 m，分別在測量面上均勻?qū)ΨQ地取3×3和5×5個測點，其位置分布如圖3所示。

利用上述誤差傳感策略，取模態(tài)截斷階數(shù)M=50，求解前K=4階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值。根據(jù)式（1）得到前4階伴隨系數(shù)的理論值，將近似值與之進行比較，并進行無量綱化處理，結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖3　測量面上測點位置分布

從圖4、圖5中可以看出，由式（5）得到的前4階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值與由式（1）得到的前4階伴隨系數(shù)的理論值大致吻合，尤其是第1、2、4階幾乎相等。增加測點數(shù)目，近似值與理論值更加接近。因此，利用該誤差傳感策略得到的聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值可以較好的替代理論值作為有源控制策略對應(yīng)的誤差信號，也即文中提出的少測點條件下的近場聲壓誤差傳感策略是有效的。

圖4　測點數(shù)N1=3×3時前4階模態(tài)伴隨系數(shù)對比

圖5　測點數(shù)N1=5×5時前4階模態(tài)伴隨系數(shù)對比

另外，圖中第1、2、4階伴隨系數(shù)分別在150 Hz、380 Hz、600 Hz處出現(xiàn)峰值，又經(jīng)計算可知，150 Hz、380 Hz、600 Hz分別為平板（1，1）階、（1，2）階、（2，2）階振動模態(tài)頻率，分析可以發(fā)現(xiàn)，平板以（1，1）階振動模態(tài)振動時，其對應(yīng)的主導(dǎo)輻射模態(tài)是第1階；平板以（1，2）階振動模態(tài)振動時，其對應(yīng)的主導(dǎo)輻射模態(tài)是第2階；平板以（2，2）階振動模態(tài)振動時，其對應(yīng)的主導(dǎo)輻射模態(tài)是第4階。這一結(jié)論和李雙在文獻［10］中提出的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)和聲輻射模態(tài)的對應(yīng)關(guān)系相符。

同時，驗證將上述誤差傳感策略用于基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源結(jié)構(gòu)聲控制時的可行性?；谑剑?）設(shè)計的近場聲壓誤差傳感策略對有源控制效果的影響，可通過對比由式（8）和式（10）得到的聲功率降低量來衡量，如圖6所示，實線表示根據(jù)式（8）得到的聲功率降低量，即理論值；虛線表示根據(jù)式（10）得到的聲功率降低量，即近似值。從圖6中可知，當測點數(shù)N1=3×3時，基于式（5）設(shè)計的誤差傳感策略可以得到較好的控制效果，除300 Hz～570 Hz頻段內(nèi)存在偏差外，其它頻率處與理想的控制效果基本一致；增加測點數(shù)至N1=5×5時，近似值與理論值吻合更好。這也就證明了利用式（5）得到前K階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)近似值的方法，作為基于聲壓聲輻射模態(tài)的ASAC系統(tǒng)中的誤差傳感策略是可行的。

圖6　測點數(shù)N1分別為3×3、5×5時聲功率降低量比較

5　結(jié)語

針對基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源控制策略，具體設(shè)計一種少測點條件下的近場聲壓誤差傳感策略，即中、低頻時，利用近場測量面上少數(shù)點的聲壓分布，通過式（5）求解前幾階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)的近似值，將其作為誤差傳感信號實現(xiàn)有源控制，并以置于無限大障板上的鋼質(zhì)簡支薄板為對象，進行了數(shù)值仿真分析。結(jié)果表明，利用上述誤差傳感策略獲得的前K階聲壓聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)具有較高的精度，且將其用于基于聲壓聲輻射模態(tài)的有源結(jié)構(gòu)聲控制是可行的。

文中設(shè)計的少測點條件下近場聲壓誤差傳感策略既不受振動結(jié)構(gòu)邊界條件的限制，也彌補了結(jié)構(gòu)表面誤差傳感方法在對安裝傳感器比較敏感的振動結(jié)構(gòu)上無法有效實施的缺陷。該策略只需要測量近場少數(shù)點的聲壓分布，簡潔，有效，易于工程實現(xiàn)。相比于遠場聲壓傳感，它能夠?qū)崿F(xiàn)全局控制效果，同時也使得ASAC系統(tǒng)簡單、輕便，符合向集成式系統(tǒng)發(fā)展的趨勢。

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Near Field Pressure Error Sensing Strategy under Less Measurement Point Condition forASAC Systems

SU Chang-wei1，2，ZHU Hai-chao1，2，MAO Rong-fu1，2，SU Jun-bo1，2

（1.Institute of Noise and Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise，Wuhan 430033，China）

It is very important to design a simple and effective error sensing system on the basis of active control strategy.In this paper，aiming at the active control strategy based on pressure acoustic radiation modes，an equivalent nearfield pressure error sensing strategy under less measurement point condition is designed in detail.First of all，by analyzing the spatial wave-filtering characteristics of the pressure acoustic radiation modes，the feasibility of the active control strategy based on the pressure acoustic radiation modes is proved.Then，by measuring the pressure distributions at a few measurement points in the near-field measurement surface and solving the underdetermined equations made of modal superposition，the approximate adjoint coefficients of the first K order radiation modes can be obtained.Thus，a near-field pressure error sensing method corresponding to the active control strategy based on the pressure acoustic radiation modes is developed.Finally，a simply supported steel plate in an infinitely large baffle is simulated as an example.The results show that the error sensing strategy proposed is feasible and the approximate adjoint coefficients of the first K order radiation modes are more precise.

acoustics；error sensing；near-field pressure；pressure acoustic radiation mode；active structural acoustic control；less measurement point

TB535

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.001

1006-1355（2016）04-0001-06

2015-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項目（51305452）

蘇常偉（1990-），男，山東省滕州市人，博士生，主要研究方向為振動與噪聲控制。E-mail:scwtz@163.com

朱海潮，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:haiczhu@163.com