王 慧 敬

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150050)

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共軛A-調(diào)和張量加Ar(λ,Ω)權(quán)Poincaré-型估計

王 慧 敬

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150050)

Poincaré-型不等式是一個非常有趣且重要的課題，在此領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了一些重要的成果.給出共軛A-調(diào)和張量的加Ar(λ，Ω)權(quán)Poincaré-型估計式，其中G為Green算子、d*為Hodge上微分算子.

雙權(quán)函數(shù)；積分不等式；微分形式

眾所周知經(jīng)典的Poincaré-型積分不等式在偏微分方程的邊值理論中有重要作用.應(yīng)用Poincaré-型積分不等式可以證明泛函極值元的存在性；Poincaré-型積分不等式在用Moser迭代方法做解的L2模估計時有重要應(yīng)用；Poincaré-型積分不等式在橢圓型及拋物型解的Schauder估計中都有非常廣泛的應(yīng)用.Poincaré-型積分不等式的應(yīng)用不僅僅如此，在其他很多方面都有非常廣泛的用處.本文主要給出共軛A-調(diào)和張量的加Ar(λ,Ω)-權(quán)Poincaré-型估計式.

引理1設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，σ>1，0

‖d*v‖s,Q≤C|Q|(t-s)/ts‖d*v‖t,Q

對所有的滿足σQ?Ω的球體Q均成立.

在文獻(xiàn)[1]的推論2.6中，設(shè)微分形式u=d*v，于是便可得到下面的格林算子Poincaré-型不等式：

‖G(d*v)-(G(d*v))Q‖p,Q≤C‖d*v‖p,Q

(1)

下面的引理見文獻(xiàn)[2].

引理2設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，使得

(2)

對所有D?Ω均成立，這里ω是任一權(quán)，α>0是任一常數(shù).

引理3 如果(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ,Ω)那么存在不依賴于的常數(shù)β>1和C，使得

(3)

對所有的滿足Q?Ω的球體Q均成立.

定理1設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω),r>1,σ>1,0<α≤1,1+α(r-1)

(4)

對所有的滿足σQ?Ω的球體Q均成立.

證明首先，假設(shè)0<α<1，令s=q(1-α)，由推廣的H?lder不等式可得

(∫Q(|G(d*v)-(G(d*v))Q|ωλα/q)qdx)1/q≤

(5)

選取t=q/(α(r-1)+1)，那么t

‖G(d*v)-(G(d*v))Q‖s,Q≤C1‖d*v‖s,Q≤≤C2|Q|(t-s)/ts‖d*v‖t,σQ

(6)

由于1/t=1(q+(q-t)/qt，由推廣的H?lder不等式可得

(7)

綜合式(5)～(7)可得

(8)

由于(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ,Ω),于是

(9)

把式(9)代入式(8)中可得

(10)

由引理2及式(10)可得

(11)

故當(dāng)0<α<1時，定理1結(jié)論成立.下證當(dāng)α=1時，定理1結(jié)論也成立.

由引理3，存在β>1和C7>0使得

(12)

取s=qβ/(β-1)，那么s>q>1

由于1/q=1/s+(s-q)/qs，應(yīng)用推廣的H?lder不等式，結(jié)果參考文獻(xiàn)[3-5]和(12)可得

(∫Q|G(d*v)-(G(d*v))Q|sdx)1/s

(13)

取t=q/r，那么t

‖G(d*v)-(G(d*v))Q‖s,Q≤C9‖d*v‖s,Q≤C10|Q|(t-s)/ts‖d*v‖t,σQ

(14)

應(yīng)用推廣的H?lder不等式可得

(15)

綜合式(14)、(15)可得

‖G(d*v)-(G(d*v))Q‖s,Q≤

G11|Q|(t-s)/ts(∫σQ(|d*v|qω2dx)1/q

(16)

由于(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ,Ω)于是

C12|Q|r/q

(17)

把式(16)代入式(13)并使用式(17)，便有

‖G(d*v)-(G(d*v))Q‖s,Q≤

≤C14|Q|(1-β)/βq|Q|(t-s)/ts|Q|q/r‖d*v‖q,σQ,ω2≤C15‖d*v‖q,σQ,ω2

(18)

結(jié)合引理2，參考文獻(xiàn)[6-8]與(18)，便有

(19)

證畢.

設(shè)ω是任一權(quán)，定義Ω上ω∈W1,p(Ω,Λl,ωα)的范數(shù)為

‖ω‖W1,p(Ω),ωα=diam(Ω)-1‖ω‖p,Ω,ωα+‖▽ω‖p,Ω,ωα,0

(20)

定理2 設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程A(x,du)=d*v在Ω上的解，(ω1(x),ω2(x))∈Ar(λ,Ω),r>1,σ>1,0<α≤1,1

(21)

對所有的滿足σQ?Ω的球體Q均成立，這里α是任一滿足0<α≤1的正常數(shù).

證明 我們知道，對任意的光滑微分形式u有dG(u)=Gd(u).由于|▽ω|=|dω|(ω為任意微分形式)，則有

‖▽G(u)‖p,Q=‖dG(u)‖p,Q=‖Gd(u)‖p,Q≤C1‖du‖p,Q

應(yīng)用與定理1相同的證明方法，便可得

(22)

綜合(20)與(21)，便有

(23)

這里σ=max(σ1,σ2)，σQ?Ω.

應(yīng)用引理2及(23)可得

證畢.

[1]XINGY.Weightedpoincaré-typeestimatesforconjugateharmonictensors[J].J.Inequal.Appl., 2005(1): 1-6.

[2]AGARWALRP,DINGS,NOLDERCA.Inequalitiesfordifferentialforms[M].NewYork:Springer-Verlag, 2009.

[3]SCOTTC.theoryofdifferentialformsonmanifolds[J].Trans.Amer.Math.Soc., 1995, 347: 2075-2096.

[4]BAOG,XINGY,WUC.Two-weightpoincaréinequalitiesforthecompositionoperatorsonmanifolds[J].IllinoisJournalofMathematics, 2007, 51(3): 831-842.

[5]STAPLESSG.averagingdomainsandthepoincaréinequalities[J].Ann.Acad.Sci.Fenn.Ser.AIMath., 1989, 14: 103-127.

[6]WANGY,WUC.Sobolevimbeddingtheoremsandpoincaréinequalitiesforgreen'soperatoronsolutionsofthenonhomogeneousA-harmonicequation[J].Comput.Math.Appl., 2004, 47: 1545-1554.

[7]郭杰, 張慧林. 一類奇異雙調(diào)和方程的多解存在性[J]. 中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2007(1): 47-49.

[8]王友軍, 沈堯天. 一類含Hardy位勢的雙調(diào)和方程解的存在性[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2008, 36(12): 58-61.

Ar(λ,Ω)-weighted poincaré-type estimates for conjugate A-harmonic tensors

WANG Hui-jing

(Department of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050, China)

ThePoincaré-typeinequalityisareallyinterestingandimportantissue.Researchesinthisfieldhavemadesomeimportantachievements.ThedissertationmainlyprovidedtheAr(λ,Ω)-weightPoincaré-typeestimatesforconjugateA-harmonictensors.Inthedissertation, GisGreen’soperatorandd*istheHodgecodifferentialoperator.

two-weightfunction,integralinequality,differentialform

2015-10-14.

王慧敬(1973-)，男，碩士，副教授，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

O175.2

A

1672-0946(2016)04-0482-03