●盛耀建

(湖州中學　浙江湖州　313000)

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一個問題的探究過程*

——例談高中數(shù)學知識拓展類選修課程素材的選取

●盛耀建

(湖州中學浙江湖州313000)

文章從一個簡單的問題出發(fā)，步步深入，通過對問題的挖掘、探究和拓展，展示了一個問題完整的研究過程，形成一節(jié)知識拓展類選修課的教案，從一個新的角度認識現(xiàn)階段高中數(shù)學知識拓展類選修課素材的選取.

探究;知識拓展類;選修課;素材

在現(xiàn)階段全國上下大力推進深化普通高中課程改革的大背景下，學校日常教學工作中開設選修課成為了流行與必然.浙江省高中課改方案中選修課程分為知識拓展、職業(yè)技能、興趣特長、社會實踐這4類，然而改革伊始，部分任課教師對待選修課因苦于沒有內容可上而一籌莫展，為了正視這一問題，筆者以自己設計的一節(jié)知識拓展類選修課為例，以此“拋磚”，并希望能影響同仁對知識拓展類選修課素材選取的認識，從而起到“引玉”的作用.

1　背景例題

妙解由橢圓的對稱性，結合圖像和條件可知l1和l2關于y軸對稱，則可設直線l1的方程為：

y=x+h.

3x2+4hx+2h2-2=0.

由l1與E只有1個交點，可得

Δ=6-2h2=0，

解得

2　變式探究

分析此題僅將例題條件中的“過點H(0,h)(其中h>1)”改為“過點H(1,h)(其中h>1)”，但立馬發(fā)現(xiàn)上述“妙解”失效，無法解決本題，故尋求該類題型的通法.

通法由條件l1⊥l2，可設

l1：y=kx+h-k，

(1+2k2)x2+4(kh-k2)x+2(h-k)2-2=0，

由Δ=0，化簡可得

(1)

同理可得(因為l2與l1的方程形式有對應關系，所以可直接推得)

(2)

3　深層探究

3.1特殊位置

圖1 圖2

y-y0=k(x-x0)，

即

y=kx+y0-kx0.

代入橢圓方程，整理得(b2+a2k2)x2+2k(y0-kx0)a2x+

(y0-kx0)2a2-a2b2=0,

由Δ=0知

從而

圖3　　　　　　　　　　圖4

故l1⊥l2.

當點P位于(a,b)，(-a,b)，(a,-b)，(-a,-b)處時，顯然l1⊥l2.

解法1解析法

如圖4，設P(x0,y0)，設l1:y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0,代入橢圓方程，整理得

(3)

(4)

圖5

解法2幾何法

4　外延探究

4.2拓展延伸已知圓x2+y2=r2，則此圓的所有夾角為θ(其中θ≠90°)的切線的交點軌跡為以原點為圓心、分

(提示：不是2個圓.)

設計反思 筆者在設計本節(jié)知識拓展類選修課的過程中同時作了如下反思：

1)知識拓展類選修課可以從抓住學生日常學習中的一個簡單數(shù)學問題出發(fā)進行變形，逐步展開，并深入探究，最后得到一些一般性的結論.

2)在內容的選取上，知識拓展類選修課并不一定要求教師講解未曾被發(fā)掘的新觀點、新結論，而僅需遵循知識拓展類選修課屬性的這一原則，即所涉及的知識點在高考范圍內，學生能夠聽懂，但又不是高中數(shù)學教學中的必講內容.

3)知識拓展類選修課可采用不同于日常的教學方式，如筆者設計的整節(jié)課均在探究的過程中開展，從一個簡單的例題出發(fā)，層層遞進，猶如福爾摩斯破案一般，既滿足了學生對內容本身的好奇心，同時也增加了學生的見識，從側面進一步鞏固了學生對橢圓知識的掌握，認識了橢圓的一個新性質，有助于常規(guī)課中數(shù)學的學習.

*收文日期：2016-04-08；2016-05-15

盛耀建(1982-)，男，浙江湖州人，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-04-03