鞏　娟

(遼寧職業(yè)學(xué)院，遼寧 鐵嶺 112099)

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一類中立型時滯系統(tǒng)的嚴格耗散控制

鞏娟

(遼寧職業(yè)學(xué)院，遼寧 鐵嶺 112099)

研究了時滯中立型系統(tǒng)的嚴格耗散控制器的設(shè)計問題。首先基于模型轉(zhuǎn)換，將中立型系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為奇異系統(tǒng)，然后利用線性矩陣不等式方法和Lyapunov方法相結(jié)合，得到狀態(tài)反饋嚴格耗散控制器的存在條件，并給出控制器的設(shè)計方法。在證明過程中不進行放大，從而降低了結(jié)論的保守性。最后給出算例，說明方法的有效性。

中立型系統(tǒng)；奇異系統(tǒng)；嚴格耗散控制；線性矩陣不等式；供給率

目前，耗散控制理論已成為控制領(lǐng)域研究的一個熱點，近20年來已經(jīng)取得了大量的成果[1-4]。文獻[5]研究了一類時滯不確定系統(tǒng)的耗散性問題，并利用線性矩陣不等式方法給出了系統(tǒng)耗散性的充分判據(jù)；文獻[6]研究了一類線性時滯系統(tǒng)的耗散控制問題；文獻[7]討論了隨機時滯系統(tǒng)的耗散濾波問題。然而關(guān)于中立型時滯系統(tǒng)的耗散控制問題鮮有報道。

研究中立型時滯系統(tǒng)主要工具有代數(shù)Riccati方程，矩陣測度和LMI技術(shù)，取得的成果大體可分為時滯獨立型與時滯依賴型兩種穩(wěn)定性準則。文獻[8]利用模型變換技術(shù)，獲得了時滯依賴穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[9]利用模型變換技術(shù)，研究了線性中立型系統(tǒng)的正實問題，并給出了控制器的設(shè)計方法。文獻[10]利用模型變換技術(shù)，討論了中立系統(tǒng)的H∞控制。

本文基于模型轉(zhuǎn)換技術(shù)，提出一種新的方法，將中立型系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為奇異系統(tǒng)，利用奇異系統(tǒng)方法，研究中立型時滯系統(tǒng)的耗散控制問題。

1　問題描述及定義

考慮如下中立型時滯系統(tǒng)

z(t)=Cx(t)+C1x(t-h)+Du(t)

(1)

對系統(tǒng)(1)選取的供給率為

(Q，S,U)=+<ω,Sω>+2

(2)

式中：=aTb；Q、S為對稱矩陣；U為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

定義2對于系統(tǒng)(1)，如果存在一個狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)使得系統(tǒng)(1)是耗散的，則稱u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)反饋耗散控制器。

本文的目的是設(shè)計無記憶狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kx(t)

(3)

使得閉環(huán)系統(tǒng)是耗散的。

閉環(huán)系統(tǒng)為

z(t)=(C+DK)x(t)+C1x(t-h)

(4)

設(shè)

0=-φ(t)+(A+B0K)x(t)+A1φ(t-h)+A2ξ(t)+A3x(t-h)+G1ω(t)

則系統(tǒng)(4)等價表示為如下形式的廣義時滯系統(tǒng)

(5)

X(t)=(xT(t)ξT(t)φT(t)),

等價系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(1)具有相同的傳遞函數(shù)。因此，可以根據(jù)系統(tǒng)(5)的耗散性研究，完成對系統(tǒng)(1)的分析。

2　主要結(jié)論

定理1如果存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P、Q、S、U和正定矩陣W，使得矩陣不等式

ETP=PTE≥0

(6)

成立，式中“*”表示相應(yīng)的對稱矩陣，則系統(tǒng)(1)與(3)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(4)是(Q,S,U)耗散的，狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)(1)的嚴格耗散控制器。

證明：選取正定函數(shù)

V(t)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(4)的解軌跡導(dǎo)數(shù)為

使其嚴格耗散，既有

則

定理1中矩陣不等式(6)不易計算，下面通過schur補引理，將式(6)轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式。

定理2如果存在正定矩陣Wi(i=1,2,3)和適當(dāng)維數(shù)的矩陣X1,Ri(i=1,2,…,6)滿足

(7)

式中：E1=CR1+DX1;

證明：由schur補引理，不等式(6)等價于

(8)

對式(8)左乘diag(RTW-TIII)，右乘diag(RW-1III)得

(9)

令

經(jīng)計算，式(9)與式(7)等價,即為

控制器

和以往利用代數(shù)Riccati方程的方法比，本文結(jié)果利用LMI技術(shù)，避免了解代數(shù)Riccati方程的繁雜計算，只需用LMI工具箱，計算簡便。和文獻[8-10]的系統(tǒng)比，本文的系統(tǒng)考慮了分布時滯，模型更一般，從而在實際工程的應(yīng)用范圍更廣。

3　數(shù)值算例

考慮形如系統(tǒng)(1)的中立型系統(tǒng)，其中

由Matlab工具箱中的feasp求解器,得到相應(yīng)的線性矩陣不等式是可行的，并可得到一個可行解：

狀態(tài)反饋控制器為

4　結(jié)束語

基于模型轉(zhuǎn)換技術(shù)，采用新的奇異系統(tǒng)方法和線性矩陣不等式(LMI)方法，給出了耗散控制器的設(shè)計方法。在證明過程中沒有進行放大估計，降低了保守性，從而改進了相關(guān)文獻的有關(guān)結(jié)論。

[1]XU S Y,YANG C W.An algebraic approach to the robust stability analysis and robust stabilization of uncertain singular systems[J].Int J of Systems Science,2000,31(1):55-61.

[2]XIE S L,XIE L H.Robust dissipative control for linear systems with dissipative uncertainty and nonlinear perturbation[J].Systems & Control Letters,1997,29(3):255-268.

[3]YANG G H,WANG J L,SOH Y C.ReliableH∞controller design for linear systems[J].Automatica,2001,37(5):717-725.

[4]劉飛,蘇宏業(yè),禇健.線性離散時滯系統(tǒng)魯棒嚴格耗散控制[J].自動化學(xué)報,2002,28(6):897-903.

[5]關(guān)新平，華長春，段廣仁.不確定時滯系統(tǒng)的魯棒耗散性研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2002,24(1):48-51.

[6]LI Z H,SHAO H H,WANG J H.Dissipative control for linear time-delay systerms[J].Control Theory and Applications,2001,18(5):838-842.

[7]Ma Y C,Yan H J.Delay-dependent non-fragile robust dissipative filtering for uncertain nonlinear stochastic singular time-delay systems with Markovian jump parameters[J].Advances in Difference Equations,2013(135):1-20.

[8]Ma Y C,Zhu L H.New exponential stability criteria for neutral system with time-varying delay and nonlinear perturbations[J].Advances in Difference Equations,2014(44):1-11.

[9]XU S Y,LAM J,YANG C W.H∞and positive-real control for linear neutral delay systems[J].IEEE Trans on Automatic Control,2001,46(8):1321-1326.

[10]Mahmoud M S.RobustH∞control of linear neutral systems[J].Automatica,2000,36(5):757-764.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Strictly Dissipative Control for Neutral System with Time Delay

GONG Juan

(Liaoning Vocational College,Tieling 112099,China)

Strictly dissipative state feedback controller for the time delay neutral system is studied in this paper.At first,this system is equivalently represented as a singular system.Then,a sufficient condition for the existence of strictly dissipative controllers is given by using LMI approach and the Lyapunov functional method,and the controller for the system is also designed but without amplification.So the conservation of the result is reduced.At last,some examples are given to illustrate that the new sufficient condition is less conservative than the present results.

neutral system;singular system;strictly dissipative control;LMI;supply rate

2015-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273004)

鞏娟(1964—)，女，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

TP13

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