盧俊香，武宇，杜艷麗

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

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基于Copula的滬深股市相依結(jié)構(gòu)與相關(guān)模式研究

盧俊香，武宇，杜艷麗

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

針對(duì)傳統(tǒng)Pearson線性相關(guān)系數(shù)與Granger因果分析法的不足，采用一種特殊的相關(guān)性分析方法—Copula函數(shù)方法對(duì)滬深股市相關(guān)結(jié)構(gòu)與相關(guān)模式進(jìn)行研究。首先用核密度估計(jì)方法對(duì)Copula函數(shù)的邊緣分布進(jìn)行估計(jì)，再結(jié)合秩相關(guān)系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)擬合較好的Copula函數(shù)進(jìn)行選擇，最后用離散L2范數(shù)評(píng)價(jià)方法對(duì)其擬合程度進(jìn)行檢驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)，t-Copula可以較好地?cái)M合滬深股市的日收益率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性以及對(duì)稱的尾部相關(guān)性，當(dāng)滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時(shí)，兩市收益率的協(xié)同作用將大幅增強(qiáng)。

Copula；相關(guān)性；收益率；模型選擇；擬合度檢驗(yàn)

引言

Copula函數(shù)作為相關(guān)分析和多變量建模的一種工具，處理非線性非對(duì)稱的數(shù)據(jù)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此國內(nèi)外對(duì)Copula方法及其應(yīng)用有廣泛關(guān)注，其應(yīng)用范圍也不斷擴(kuò)展。

1959年，Sklar A提出將一個(gè)k元聯(lián)合分布函數(shù)分解成其k個(gè)邊緣分布函數(shù)和一個(gè)Copula函數(shù)，而這個(gè)Copula函數(shù)恰能描述變量間的相關(guān)性[1]。1999年，Nelson R B對(duì)函數(shù)的含義和性質(zhì)做了全面總結(jié)[2]。Dias，Emberches等將Copula函數(shù)與GARCH模型相結(jié)合使得能準(zhǔn)確的刻畫時(shí)間序列間的關(guān)系[3-4]。Ding和Engle等研究了資產(chǎn)間的相關(guān)性及模型的估計(jì)和檢驗(yàn)[5]。隨后Copula被應(yīng)用到投資組合、風(fēng)險(xiǎn)管理等重要領(lǐng)域[6-10]。國內(nèi)的張堯庭教授最先將Copula函數(shù)應(yīng)用到相關(guān)分析中[11]。韋艷華和張世英把時(shí)間序列與Copula函數(shù)結(jié)合在一起，對(duì)變量間的條件相關(guān)性進(jìn)行分析[12-13]。周艷菊等提出基于Kendallτ、尾相關(guān)系數(shù)的Copula的非參數(shù)估計(jì)，對(duì)道瓊斯工業(yè)指數(shù)和恒生指數(shù)做實(shí)證分析[14]。趙麗琴和張連增等對(duì)Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)做了分析，提出對(duì)Copula函數(shù)的參數(shù)采用參數(shù)估計(jì)、半?yún)?shù)估計(jì)以及非參數(shù)估計(jì)的方法[15-16]。由于Copula函數(shù)的特點(diǎn)突出，近年來在諸多領(lǐng)域都有其研究應(yīng)用[17-21]。

本文利用Copula函數(shù)，以深證300指的日收益率和上證B指的日收益率為邊緣分布建模，研究滬深股指的相關(guān)性，首先運(yùn)用核密度估計(jì)法對(duì)Copula函數(shù)的邊緣分布進(jìn)行估計(jì)，在對(duì)Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合秩相關(guān)系數(shù)對(duì)滬深收益率擬合較好Copula函數(shù)進(jìn)行選擇，最后通過離散L2范數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。結(jié)果表明，t-Copula可以較好的擬合滬深股市的日收益率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性以及對(duì)稱的尾部相關(guān)性，當(dāng)滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時(shí)，其協(xié)同作用將大幅增強(qiáng)。

1　Copula函數(shù)的定義[2]

N元Copula函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C：

(1)C=IN=[0,1]N；

(2)C對(duì)它的每一個(gè)變量都是遞增的；

(3)C的邊緣分布Cn(·)滿足：Cn(un)=C(1,…,1,un,1,…,1)=un，其中，u∈[0,1],n∈[0,N]。

顯然，若F1(·)，…，F(xiàn)N(·)是一元分布函數(shù)，令un=Fn(xn)是隨機(jī)變量，則C(F1(·)，…，F(xiàn)N(·))是一個(gè)具有邊緣分布函F1(·)，…，F(xiàn)N(·)的多元分布函數(shù)。

2　常見Copula函數(shù)

2.1橢球Copula函數(shù)

橢球Copula函數(shù)主要有正態(tài)Copula和t-Copula。

2.1.1正態(tài)Copula(Gaussian Copula)

多元正態(tài)Copula：

CGa(u1,…,uN;ρ)=

φρ(φ-1(u1),…,φ-1(uN))=

(1)

2.1.2t-Copula

自由度為υ的多元t-Copula：

Ct(u1,…,uN;ρ,υ)=

圖1　Gaussian Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖

圖2　t-Copula函數(shù)概率密度函數(shù)圖

由圖1和圖2可知：取相同的相關(guān)系數(shù)時(shí)，二元Gaussian Copula函數(shù)和二元t-Copula函數(shù)具有對(duì)稱的尾部，其中二元t-Copula函數(shù)具有較厚的尾部，對(duì)隨機(jī)變量間的尾部相關(guān)變化較為敏感，能更好的捕捉到隨機(jī)變量之間的對(duì)稱尾部相關(guān)關(guān)系。而二元正態(tài)Copula函數(shù)在分布的尾部變量間是漸進(jìn)獨(dú)立的，所以適合于具有對(duì)稱尾部，但上、下尾部漸進(jìn)獨(dú)立的情形。這兩種Copula函數(shù)都無法捕捉到隨機(jī)變量間非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系。

2.2經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)

u,v∈[0,1]

(3)

3　實(shí)證分析

3.1描述性統(tǒng)計(jì)

選取2009年12月3日至2015年11月6日上證B指與深證300指的日收盤價(jià)共1417組有效數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源同花順。采取對(duì)原序列進(jìn)行一階對(duì)數(shù)差分并乘以100：

Rt=100×(lnPt-lnPt-1)

(4)

得到對(duì)數(shù)收益率將對(duì)數(shù)收益率序列樣本分別記為{xi}和{Yi}。經(jīng)計(jì)算可知滬深兩市的每日收益率數(shù)據(jù)的均值都比較小，標(biāo)準(zhǔn)差比較大，峰度都大于5，偏度都大于0.5，并且JB統(tǒng)計(jì)量p值均小于0.001，說明兩收益率序列均不服從正態(tài)分布，由于上證B指與深證300指的日收益率分布具有尖峰厚尾的特性且拒絕正態(tài)性假設(shè)，故很難確定總體的分布，所以采用核光滑方法估計(jì)總體的分布。

3.2邊緣分布估計(jì)

圖3　深證300指收益率的經(jīng)驗(yàn)分布圖和核分布估計(jì)圖

圖4　上證B指收益率的經(jīng)驗(yàn)分布圖和核分布估計(jì)圖

3.3Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)及選取

用核密度估計(jì)方法確定深證300指收益率和上證B指收益率的邊緣分布，分別記為U=F(x)和V=G(y)，就可以根據(jù)(Ui,Vi)(i=1,2,…,n)的二元頻數(shù)直方圖得到直觀的相依關(guān)系圖，在頻數(shù)直方圖的基礎(chǔ)上得到頻率直方圖，而頻率直方圖可以作為Copula密度函數(shù)的估計(jì)，頻率直方圖如圖5所示。

圖5　深證300指和上證B指收益率的頻率直方圖

由圖5可知，頻率直方圖具有基本對(duì)稱的尾部，據(jù)此初步選取能夠刻畫對(duì)稱的尾部相關(guān)性的t-Copula、Gaussian Copula函數(shù)描述和刻畫深證300指和上證B指收益率的相依結(jié)構(gòu)。

3.3.1t-Copula與Gaussian Copula的參數(shù)估計(jì)

經(jīng)計(jì)算求得，二元Gaussian Copula中的線性相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值為：

則二元Gaussian Copula的表達(dá)式為：

(5)

二元t-Copula函數(shù)中的線性相關(guān)系數(shù)ρ和自由度k的估計(jì)值分別為：

二元t-Copula的表達(dá)式為：

(6)

3.3.2二元Gaussian Copula與t-Copula函數(shù)的選取分析

首先從秩相關(guān)方面考慮對(duì)Copula函數(shù)進(jìn)行選擇。通過估計(jì)出的參數(shù)可以求出Gaussian Copula、t-Copula以及原始序列所對(duì)應(yīng)的的Kendall秩相關(guān)系數(shù)與Spearman秩相關(guān)系數(shù)(表1)。

表1　Kendall秩相關(guān)系數(shù)與Spearman秩相關(guān)系數(shù)

由表1可知滬深兩市收益率之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，將Gaussian Copula、t-Copula秩相關(guān)系數(shù)與由原始序列預(yù)測的秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，其中t-Copula的秩相關(guān)系數(shù)更接近于原始序列預(yù)測的秩相關(guān)系數(shù)，由此可知從秩相關(guān)性角度出發(fā)，t-Copula比Gaussian Copula更好的擬合了深證300指和上證B指收益率之間的秩相關(guān)性。根據(jù)估計(jì)參數(shù)可得到能描述滬深收益率相關(guān)性的t-Copula密度函數(shù)圖與分布函數(shù)圖(圖6)。

圖6　二元t-Copula密度函數(shù)圖和分布函數(shù)圖

3.4擬合度檢驗(yàn)

(7)

經(jīng)計(jì)算，Gaussian Copula、t-Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula分布函數(shù)之間的L2范數(shù)距離分別為0.0387和0.0188。所以，在L2范數(shù)距離的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上t-Copula比Gaussian Copula能更好的擬合深證300指和上證B指日收益率序列。

4　結(jié)束語

通過Gaussian Copula與t-Copula參數(shù)的估計(jì)，秩相關(guān)系數(shù)的分析、離散L2范數(shù)的擬合程度檢驗(yàn)，對(duì)滬深股市的相關(guān)性進(jìn)行了定量與定性分析，研究結(jié)果表明：t-Copula可以較好的擬合滬深股市的日收率序列，滬深股市日收益率序列呈現(xiàn)出很強(qiáng)相關(guān)性及對(duì)稱的尾部相關(guān)性，當(dāng)滬深兩市出現(xiàn)大幅震蕩時(shí)，兩市收益率的協(xié)同作用將大幅增強(qiáng)。

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Research on The Dependence Structure and Correlation Pattern of Shanghai and Shenzhen Stock Market Based on Copula

LU Junxiang, WU Yu, DU Yanli

(School of Science , Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

For the shortage of traditional Pearson linear correlation coefficient and Granger method of Cause and effect analysis, a special correlation analysis method — the method of Copula function was used to study the dependence structure and correlation pattern of Shanghai and Shenzhen stock market. First, the method of kernel density estimation was used to estimate marginal distributions of Copula function, then the rank correlation coefficient was combined with to choose a better copula function that can fit the data well, at last discrete L2norm was used to fit degree test . The study found that t-Copula can fit the Shanghai and Shenzhen stock market's daily return rate sequence better. The return rate sequence shows a strong correlation and symmetrical tail dependence between Shanghai and Shenzhen stock market. When the Shanghai or Shenzhen stock appear sharp situation, the synergistic effect will be greatly enhanced.

Copula; correlation; return rate; model selection; fitting degree test

2016-02-23

陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金(14JK1299)

盧俊香(1980-)，女，山東沂水人，副教授，博士，主要從事金融與統(tǒng)計(jì)方面的研究，(E-mail)jun-xianglu@163.com;

武宇(1991-)，女，陜西渭南人，碩士生，主要從事金融與統(tǒng)計(jì)方面的研究，(E-mail)1069432692@qq.com

1673-1549(2016)02-0070-05

10.11863/j.suse.2016.02.14

F831

A