劉丹丹，李曉川

(沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，沈陽 110870)

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壓電材料能量釋放率的數(shù)值分析

劉丹丹，李曉川

(沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，沈陽 110870)

利用ABAQUS軟件建立壓電材料板中心裂紋模型，采用虛擬裂紋閉合法分別計(jì)算在機(jī)械載荷和機(jī)電耦合荷載作用下的裂紋尖端應(yīng)變能釋放率，并對結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算結(jié)果和解析解吻合的很好，說明采用此計(jì)算方法可行。

壓電材料；虛擬裂紋閉合法；應(yīng)變能釋放率；應(yīng)力強(qiáng)度因子；電位移強(qiáng)度因子

自1880年，P.Curie和J.Curie兄弟首先在石英晶體中發(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)后[1]，壓電材料的研究和應(yīng)用生產(chǎn)發(fā)展的非常迅速。對壓電材料在機(jī)械載荷作用下裂紋擴(kuò)展的臨界載荷及其斷裂機(jī)理早在1976年就開始研究，而有關(guān)壓電陶瓷的斷裂力學(xué)研究在1990年之后才開始大量發(fā)表[2]。壓電材料是脆性材料,經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生裂紋，影響壓電材料元件的正常工作。ABAQUS軟件能直接輸出普通各項(xiàng)同性材料在單調(diào)加載條件下的斷裂參數(shù)，而壓電材料作為橫觀各項(xiàng)同性材料，用此軟件分析時(shí)不能直接輸出斷裂的基本參數(shù)，需要數(shù)值分析計(jì)算。在數(shù)值計(jì)算方面虛擬裂紋閉合法應(yīng)用十分廣泛。本文對ABAQUS軟件得到的數(shù)據(jù)，采用虛擬裂紋閉合法計(jì)算壓電材料裂紋尖端的應(yīng)變能釋放率，結(jié)果與解析解吻合很好，說明采用此計(jì)算方法可行。

1　壓電材料的本構(gòu)方程

正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)反應(yīng)了晶體彈性和介電能之間的耦合，因而力學(xué)特性的參量和電學(xué)特性的參量之間相互作用系數(shù)必定與各種狀態(tài)相關(guān)。當(dāng)電介質(zhì)處于某個(gè)一定相時(shí)，不同的熱力學(xué)變量之間會(huì)存在固定的聯(lián)系，用應(yīng)力、應(yīng)變、電場強(qiáng)度、電位移、溫度和熵來描述電介質(zhì)的變量。壓電材料的本構(gòu)方程描述了壓電材料中這些變量的相互作用關(guān)系，這個(gè)方程稱為壓電方程。由于壓電材料的機(jī)電耦合性，根據(jù)彈性結(jié)構(gòu)關(guān)系式和介電關(guān)系式，可得到本構(gòu)方程[3]

(1)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E為電場強(qiáng)度；D為電位移；c為彈性剛度矩陣；e為壓電應(yīng)力常數(shù)；λ為介電常數(shù)。此式以張量形式表示，張量形式的下標(biāo)與矩陣分量的下標(biāo)之間的關(guān)系見表1。

表1　張量形式與矩陣分量下標(biāo)的關(guān)系

此公式的導(dǎo)出全部是在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，也可由熱力學(xué)理論準(zhǔn)確完整的推導(dǎo)出。以電場強(qiáng)度和應(yīng)變作為獨(dú)立變量來求解上述方程，結(jié)合幾何方程、平衡方程和邊界條件，建立表示本構(gòu)關(guān)系的方程式，通過聯(lián)立這些方程，最終求得各個(gè)參量的分布，式(1)可以縮減為

(2)

式(2)也稱作第二類壓電方程。

橫觀各項(xiàng)同性的壓電材料，如果用應(yīng)變和電場強(qiáng)度作為自變量，則其中包含10個(gè)獨(dú)立的材料常數(shù)，分別為c11、c12、c13、c33、c44、e15、e31、e33、λ11、λ33。第二類方程可以表示如下

(3)

(4)

式(3)、式(4)以z軸為極化方向。如果以y軸為極化方向，極軸和裂紋面相互垂直，需要調(diào)整系數(shù)矩陣中參數(shù)的位置。調(diào)整后如式(5)、式(6)。

(5)

(6)

2　虛擬裂紋閉合法計(jì)算能量釋放率

利用有限元法計(jì)算裂紋的能量釋放率，有外推法、等效積分區(qū)域法、虛擬裂紋擴(kuò)展法和虛擬裂紋閉合法。應(yīng)力或應(yīng)變外推技術(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，等效積分區(qū)域技術(shù)計(jì)算J積分，全局或局部虛擬裂紋閉合法計(jì)算應(yīng)變能釋放率[4]。用外推法時(shí)，裂紋尖端處的網(wǎng)格要求比較嚴(yán)格。等效積分區(qū)域法，雖然沒有要求對裂紋尖端周圍的單元進(jìn)行特殊處理，但計(jì)算過程比較繁瑣。虛擬裂紋擴(kuò)展法，需要兩步有限元步驟，且裂紋長度在這兩步過程中不同，在第二步分析過程中需要準(zhǔn)備新的網(wǎng)格。與前三種方法相比，虛擬裂紋閉合法有明顯優(yōu)勢，該方法不需要尋找積分路徑，繞開了圍道積分，應(yīng)用方便，計(jì)算精度較高；該方法利用節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移來計(jì)算應(yīng)變能釋放率，且只要一步有限元分析，簡化了問題。

(7)

式中：Fy1和Fx1為裂紋尖端點(diǎn)Y和X方向的節(jié)點(diǎn)力；Δu3,4和Δv3,4為緊挨裂紋尖端后面節(jié)點(diǎn)在X和Y方向的相對位移；B為裂紋體的厚度；Δa為裂紋尖端前面的虛擬裂紋擴(kuò)展量。

對壓電材料而言，通常是在機(jī)械載荷和電載荷共同作用下工作的，因此應(yīng)變能不僅包括機(jī)械能還包括電勢能。Kuna[8]給出了虛擬裂紋閉合法計(jì)算三維八節(jié)點(diǎn)單元壓電材料應(yīng)變能釋放率的公式，根據(jù)八節(jié)點(diǎn)的計(jì)算公式可得到三維四節(jié)點(diǎn)單元壓電材料的應(yīng)變能釋放率公式

(8)

在計(jì)算模型時(shí)采用的是平面四節(jié)點(diǎn)單元，所以由式(8)可得平面四節(jié)點(diǎn)單元壓電材料的應(yīng)變能釋放率為

(9)

3　有限元的建模和數(shù)據(jù)處理

采用虛擬裂紋閉合法計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)變能釋放率，并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較，為提高計(jì)算精度初始裂紋尺寸設(shè)置得很小。一塊尺寸為40mm×40mm的壓電材料板，初始裂紋長為0.24mm，極化軸為y軸，壓電材料為PZT-5H，材料常數(shù)[8]見表2。

表2　PZT-5H材料常數(shù)

由于此板對稱，可以對模型進(jìn)行簡化，只取1/4平面來計(jì)算模型。簡化后的模型，下端裂紋后面的電勢為零，y方向位移固定為零，左端x方向位移固定為零，上端施加應(yīng)力和電勢。

網(wǎng)格劃分時(shí)為保證在使用虛擬裂紋閉合法計(jì)算時(shí)的裂紋尖端后面的張開位移和實(shí)際裂紋的張開位移相等，以1/4板的左下端為中心、以0.24mm為半徑劃1/4弧，種子布置為12個(gè)，如圖1所示，其余部分布置120個(gè)種子。

圖1　裂紋尖端網(wǎng)格劃分

當(dāng)在模型上端分別施加機(jī)械載荷和機(jī)電載荷時(shí)，利用虛擬裂紋閉合法計(jì)算出能量釋放率后再和解析解進(jìn)行比較。Kuna[8]給出應(yīng)變能釋放率的公式：

(10)

(11)

當(dāng)在模型上端只施加應(yīng)力，應(yīng)力值分別為1MPa、0.8MPa、0.6MPa、0.4MPa、0.2MPa時(shí)，得到尖端節(jié)點(diǎn)力和尖端后面的張開位移，見表3。

結(jié)合表3中的數(shù)據(jù)，根據(jù)式(9)計(jì)算得到應(yīng)變能釋放率，見表4。

表3　尖端的節(jié)點(diǎn)力和后面的張開位移

表4　應(yīng)變能釋放率　N/m

在模型上端施加應(yīng)力和正電場，在應(yīng)力為1MPa的基礎(chǔ)上分別施加-2000V、-4000V、-6000V、-8000V、-10000V電勢，得到裂紋尖端的節(jié)點(diǎn)力和尖端后面的張開位移，見表5。

表5　尖端的節(jié)點(diǎn)力和后面的張開位移

結(jié)合表5中的數(shù)據(jù),根據(jù)式(9)計(jì)算得到應(yīng)變能釋放率，見表6。

表6　應(yīng)變能釋放率　N/m

4　結(jié)論

(1)從表4、表6中可以看出兩者吻合的很好。說明采用虛擬裂紋閉合法計(jì)算機(jī)械載荷下和機(jī)電載荷下裂紋尖端的應(yīng)變能釋放率可行。

(2)在機(jī)電耦合載荷下，虛擬裂紋閉合法計(jì)算能量釋放率的結(jié)果仍然維持在同一水平，表6產(chǎn)生誤差是因?yàn)橛邢拊?jì)算的模型為絕緣裂紋。模擬實(shí)際情況的邊界條件還存在不少困難，這是模擬壓電材料斷裂亟待解決的問題。

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(責(zé)任編輯：趙麗琴)

Numerical Analysis of Energy Release Rate of Piezoelectric Material

LIU Dandan,LI Xiaochuan

(Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

Using ABAQUS piezoelectric material at the center of the plate crack model was established and using the virtual crack closure technique method,under mechanical loads,electromechanical coupling loads of the crack tip strain energy release rate was cakulated,and the results were compared,and showed that the numerical results and analytical solutions agreed well,indicating that the calculation method is feasible.

piezoelectric material;virtual crack closure technique;strain energy release rate;stress intensity factor;electric intensity factor

2015-07-03

劉丹丹(1990—)，女，碩士研究生；通訊作者：李曉川(1975—)，男，副教授，研究方向：辛幾何計(jì)算力學(xué)及邊界元數(shù)值方法研究。

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