李之好，朱家明，呂　文， 林永綠

(1. 安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠233030；2. 安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠233030)

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倫敦黃金現(xiàn)貨與我國創(chuàng)業(yè)板指數(shù)尾部相關性

李之好，朱家明，呂文， 林永綠

(1. 安徽財經(jīng)大學 金融學院，安徽 蚌埠233030；2. 安徽財經(jīng)大學 統(tǒng)計與應用數(shù)學學院，安徽 蚌埠233030)

通過極值理論和Copula族函數(shù)對2011～2016年倫敦黃金現(xiàn)貨價格和我國創(chuàng)業(yè)板股票指數(shù)歷史收益率的相依結構進行研究. 結果顯示, 我國創(chuàng)業(yè)板指數(shù)與國際黃金現(xiàn)貨收益率之間的線性相關程度不顯著，但是非線性相關系數(shù)在上尾部為負值，在收益率的中間區(qū)域相關性逐漸增大，在下尾部相關性強度逐漸縮小，并最終呈微弱的正相關.因此可以判斷隨著我國創(chuàng)業(yè)板指數(shù)不斷下跌，倫敦黃金作為避險工具的效果會先增強，后減弱.

黃金；小盤股；POT模型；聯(lián)接函數(shù)；尾部相關性

在眾多的投資品種，黃金和股票代表著不同的風險偏好，黃金因其是“天然的貨幣”在金融危機來臨的時候具有價值存儲的功能，而股票因其經(jīng)常存在泡沫和價格波動劇烈而帶來較高的風險，因此人們普遍認為兩者會存在著一定的負向關系.但是想要做出合理的投資決策，需要精確地計算出二者的相關系數(shù).

當前國外的一些研究如Smith認為黃金價格和股票之間相關性的因不同的國家和金融市場的發(fā)展水平和樣本區(qū)間的長度有關[1].除此之外，學者Lawrence對一國的宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的變動是否影響黃金收益率的變動做了詳細的研究.研究結果表明，如國內生產(chǎn)總值、通脹率的變動與黃金的收益率沒有統(tǒng)計上的相關性[2].

在國內綜合研究國際黃金價格和國內股票指數(shù)相關性的文獻相對較少，肖倬和郭彥峰研究了中國黃金現(xiàn)貨價格與A股中單只股票的相互關系.他以上海黃金交易所的黃金現(xiàn)貨價格與上證交易所山東黃金股票價格為研究樣本，發(fā)現(xiàn)二者存在著動態(tài)關聯(lián)性，特別是黃金現(xiàn)貨價格波動較大時，二者的相關性更強.另外，袁晨，傅強發(fā)現(xiàn)，運用廣義自回歸條件異方差模型的均值方程中估計的關聯(lián)系數(shù)的變化表明，股票上升時期及在金融危機后期的兩個樣本區(qū)間內，我國股票市場與黃金市場之間存在市場傳染的現(xiàn)象[3-4].

盡管國內外學者都已經(jīng)做了不少有價值的研究，也得出了黃金和股票之間的一些重要結論.但是他們在選取標的股票指數(shù)上都存在著一定的主觀性，如未區(qū)分股票市場中的股性明顯不同的藍籌股和科技股，甚至在正常的股市大跌時優(yōu)質股票和概念股票成反向變動關系.因此本文選取對風險反應更為敏感的創(chuàng)業(yè)板指作為研究對象，探究在市場混亂的時候，即尾部風險發(fā)生時，國際黃金現(xiàn)貨價格和我國創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的聯(lián)動關系.本文采用POT對兩種資產(chǎn)的邊際分布進行建模，隨后將其投影到橢圓族Copula和三種阿基米德族Copula上，最終計算出尾部相關性.

1　模型設定

利用Copula模型研究相關性，一般分為兩個步驟，即先對單個資產(chǎn)的邊際收益率進行建模，然后用Copula函數(shù)將各個邊際分布函數(shù)連接起來.針對不用資產(chǎn)的收益率的分布特征和研究目的，選擇不同的邊際分布模型.這里主要對國際金價和股票指數(shù)的尾部相關性進行研究，選用極值方法相對合適.

1.1邊際分布建模

尾部收益損失分布一般不服從于中心極限定理，無法用傳統(tǒng)正態(tài)分布和T分布進行建模，這里選用專門對資產(chǎn)收益尾部狀況進行建模的方法[5].極值理論又簡單分為廣義極值(GEV)和廣義帕累托分布(GDP)，但是廣義極值(GEV)在參數(shù)估計時損失數(shù)據(jù)更為嚴重，這里只選取了較為常用的廣義帕累托對邊際分布進行建模.

1.1.1廣義帕累托

如果一個損失是獨立同分的，并且服從于.是值的一個門限值，定義超過門限值損失的分布為：

(1)

對于x>0，這個方程式給出了隨機變量X在超過門限損失的情況下至多為x的概率.盡管X本身的分布一般是任意未知的，但是只要隨著n足夠大，Gnedenko-Pickands-Balkema-deHaa(GPBdH)理論認為Fu(x)會極限收斂于廣義帕累托分布：

(2)

其中:β是范圍參數(shù)，決定了X的大致分布區(qū)域，ζ是形狀參數(shù)或u尾部指數(shù)參數(shù)，同廣義極值中的一樣，ζ也分三種情況，ζ?0代表厚尾，ζ=0代表尾部近似于正態(tài)分布，ζ0一般不被用來建模.

1.1.2Copula模型的設定[6-8]

1)橢圓族Copula

橢圓族Copula包括正態(tài)Copula和t-Copula函數(shù)等.其中二元正態(tài)Copula密度函數(shù)為：

其中:Φ-1是一元標準正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)，ρ是相關系數(shù)，在二元Copula模型中，ρ是Φ-1和Φ-1(v)的線性相關系數(shù).二元t-Copula密度函數(shù)為：

(3)

2)阿基米德族Copula

構造簡單，子函數(shù)多，具有優(yōu)良的性質，這使得阿基米德族Copula函數(shù)在金融建模中得到了廣泛的應用，阿基米德Copula的一般表達式為：

C(u1,…,un)=φ-1(φ(u1)+…+φ(un))

其中：φ(·)稱為C(，…，)的生成元，它是一個凸的減函數(shù).φ-1是φ(·)的逆函數(shù)，在(0，∞)區(qū)間內完全單調.Copula函數(shù)的形式由生成元唯一確定，不同的生成元φ(·)可構造不同類別的阿基米德Copula函數(shù).下面介紹三種比較常見的Copula函數(shù)的特稱.

2　實證分析

2.1數(shù)據(jù)選擇

這里選取的是英國倫敦黃金交易所黃金現(xiàn)貨每日收盤報價和我國A股市場上創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的每日收盤價(本文所有數(shù)據(jù)均來源于Wind數(shù)據(jù)庫)，樣本區(qū)間長度為2011年1月到2016年1月，其中兩個交易所存在開市日期不一致時，用線性插值將缺失數(shù)據(jù)進行補充.然后取對數(shù)收益率rt=lnpt-lnpt-1，因為對數(shù)收益率是平穩(wěn)時間序列.首先對我國A股市場上證綜指，滬深300，上證50，深圳成份指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指的股票收益率作描述性統(tǒng)計，目的是為了說明在A股中創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的風險輪廓與上證綜指和深成指不同，以便解釋樣本的選擇是研究股市與黃金價格相關性的一個驅動因子，結論是創(chuàng)業(yè)板股票指數(shù)收益率的波動率最大，即風險最大.

隨后分別對黃金現(xiàn)貨和股票指數(shù)收益率序列進行邊際建模，為了說明正態(tài)分布不適用于二者的邊際收益，觀察QQ圖(見圖1)發(fā)現(xiàn)對數(shù)收益率在兩倍標準差之后開始彎曲，表明了極端事件下黃金和股票指數(shù)收益率都不再服從正態(tài)分布，因此采用極值理論分別對黃金現(xiàn)貨和股票指數(shù)收益率的上尾部和下尾部進行刻畫.由于廣義極值分布參數(shù)估計較多，且不如POT的性質優(yōu)良，這里只對POT模型進行討論.

圖1　黃金現(xiàn)貨與創(chuàng)業(yè)板指數(shù)收益率QQ圖

2.2POT的估計

2.2.1閾值確定

為了對POT的估計，需要首先選擇合理的門限值從而確定超過門限的樣本數(shù)量，門限值的選擇也是一個POT理論的弱點，不可避免的會引入主觀性和隨意性.如果門限選擇太低，不能完全滿足GPBdH理論，如果門限選擇太高，會導致樣本數(shù)量太少，不利于參數(shù)估計.在這里可以選擇超限期望函數(shù)來判斷門限值[9]，當MEF近似變得水平時，說明門限值較為合適.圖2中的橫軸是閾值，縱軸是超過閾值數(shù)據(jù)的平均值，當門限值逐漸增加超限平均值逐漸開始平穩(wěn)時，就能近似判斷門限值的位置.圖2中MEF開始變平穩(wěn)的轉折點就可被當作閾值，表1分別給出了上、下尾部的閾值.通過對閾值的確定可以推斷：黃金的上限閾值小于股票的上限閾值，而下限的閾值大于股票下限的閾值，說明了黃金現(xiàn)貨的收益率上尾波動要小于股票指數(shù)收益率的上尾波動，而黃金的收益率下尾波動要大于股票指數(shù)收益率下尾波動；另外股票指數(shù)和黃金現(xiàn)貨收益率的下尾部極端值發(fā)生要比上尾部極端值發(fā)生頻繁，這是因為下跌時投資者恐懼心理是一致的，實際跌幅會超過預期跌幅；而上漲時投資者預期并不一致，實際漲幅小于預期漲幅.

圖2　股票指數(shù)與黃金現(xiàn)貨的收益率超期望分布圖

黃金我國創(chuàng)業(yè)板上尾閾值下尾閾值上尾閾值下尾閾值0.018-0.0280.020-0.025形狀參數(shù)(0.049,0.074)(0.008,0.017)(0.054,0.084)(0.006,0.013)尺度參數(shù)(-0.101,0.273)(-0.221,0.293)(-0.049,0.288)(-0.179,0.216)

2.2.2尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計

在確定上尾部和下尾部的閾值后，再對尺度參數(shù)和形狀參數(shù)進行估計，利用極大似然法估計ζ和β，下面給出對數(shù)極大似然函數(shù)：I(ζ,β)=

(4)

公式(4)也受制于的Gζ,β定義條件，當ζ>-0.5時，ML估計值是漸進正態(tài)的，表現(xiàn)相對優(yōu)良.估計結果見表2.從參數(shù)的數(shù)值符號可以看出，形狀參數(shù)全為正值，說明存在嚴重的肥尾效應，這與現(xiàn)實的金融市場狀況一致.尺度參數(shù)估計結果與閾值隱含的結論是完全一致，間接地說明了模型的合理性.

表2上尾部和下尾部相關系數(shù)

橢圓Copula阿基米德Copula正態(tài)tClaytonFrankGumbel上尾下尾上尾下尾2-/θτ2-2α-0.010-0.017-0.009-0.0110.0002-0.4707-0.018

2.3Copula函數(shù)估計

由于高階Copula參數(shù)估計可能計算量非常大，所有的參數(shù)都可以通過兩步極大似然法估計出來[10].結合2.2中估計結果，可以得出黃金和股票指數(shù)收益率具體POT分布函數(shù)，從已得出的函數(shù)出發(fā)，產(chǎn)生10 000組模擬收益率序列，用于不同Copula函數(shù)的估計.由于是對樣本的上尾部和下尾部單獨進行建模的，在使用橢圓Copula函數(shù)時就可以對上尾部和下尾部的相關性單獨研究.在使用阿基米德族Copula時，ClaytonCopula與FrankCopula分別對上尾部和下尾部建模.求解結果如Table2，需要注意的是，橢圓Copula計算出來的相關系數(shù)的線性的，而阿基米德Copula計算出來的是非線性相關性.從計算的結果發(fā)現(xiàn)：利用橢圓Copula得出的上尾部和下尾部相關性都是負的，并且下尾部的相關性要強于上尾部相關性，這就意味著當股市遇到一個大跌時，黃金上漲的幅度要比股市遇到一個大漲時黃金下跌的幅度要大，這一結論在中美股市相關性研究中也是存在的.主要是在因為下跌過程中風險的蔓延速度大于上漲過程中利好的傳遞速度.在使用阿基米德Copula計算相關性時，Gumbel函數(shù)計算出來的上尾部相關性顯著為負，說明股市的大漲和黃金市場的大漲不會同時發(fā)生；Frank函數(shù)計算出來的是市場收益相對穩(wěn)定下的相關系數(shù)，也為負值，并且大于上尾部相關系數(shù)，說明一般情況下股市不會和黃金市場一起上漲；Clayton計算出來的下尾部相關性為正值，但是相關性非常小，幾乎可以認為是不相關的，因為當股市遇到持續(xù)下跌時，人們先是尋找黃金避險，但是隨著風險逐漸向其他資產(chǎn)蔓延，黃金的避險性質會減弱，主要是布雷頓森林體系崩潰后，黃金失去了其貨幣性質，變成了更傾向于投資性質的資產(chǎn).但總的來說黃金作為價值儲藏的功能仍然存在.

另外利用橢圓Copula估計出來的線性相關系數(shù)都非常接近零，說明黃金和股市想線性相關性并不顯著.之所以如此，很大程度上是與我國金融市場仍然不夠開放有關，而且以散戶居多，對于系統(tǒng)性的下跌很難使用黃金作對沖.在現(xiàn)有的文獻研究中，以上證綜指和滬深300為研究標的得出結論都認為我國股票指數(shù)與國際金價存在著微弱的正相關或不相關，其本質都是在說明我國股市的風險因子并沒有傳遞到國際黃金價格上.但是表2中的結論顯示了黃金已經(jīng)成為我國高風險股票風險因子的轉移之處，說明了我國股市與國際市場聯(lián)系也在加緊.

2.4模型的檢驗

K-S檢驗[11]是用來檢驗單一樣本是否來自某一特定分布，因此可以用來對已經(jīng)估計出來的Copula函數(shù)進行檢驗，在給定聯(lián)合Copula函數(shù)下，利用計算機模擬方法產(chǎn)生足夠多的邊際樣本數(shù)量，將產(chǎn)生的邊際樣本與初始設定的邊際累積概率密度函數(shù)做比較，原假設：樣本不服從原邊際分布；備擇假設：樣本服從原邊際分布.表示假設的累積分布函數(shù)，表示一組隨機樣本累積分布函數(shù).設，當實際觀察值時，接受原假設，反之拒絕原假設.在Matlab工具箱中存有K-S檢驗函數(shù)，直接利用K-Stest命令對不同的Copula函數(shù)產(chǎn)生模擬樣本進行檢驗，檢驗的返回值，說明了在95%置信水平下可以拒絕原假設，即本文所使用的Copula函數(shù)是合適.

3　結　論

這里得到的一些結論與現(xiàn)有的參考文獻不是十分一致，主要原因是樣本標的以及樣本時間的選擇不同.部分研究結果認為黃金與股票結果存在著強的正相關，其所用的樣本主要是上證綜指和滬深300等反應不太靈敏的指數(shù)，這些指數(shù)除非是一些較大金融恐慌才會有較明顯的反應，而創(chuàng)業(yè)板指則屬于對風險較為敏感的指數(shù)，這恰好是和黃金的資產(chǎn)性質相反的一面.另外盡管已經(jīng)得出創(chuàng)業(yè)板指和國際金價反向變動的關系，但是這種關系顯然不是線性，且相關性也只是在上尾部較為顯著，說明了在金融危機來臨時，投資者是可以通過購買黃金避免資產(chǎn)減值，但是如果風險持續(xù)蔓延，黃金的避險性質會減弱，但不會立刻消失.

[1]SMITHG.ThepriceofgoldandstockindicesforUnitedStates[Z]．WorldGoldCouncil，2002．

[2]LAWRENCEC.whyisgolddifferentfromotherassetsAn-empiricalinvestigation[Z]．WorldGoldCouncil, 2003．

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Study on tail correlation between London golden cash and GEM index of China

LIZhi-hao1,ZHUJia-ming2,LVWen1,LINYong-lv1

(1. School of Finance, Anhui University of Finance & Economics, Bengbu 233000, China;2.SchoolofStatisticsandAppliedMathematics,AnhuiUniversityofFinance&Economics,Bengbu233000,China)

ThefunctionsofcopulafamilyandextremevaluetheorywereusedtostudyontheinteractionofinternationalgoldandGEMindexofChina,dependingonhistoricaldatafrom2011to2016.TheresultsshowedthattherewasaninsignificantnegativelylinercorrelationbetweengoldencashpriceofLondonandGEMindexofourcountry.Butthenonlinearcorrelationdisplayedtheminusvalueatuppertail,andstrengthenedgraduallyatthecentralrateofreturn.Then,thecorrelationcoefficientbegantoweaken,endingupwithsubtlypositivevalueatlowtail.Finally,itcouldbeconcludedthatthehedgingfunctionofLondongoldfirstlyroseupandthenmoveddown,coupledwiththecontinuousfallofGEMindexmarketinChina.

goldcash;small-capstock;peakoverthreshold;copulafunction;taildependence

2016-04-13.

國家自然科學基金(1130100)；安徽財經(jīng)大學大學生科研創(chuàng)新項目(XSKY1613ZD).

李之好(1992-)，男，研究方向：金融工程.

朱家明(1973-)，男，碩士，副教授，研究方向：應用數(shù)學與數(shù)學建模.

F832.5

A

1672-0946(2016)04-0508-05