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層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性研究

2016-09-07 06:33祁鵬山杜軍姜久龍董亞科張佳龍
聲學技術(shù) 2016年4期
關(guān)鍵詞:帶隙聲子硅橡膠

祁鵬山,杜軍,姜久龍,董亞科,張佳龍

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層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體帶隙特性研究

祁鵬山,杜軍,姜久龍,董亞科,張佳龍

(空軍工程大學航空航天工程學院,陜西西安710038)

設(shè)計了一種層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體,并將其等效為一維聲子晶體,采用傳遞矩陣法推導出了該結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu);在該帶隙范圍內(nèi)彈性波或聲波的傳播能夠得到有效抑制,實現(xiàn)對噪聲的控制。同時,分析了取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對第一帶隙的影響。結(jié)果表明,該結(jié)構(gòu)與簡單二元結(jié)構(gòu)相比,在降低帶隙頻率的同時有效減輕了結(jié)構(gòu)質(zhì)量,且“內(nèi)部周期”主要影響帶隙寬度;當增加硅橡膠層的厚度時,帶隙頻率進一步降低。

聲子晶體;雙周期;噪聲控制;傳遞矩陣法;有限元

0 引言

近年來,在天然晶體中電子能帶理論的啟發(fā)下,人們對周期復合材料或結(jié)構(gòu)中經(jīng)典波傳播進行了深入研究。聲子晶體(Phononic Crystals)是由兩種或兩種以上材料組成的周期性復合材料或結(jié)構(gòu)。這些材料或結(jié)構(gòu)對經(jīng)典波有良好的帶通和帶阻特性。如何利用周期結(jié)構(gòu)中的帶阻特性進行噪聲和振動的控制,特別是低頻帶隙的獲取,也已成為一個研究的熱點與難點[1-5]。

一維聲子晶體由于其結(jié)構(gòu)簡單而且易于獲得較寬的帶隙,因此有可能在減振降噪等領(lǐng)域得到廣泛的應用。目前,關(guān)于聲子晶體新型結(jié)構(gòu)的設(shè)計也是一個研究的熱門領(lǐng)域。對于一維二組元聲子晶體的研究相對比較成熟,在帶隙計算方法領(lǐng)域,文獻[6-7]分別采用集中質(zhì)量法和傳遞矩陣法計算得到了二組元結(jié)構(gòu)帶隙,并分析了帶隙的影響因素;文獻[8]發(fā)展了一種基于小波的帶隙計算方法,該方法與傳統(tǒng)平面波展開法相比,在得到同樣精度的條件下,顯著降低了計算量,提高了計算速度;文獻[9]提出了一種基于移動最小二乘的無網(wǎng)格方法用于計算聲子晶體帶隙;另外,利用成熟的有限元分析軟件對聲子晶體帶隙進行計算也是一種可取的方法[10-11]。在結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域,文獻[12]在二元結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上將層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的原胞設(shè)計為三組元結(jié)構(gòu),得到了較低的帶隙頻率;文獻[13]在一維二組元結(jié)構(gòu)聲子晶體的散射體兩側(cè)引入添加層,構(gòu)成一維四組元結(jié)構(gòu),在得到低頻帶隙的同時有效降低了結(jié)構(gòu)的整體密度;文獻[14]將兩種二元結(jié)構(gòu)的聲子晶體復合,得到的復合結(jié)構(gòu)兼顧二者的性能特點,該結(jié)構(gòu)有效拓寬了帶隙寬度。文獻[15]在二組元結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種具有嵌套結(jié)構(gòu)的一維聲子晶體結(jié)構(gòu),得到了巨帶隙以及局域模??梢?,對一維聲子晶體原胞結(jié)構(gòu)的研究已有了很多成果,但大都是考慮了單一周期性。由于周期性結(jié)構(gòu)是Bragg散射型聲子晶體的核心要素,本文在傳統(tǒng)層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的基礎(chǔ)上引入“內(nèi)部周期”,設(shè)計了層狀雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體,利用傳遞矩陣法得到其帶隙。同時,分析了取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化以及改變硅橡膠層厚度對第一帶隙的影響。

1 層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)理論建模

如圖1所示是一種由三種材料按結(jié)構(gòu)沿方向排列的層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)聲子晶體的一個元胞。將“”稱為一個外部周期,相應的將“”稱為一個內(nèi)部周期,每個外部周期內(nèi)包含兩個內(nèi)部周期。其中,為晶格常數(shù),為各組元的厚度。

若層狀結(jié)構(gòu)的非周期方向(方向)尺寸遠大于周期方向(方向)尺寸,則該結(jié)構(gòu)可視為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)[5]。

下面采用傳遞矩陣法推導該結(jié)構(gòu)聲子晶體的色散關(guān)系。

聲子晶體中彈性波運動方程為[1,4,10]:

考慮簡諧平面波的情況,可設(shè)

其中,為角頻率。

聯(lián)立(1)、式(2)得:

求解該微分方程,得其通式為:

(4)

將式(5)表示成矩陣形式為

(6)

(7)

將式(7)表示成矩陣形式:

其中,、分別表示系數(shù)矩陣。聯(lián)立式(6)、(8)可得第個元胞與第-1個元胞之間的關(guān)系:

(9)

由于方向的周期性,利用布洛赫定理可以得到:

其中,為標量形式的一維布洛赫波矢。

聯(lián)立式(9)、(10)可得到標準的矩陣特征值問題:

其中,I為2×2單位矩陣。

通過求解矩陣的特征值,即可得到波矢與頻率之間的色散關(guān)系:

2 仿真結(jié)果及分析

針對層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu),分析其與簡單二元結(jié)構(gòu)第一帶隙的差異、取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化,以及改變硅橡膠層的厚度對第一帶隙的影響。

2.1 與簡單二元結(jié)構(gòu)的比較

兩種結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)都為4 cm,為使比較更具合理性,簡單二元結(jié)構(gòu)由“”構(gòu)成,各組分厚度均為2 cm。雙周期結(jié)構(gòu)的各組分厚度均為8 mm。選取材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

圖2、圖3分別為簡單二元結(jié)構(gòu)和雙周期結(jié)構(gòu)的能帶圖。由圖可得,二元結(jié)構(gòu)第一帶隙下邊界頻率為90.04 kHz,上邊界頻率為377.6 kHz,帶寬為287.56 kHz;雙周期結(jié)構(gòu)第一帶隙下邊界頻率為1.438 kHz,上邊界頻率為9.013 kHz,帶寬為7.575 kHz;在該頻率范圍內(nèi),彈性波將不會在該結(jié)構(gòu)中傳播。

與二元結(jié)構(gòu)相比,雙周期結(jié)構(gòu)在晶格常數(shù)不變的情況下,第一帶隙下降到1.438~9.013 kHz,這對于實際應用有了很明顯的幫助,同時由于金屬組分的減小,增加了密度相對較小的硅橡膠,一方面減小了制造成本,另一方面降低了材料的整體密度。通過計算,相同尺寸的兩種結(jié)構(gòu),雙周期結(jié)構(gòu)的質(zhì)量降低了14.87%。

2.2 取消內(nèi)部周期以后第一帶隙的變化

為更好地反映“雙周期”對帶隙的影響,將層狀五組元結(jié)構(gòu)改變?yōu)椤啊苯Y(jié)構(gòu),從而取消了內(nèi)部周期。保持晶格常數(shù)不變,且各組分厚度均為8 mm。能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示,第一帶隙頻率為1.394~1.476 kHz,帶寬僅為0.082 kHz,第一帶隙上、下邊界頻率均向低頻方向移動。但下邊界頻率移動幅度很小,上邊界頻率下降較多,帶寬明顯減小。

與雙周期結(jié)構(gòu)相比,內(nèi)部周期對帶隙下邊界影響較小,主要對帶隙上邊界存在較為明顯的作用,體現(xiàn)為帶寬的減小。

2.3 硅橡膠層厚度對帶隙的影響

根據(jù)雙周期結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系,研究硅橡膠層的厚度變化對第一帶隙的影響。令硅橡膠層厚度從8 mm增加至20 mm,其他各組元厚度比保持1∶1。具體結(jié)果見表2及圖5。

表2 硅橡膠層厚度變化對第一帶隙的影響

由表2及圖5可得,當硅橡膠層的厚度增加時,第一帶隙上、下邊界頻率都向低頻方向移動,但是上邊界頻率下降速度較快,因此帶寬也變窄。

3 結(jié)論

(1) 層狀五組元雙周期結(jié)構(gòu)在晶格常數(shù)保持不變的前提下,能夠有效減低第一帶隙的頻率,而且相同尺寸的該結(jié)構(gòu)質(zhì)量明顯降低。

(2) 取消該結(jié)構(gòu)的內(nèi)部周期后,發(fā)現(xiàn)第一帶隙下邊界頻率略降低,上邊界頻率降低較為明顯,帶隙寬度大幅度變窄,說明雙周期結(jié)構(gòu)主要對一維層狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的帶寬產(chǎn)生作用。

(3) 增加硅橡膠層的厚度,第一帶隙上、下邊界頻率均減小,帶寬也變窄。通過適當調(diào)整各組分參數(shù),能夠獲得合適的帶隙范圍。

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Band gap characteristics of the layered phononic crystal with double-cycle structure

QI Peng-shan, DU Jun, JIANG Jiu-long, DONG Ya-ke, ZHANG Jia-long

(Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038,Shaanxi,China)

A layered phononic crystal structure with five elements and double cycle is designed, and it is simplified to a one-dimensional phononic crystal. Then, the band structure is derived by using transfer matrix method. The elastic wave or sound wave propagation can be effectively suppressed within the range of the band gaps and the noise control can be achieved. Meantime, the first bad gap is changed when the internal cycle is cancelled and the effect of rubber layer thickness on the width of first band gap is analyzed. The results show that this structure can get lower band gap frequency and lower structure mass compared with the simple two element structure, and the internal cycle mainly affects the band gap width. With the thickness of rubber layer increases, the band gap frequency is reduced further.

phononic crystal; double cycle; noise control; transfer matrix method; finite element

TB53 TH113.1

A

1000-3630(2016)-04-0303-05

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.04.004

2015-10-20;

2016-01-25

祁鵬山(1992-), 男, 甘肅武威人, 碩士研究生, 主要研究方向為聲子晶體減振降噪。

祁鵬山, E-mail: qipengshan@126.com

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