李緯華,牛喜山
(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院機(jī)電學(xué)院,廣東廣州 510635;2.廣東華方工程設(shè)計(jì)有限公司,廣東廣州 510220)
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非線性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力分析的辛?xí)r間子域-迭代法
李緯華1,牛喜山2
(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院機(jī)電學(xué)院,廣東廣州510635;2.廣東華方工程設(shè)計(jì)有限公司,廣東廣州510220)
建立了用于非線性機(jī)械動(dòng)力響應(yīng)分析的辛?xí)r間子域-迭代法.首先,在任一時(shí)間子域內(nèi),將原非線性動(dòng)力方程分解為線性和非線性兩部分.對(duì)于線性方程,采用基于相空間非傳統(tǒng)Hamilton型變分原理的辛?xí)r間子域法求解.將線性響應(yīng)代入非線性項(xiàng)并視其為載荷,重復(fù)使用辛?xí)r間子域法迭代求解至一定精度,各解疊加即得原方程在當(dāng)前時(shí)間子域的數(shù)值解.然后,將這個(gè)時(shí)間子域的末端值作為下個(gè)時(shí)間子域的初始值,進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間子域的計(jì)算,如此遞推下去直到最后一個(gè)時(shí)間子域.結(jié)果表明,該方法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率.
非線性動(dòng)力學(xué);辛?xí)r間子域法;迭代法;變分原理;機(jī)械系統(tǒng)
非線性動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)理論是機(jī)械工程、土木工程、航空航天等工程學(xué)科的重要基礎(chǔ).機(jī)械工程中存在諸多的非線性問(wèn)題,機(jī)械系統(tǒng)中零部件的間隙、摩擦,非線性元件的存在和構(gòu)件具有的粘彈性質(zhì),都會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,繼而影響工作性能和可靠性[1].
對(duì)于多自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型,可采用解析法和數(shù)值法求解.雖然解析法在不斷發(fā)展,但目前只能求解一些特殊的問(wèn)題.因此,為滿足實(shí)際工程需要還需研究高性能的數(shù)值方法.對(duì)非線性動(dòng)力問(wèn)題,常用的數(shù)值方法可分為兩大類.一類是直接積分法,如Newmark法、Wilson法、Houbolt法等,這類方法簡(jiǎn)便易用,但存在能量耗散與相位誤差.另一類是將二階常微分方程組降為一階常微分方程組,再用數(shù)值方法求解,如Runge-Kutta法、Adams多步法、Taylor法和精細(xì)積分法[2]等.對(duì)于線性動(dòng)力問(wèn)題,基于Hamilton對(duì)偶方程的精細(xì)積分法幾乎可得到計(jì)算機(jī)上的精確解,將其用于非線性動(dòng)力問(wèn)題時(shí),也取得了一定的進(jìn)展.文獻(xiàn)[3]利用同倫變換將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性常微分方程組,然后利用精細(xì)積分法求解.文獻(xiàn)[4]將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性變系數(shù)常微分方程,利用高階乘法攝動(dòng)法確定傳遞矩陣,然后再用精細(xì)積分法求解.文獻(xiàn)[5-8]將非線性項(xiàng)納入非齊次項(xiàng),對(duì)非齊次項(xiàng)采用鐘-林格式、增維齊次化方法和直接數(shù)值積分方法處理并求解,這幾種處理方法或需要矩陣求逆,或大幅增加計(jì)算量,或忽視了矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
動(dòng)力學(xué)變分原理構(gòu)造算法,簡(jiǎn)便易行且具有很好的通用性和較高的計(jì)算效率.文獻(xiàn)[9-12]基于離散的變分原理構(gòu)造了一系列能夠保辛和動(dòng)量或保辛且保能量和動(dòng)量的算法.高強(qiáng)等[13]通過(guò)修正作用量給出了動(dòng)力學(xué)初值問(wèn)題的一系列保辛算法;羅恩等[14]基于相空間非傳統(tǒng)Hamilton變分原理提出了求解線性動(dòng)力方程的辛?xí)r間子域法.其中,辛?xí)r間子域法是一種無(wú)條件穩(wěn)定的算法,其計(jì)算精度與精細(xì)積分法相當(dāng),但在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的應(yīng)用研究還不夠深入.本文在此基礎(chǔ)上,將辛?xí)r間子域法與迭代法相結(jié)合,建立求解非線性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的辛?xí)r間子域-迭代法.算例結(jié)果表明,該方法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率.
一般地,集中質(zhì)量模型的多自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程可表示為
(1)
對(duì)(1)式所表示的線性動(dòng)力方程,當(dāng)初始條件滿足時(shí),其相空間非傳統(tǒng)Hamilton變分原理的泛函可表示為
(2)
其中,p=Mq為動(dòng)量列陣;p1和q1分別為時(shí)間末端點(diǎn)的動(dòng)量和位移列陣;°表示限制變分;~表示初始值.
對(duì)任一時(shí)間子域[ti,ti+1],用m次Lagrange插值多項(xiàng)式近似待求的位移與動(dòng)量,即
(3)
其中
其中,a和b分別是待定的時(shí)間子域插值點(diǎn)的位移和動(dòng)量列陣;φi(t)為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式的表達(dá)形式.此處插值點(diǎn)為高斯積分點(diǎn).
將(3)式代入(2)式,取t1=Δt=ti+1-ti,采用具有m個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分法積分,可得
(4)
(5)
其中,
從(5)式可以得到
(6)
(6)式為辛?xí)r間子域法的計(jì)算遞推格式.計(jì)算出各系數(shù)矩陣后,求解線性方程組(6)式即可得到當(dāng)前時(shí)間子域內(nèi)各時(shí)間點(diǎn)的位移和動(dòng)量.將該時(shí)間子域末端的結(jié)點(diǎn)位移和動(dòng)量向量作為下一時(shí)間子域的初始狀態(tài)值,繼續(xù)計(jì)算下去就形成遞推.
集中質(zhì)量模型的多自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程可表示為
(7)
記(7)式的解為q(t),對(duì)弱非線性問(wèn)題,可設(shè)
(8)
其中q0(t)是對(duì)應(yīng)線性方程(1)的解.
將(8)式代入(7)式
(9)
原非線性動(dòng)力方程可以分離為線性和非線性兩部分,即
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
將(10)~(11)式的解疊加,即得到原非線性動(dòng)力方程在當(dāng)前時(shí)間子域的解.將這個(gè)時(shí)間子域的末端值作為下一時(shí)間子域的初始值,進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間子域的計(jì)算,如此遞推下去直到最后一個(gè)時(shí)間子域,這就是本文建立的辛?xí)r間子域-迭代法.
3.1非線性單擺
表1 非線性單擺幅角計(jì)算結(jié)果比較(rad)
3.2非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)
對(duì)非平衡的Jeffcott轉(zhuǎn)子,如圖1所示.該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為軸對(duì)稱系統(tǒng),故只考慮其在一個(gè)平面內(nèi)的振動(dòng).設(shè)盤(pán)的位移為x,支承質(zhì)量的位移為y,則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)方程為[15]
(15)
圖1 非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖
(a)x方向位移響應(yīng)
(b)y方向位移響應(yīng)
時(shí)間/s200300400500本文方法(Δt=0.01s)-8.912781.958729.0601111.41802-2.142960.476012.183982.73173RK-4法(Δt=0.001s)-8.912691.958989.0605711.41793-2.143010.475832.184012.73196
兩者結(jié)果吻合.說(shuō)明本文方法取較大時(shí)間步長(zhǎng),經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算(t=0~500s)后,仍可保持較高精度,是一種高性能的算法.
3.3非線性平行不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)
在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中,轉(zhuǎn)子不對(duì)中是不可避免的,是引起機(jī)械故障的重要原因.對(duì)圖3所示平行不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng),其無(wú)量綱化后的動(dòng)力方程組為[16]
圖3 不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖
(16)
取ω0=0.2,ζ=0.2,ε=0.5,零初始條件,采用本文方法(m=2,Δt=0.08)計(jì)算得到系統(tǒng)的位移響應(yīng)及軸心軌跡如圖4所示(響應(yīng)均是經(jīng)過(guò)充分衰減后的穩(wěn)態(tài)解),可以看出此時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)是準(zhǔn)周期的;若ε=2,其他參數(shù)不變,從圖5所示的結(jié)果可以看出,此時(shí)的振動(dòng)具有周期性,這與實(shí)際情況比較相符.
(a)x方向位移響應(yīng)圖
(b)軸心軌跡圖
(a)x方向位移響應(yīng)圖
(b)軸心軌跡圖
將非線性機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力方程從形式上分離為線性和非線性兩部分,結(jié)合哈密頓系統(tǒng)的辛?xí)r間子域法和迭代法,建立了計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的辛?xí)r間子域-迭代法.該法繼承和發(fā)展了辛?xí)r間子域法,也補(bǔ)充和豐富了非線性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的分析方法.通過(guò)對(duì)非線性單擺、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算,可以看出該法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率,是求解非線性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力問(wèn)題的一種有效方法.
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(責(zé)任編輯孫對(duì)兄)
Symplectic time subdomain iterative method formechanicalsystemswithnonlinearities
LIWei-hua1,NIUXi-shan2
(1.College of Electromechanical Engineering,Guangdong Polytechnic Normal University,Guangzhou 510635,Guangdong,China;2.GuangdongHuafangArchitectural&EngineeringDesignCo.,LTD,Guangzhou510220,Guangdong,China)
Asymplectictime-subdomainiterativemethodfornonlinearmechanicalsystemisproposedinthispaper.Firstly,theresponseofthenonlineardynamicequationisdividedintothelinearpartandnonlinearpartinanytime-subdomain.Forthelinearpart,symplectictime-subdomainalgorithmbasedonunconventionalHamiltonincrementalvariationalprincipleinphasespace,isusedtosolvethelinearequation.Thenonlineartermistreatedasloadbysubstitutingwiththelinearresponse,thusthesymplectictime-subdomainalgorithmisusedrepeatedlyuntiltheerrorissatisfied.Thesolutionsoftwopartscanbecomposedtogethertogetthenumericalresultsoforiginalequationincurrenttime-subdomain.Then,theobtainedendvaluesarealsoregardedastheinitialvaluesofthenexttimesubdomainandtheiterationwillberepeateduntilthevaluesofthefinaltimesubdomain.Numericalexampleispresentedtodemonstratetheaccuracyandthecomputationalefficiency.
nonlineardynamics;symplectictimesubdomainalgorithm;iterativemethod;variationalprinciple;mechanicalsystems
10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.006
2016-03-10;修改稿收到日期:2016-05-03
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202247)
李緯華(1978—),女,甘肅慶陽(yáng)人,講師,博士.主要研究方向?yàn)楣茴D體系下工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的理論和方法.E-mail:lwh927@163.com
O313.2
A
1001-988Ⅹ(2016)04-0022-05