王仲根 沐俊文 林涵 聶文艷

1) (安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院, 淮南 232001)

2) (淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院, 淮南 232001)

1 引 言

矩量法[1]是求解頻域積分方程的一種有效數(shù)值方法, 被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)雷達(dá)散射截面計(jì)算、天線設(shè)計(jì)與分析、電磁環(huán)境預(yù)估、電磁兼容設(shè)計(jì)等領(lǐng)域.但矩量法需要對(duì)目標(biāo)精細(xì)剖分, 隨著目標(biāo)電尺寸的增大, 計(jì)算復(fù)雜度以及內(nèi)存需求都會(huì)急劇增大.為解決這個(gè)問題, 一些快速有效的矩量法被提出來, 如快速多極子法(fast multipole method,FMM)[2]、多層快速多極子法 (multilevel fast multipole method, MLFMM)[3,4]、預(yù)修正-快速傅立葉變換法(precorrected fast Fourier transform,P-FFT)[5]、自適應(yīng)積分法(adaptive integral method, AIM)[6]等, 這些方法可以降低矩陣向量積計(jì)算復(fù)雜度, 但不能減少未知數(shù)的數(shù)目.為降低未知數(shù)的數(shù)目, 有學(xué)者提出將宏基函數(shù)引入到矩量法中, 如子全域基函數(shù)法[7]、復(fù)合基函數(shù)法[8]、子域多層法[9]、特征模法[10,11]以及特征基函數(shù)法(characteristic basis function method, CBFM)[12-14],其中CBFM因考慮到各子域間的耦合作用而備受關(guān)注.為提高CBFM計(jì)算效率, 文獻(xiàn)[15]提出應(yīng)用物理光學(xué)法生成特征基函數(shù)(characteristic basis functions, CBFs), 但精確度不高; 文獻(xiàn)[16,17]分別應(yīng)用自適應(yīng)交叉近似-LU分解技術(shù)、自適應(yīng)交叉近似-奇異值分解來高效生成CBFs; 文獻(xiàn)[18,19]提出一種CBFs融合構(gòu)造方法, 提高了CBFM的計(jì)算精度; 文獻(xiàn)[20-23]應(yīng)用自適應(yīng)交叉近似(adaptive cross approximation, ACA)算法、快速偶極子法加快矩陣向量積運(yùn)算, 提高縮減矩陣構(gòu)造效率; 文獻(xiàn)[24-26]將CBFM與MLFMM, AIM,P-FFT相結(jié)合, 通過迭代法求解縮減矩陣方程, 提高了CBFM分析電大目標(biāo)電磁散射問題的能力,但是隨著目標(biāo)電尺寸的增大, CBFs數(shù)目不斷增加,縮減矩陣維數(shù)會(huì)變得越來越大, 矩陣條件數(shù)變差,迭代求解縮減矩陣方程效率降低[27].

本文提出一種新型縮減矩陣構(gòu)造方法, 應(yīng)用奇異值分解技術(shù)壓縮激勵(lì)源, 基于新激勵(lì)源求解出各子域的特征基函數(shù).運(yùn)用伽略金方法構(gòu)造縮減矩陣時(shí), 將新激勵(lì)源和特征基函數(shù)作為檢驗(yàn)函數(shù)和基函數(shù), 得到一個(gè)對(duì)角子矩陣均為單位矩陣的縮減矩陣.新方法構(gòu)造的縮減矩陣與傳統(tǒng)方法構(gòu)造的縮減矩陣相比, 矩陣條件數(shù)得到了優(yōu)化, 迭代求解縮減矩陣方程的效率顯著提高, 并且該方法易于與MLFMM, AIM, P-FFT等算法相結(jié)合, 進(jìn)一步提高了特征基函數(shù)法分析電大尺寸目標(biāo)電磁散射問題的能力.

2 特征基函數(shù)法

CBFM首先將目標(biāo)劃分為M個(gè)鄰接的子域,再將每個(gè)子域剖分成Ni個(gè)單元(i=1, 2,...,M).為獲得一組包含多角度電流信息的CBFs,CBFM采用不同入射方向和極化的激勵(lì)照射每個(gè)子域, 假設(shè)總的激勵(lì)數(shù)為Npws=2NθN?,Nθ,N?分別表示在θ,?方向上的激勵(lì)數(shù)目, 于是子域i上的主要特征基函數(shù)(primary characteristic basis functions, PCBFs)即可通過下式求得:

式中,Ei表示擴(kuò)展子域i的激勵(lì)矩陣, 維數(shù)為表示擴(kuò)展子域i的自阻抗矩陣, 維數(shù)為為擴(kuò)展子域i的電流系數(shù)矩陣,維數(shù)為為擴(kuò)展子域i的未知數(shù)數(shù)目.通過直接求解(1)式, 得到擴(kuò)展子域i的.由于采用多角度激勵(lì)源得到的必然含有冗余信息,故通過奇異值分解(singular value decomposition,SVD)壓縮矩陣去除冗余信息, 即

式中,Ui和Vi均為酉矩陣, 維數(shù)分別為和為對(duì)角陣, 維數(shù)為通過設(shè)置合適的門限τ, 保留Ui中大于門限的前Ki個(gè)列向量并去除擴(kuò)展部分作為子域i的最終CBFs.假設(shè)子域i經(jīng)過 SVD后得到Ki個(gè) CBFs,則子域i的表面電流可由這Ki個(gè)CBFs線性組合表示:

式中,ZR表示所有子域CBFs之間的相互作用,維數(shù)為是激勵(lì)向量;α為待求CBFs系數(shù).縮減矩陣方程構(gòu)造原理與矩量法構(gòu)造阻抗矩陣方程相似, 子域i上的第m個(gè)CBFs與子域j上第n個(gè)CBFs之間的相互作用表示為

式中,Fi,m,Fj,n分 別表示子域i和j上的第m,n個(gè) CBFs;fi,p(r) ,fj,q(r) 分別為子域i和j上的第p,q個(gè) Rao-Wilton-Glisson (RWG)基 函 數(shù).Zij(p,q)=Zpq=〈fi,p(r),L(fj,q(r))〉,Zij表示子域i和j上所有RWG基函數(shù)之間的相互作用,Zpq是第p個(gè)RWG基函數(shù)和第q個(gè)RWG基函數(shù)之間的相互作用.Ji(p,m) 為聯(lián)系子域i中第m個(gè)CBFs和子域i中第p個(gè)RWG的線性標(biāo)出系數(shù), 這些系數(shù)構(gòu)造矩陣Ji中的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè) CBFs;Jj(q,n)為聯(lián)系子域j中第n個(gè) CBFs 和子域j中第q個(gè)RWG的線性標(biāo)出系數(shù),Ni和Nj分別表示子域i和j所包含的RWG基函數(shù)的數(shù)目.因此子域i和j所有CBFs之間的相互作用可以表示為

從(6)式和(7)式可以看出, 運(yùn)用伽略金方法構(gòu)造縮減矩陣時(shí), 使用Ji的共軛轉(zhuǎn)置同乘方程兩邊, 檢驗(yàn)函數(shù)和基函數(shù)均采用CBFs(Ji).由(6)式和(7)式可得整個(gè)縮減矩陣方程的表達(dá)式為

通過求解(8)式即可得到系數(shù)矩陣α, 通常求解(8)式可以選擇直接法求解, 但在分析電大復(fù)雜目標(biāo)時(shí), 縮減矩陣維數(shù)增大, 縮減矩陣方程需要通過迭代法求解.

3 新型縮減矩陣構(gòu)造

為提高縮減矩陣方程迭代求解效率, 本文提出一種新型縮減矩陣構(gòu)造方法, 首先應(yīng)用SVD對(duì)激勵(lì)矩陣進(jìn)行壓縮:

設(shè)定門限τ去除Ui中具有線性相關(guān)性的分量并將其表示為, 并將定義為激勵(lì)基函數(shù).假設(shè)每個(gè)子域經(jīng)過SVD后包含Li個(gè)激勵(lì)矢量, 將新的激勵(lì)源代入到(1)式, 求解出每個(gè)子域的CBFs:

由于Li?Npws, 可以顯著減少方程求解次數(shù).通過求解(10)式, 每個(gè)子域可得到Li個(gè)將分別作為構(gòu)建縮減矩陣的檢驗(yàn)函數(shù)和基函數(shù), 則縮減矩陣子矩陣可以表示為

4 數(shù)值算例

為驗(yàn)證本文方法(novel characteristic basis function method, NCBFM)的有效性和精確性,分別對(duì)導(dǎo)體球、錐球帶縫體的雙站RCS以及杏仁體的單站RCS進(jìn)行了計(jì)算.所有算例均在Intel(R) Core(TM) i5-6200U 2.30 GHz, 48 GB RAM 的PC 機(jī)上完成, 編譯器采用Visual studio 2013, BiCGStab迭代誤差為 0.001, 為了驗(yàn)證NCBFM計(jì)算精度, 定義電流系數(shù)均方根誤差為

算例1計(jì)算一個(gè)半徑為λ導(dǎo)體球的雙站RCS, 入射頻率為 300 MHz, 入射角度θ=0°,?=0°.應(yīng)用三角單元剖分球表面, 未知數(shù)為17278, 目標(biāo)劃為8個(gè)子域.NCBFM和CBFM均為每個(gè)子域構(gòu)造800個(gè)激勵(lì), 圖1(a)給出了2種方法在不同SVD門限下的電流誤差以及CBFs數(shù)目.從圖1(a)可以看出, 采用SVD壓縮激勵(lì)源, 電流誤差收斂速度更快; 另外, CBFM在分析電大復(fù)雜目標(biāo)時(shí), 激勵(lì)數(shù)目往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定, 存在大量冗余計(jì)算, 而應(yīng)用SVD對(duì)激勵(lì)源進(jìn)行壓縮, 只需設(shè)置合適的SVD門限, 就可以在保證精度的情況下減少冗余計(jì)算.根據(jù)電流誤差分析, CBFM和NCBFM的門限τ分別取0.005和0.008, 圖1(b)給出了左半球面4個(gè)子域SVD后奇異值的分布曲線.從圖1(b)可以看出, 2種方法在每個(gè)子域奇異值數(shù)目為80時(shí)即可達(dá)到門限設(shè)置要求, CBFM得到653個(gè)CBFs, 縮減矩陣維數(shù)為 6 53×653 , 矩陣條件數(shù)為5282, 采用BiCGStab迭代法求解縮減矩陣方程, 迭代26次即可收斂.NCBFM共得到649個(gè)CBFs, 縮減矩陣維數(shù)為 6 49×649 , 矩陣條件數(shù)為1785, 縮減矩陣方程迭代17次即可收斂,計(jì)算效率提高了34.6%.分別應(yīng)用CBFM和NCBFM計(jì)算了導(dǎo)體球HH極化雙站RCS, 計(jì)算結(jié)果如圖1(c)所示, 從圖1(c)可以看出,NCBFM與CBFM計(jì)算結(jié)果吻合較好, 計(jì)算精度較高.

圖1 (a)不同SVD門限下2種方法的計(jì)算誤差及CBFs數(shù)目; (b)左半球面4個(gè)子域的奇異值分布曲線; (c)導(dǎo)體球雙站RCSFig.1.(a) Calculation error and numbers of CBFs under different SVD thresholds of two methods; (b) singular value distribution curve in four sub-domains of the left hemisphere; (c) bistatic RCS of PEC sphere.

算例2計(jì)算一個(gè)錐球帶縫體的雙站RCS, 其幾何外形定義見文獻(xiàn)[28], 入射頻率為6 GHz, 入射角度θ=270°,?=0°.應(yīng)用三角單元剖分目標(biāo)表面, 得到124685個(gè)未知數(shù), 目標(biāo)被劃為48個(gè)子域.2種方法在每個(gè)子域上均設(shè)置1600個(gè)激勵(lì), CBFM的SVD門限為0.001, 共得到7829個(gè)CBFs, 若采用直接法(LU分解)求解縮減矩陣方程需要耗時(shí)1239.6 s, 而采用迭代法求解縮減矩陣方程, 迭代86次即可收斂, 耗時(shí)104.5 s.NCBFM的SVD門限為0.002, 共得到7775個(gè)基函數(shù), 縮減矩陣方程迭代求解45次即可收斂, 耗時(shí)57.3 s, 計(jì)算效率提高了45.2%.2種方法計(jì)算的HH極化雙站RCS如圖2所示, 從圖2可以看出NCBFM計(jì)算的結(jié)果與CBFM和FEKO吻合較好.

圖2 錐球帶縫體雙站RCSFig.2.Bistatic RCS of cone-sphere with gap.

算例3計(jì)算一個(gè)252.3744 mm杏仁體的單站RCS, 入射頻率為20 GHz, 入射角為θ=90°,φ=0°- 1 80°.用三角單元對(duì)目標(biāo)表面進(jìn)行剖分,共得到153690個(gè)未知數(shù), 目標(biāo)劃為52個(gè)子域.2種方法設(shè)置的激勵(lì)數(shù)均為1600, CBFM和NCBFM的SVD門限分別為0.001和0.002, 分別得到11410和11362個(gè)CBFs, 若采用直接法求解縮減矩陣方程, 需要耗時(shí)5387.3 s.應(yīng)用CBFM求解縮減矩陣方程, 迭代次數(shù)平均為128.2, 單次縮減矩陣方程求解平均耗時(shí)237.8 s; NCBFM迭代次數(shù)平均為63.5, 迭代次數(shù)減少了50.4%, 單次縮減矩陣方程求解平均耗時(shí)121.2 s.圖3給出了2種方法計(jì)算的HH極化單站RCS, 從圖3可以看出, NCBFM的計(jì)算結(jié)果與FEKO吻合較好, 具有較高的計(jì)算精度.

圖3 杏仁體HH極化單站RCSFig.3.Monostatic RCS in HH polarization of NASA almond.

表1給出了CBFM和NCBFM在阻抗矩陣填充、基函數(shù)構(gòu)造、縮減矩陣構(gòu)造以及縮減矩陣方程時(shí)的求解時(shí)間.從表1可以看出, NCBFM在基函數(shù)構(gòu)造方面計(jì)算效率有了小幅提高, 在縮減矩陣方程迭代求解方面計(jì)算效率都得到了顯著提高.

5 結(jié) 論

本文給出了一種新型縮減矩陣構(gòu)造方法, 該方法應(yīng)用奇異值分解技術(shù)壓縮激勵(lì)源, 并在新激勵(lì)源下求解出各子域的特征基函數(shù), 減少了冗余計(jì)算;在構(gòu)造縮減矩陣時(shí), 選擇激勵(lì)基函數(shù)和特征基函數(shù)作為檢驗(yàn)函數(shù)和基函數(shù), 將縮減矩陣的對(duì)角子矩陣優(yōu)化為單位矩陣, 提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率.數(shù)值結(jié)果證明了本文方法在保證精度的前提下, 有效地提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率.本文方法提高了縮減矩陣方程的迭代求解效率, 但在迭代過程中存在大量的矩陣向量積運(yùn)算, 今后會(huì)進(jìn)一步研究將多層快速多極子法、自適應(yīng)積分法、預(yù)修正-快速傅里葉變換法、快速偶極子法等算法引入到該方法中, 加快矩陣向量積運(yùn)算, 以提高特征基函數(shù)法分析電大目標(biāo)電磁散射特性的效率.

表1 計(jì)算時(shí)間比較Table 1.Comparison of computation time.