趙仁慶

(楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南楚雄675000)

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嚴格對角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣的無窮大范數(shù)的上界估計

趙仁慶

(楚雄師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南楚雄675000)

對角占優(yōu)矩陣；M-矩陣；無窮大范數(shù)；最小特征值

引言

1　預備知識

為敘述方便，給出本文需要用到的一些記號。用Cn×n(Rn×n)表示n×n階復(實)矩陣的集合，記

N={1,2,…n},m≤i,j,k≤n

設(shè)A=(aij)∈Rn×n且aii≠0，

ln=un=0

定義2[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果aij≥0，對任意i,j∈N，即A的所有元素是非負的，則稱A為非負矩陣，記為A≥0。

定義3[3]設(shè)A為Z-矩陣，A可逆且A-1≥0，則稱A為非奇異M-矩陣。

定義4[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果滿足條件

(2)(2)J(A)≠Φ；

(3)對于任意i∈N,i?J(A)，存在i1,i2,...,ik使aii1ai1i2…aik-1ik≠0,ik∈J(A)；

則稱A為弱鏈對角占優(yōu)矩陣。

定義5[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱A為行嚴格對角占優(yōu)矩陣。

注由定義4和定義5知，若A為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則A為弱鏈對角占優(yōu)矩陣。

引理1[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣，則A(k,n)(k = 1, … ,n-1)也是弱鏈對角占優(yōu)的M-矩陣。這里A(n1,n2)表示由A=(aij)∈Rn×n的n1至n2行和n1至n2列的元素組成的子矩陣。例如A(2,n)表示由A=(aij)∈Rn×n的2至n行和2至n列的元素組成的子矩陣。

其中

定理1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則

(1)

定理2[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則

(2)

引理4[5]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=(αij)滿足

(3)

特別當i=1時，有

(4)

引理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=(αij)滿足

(5)

證明由引理4得

αii(aii-aiidiω(m))

故

(6)

當2≤i≤n時，由引理2和(4)式得

故對2≤i≤n，由引理2知

r1ω(1)+MB

若r1≤ω(1)r1+MB，則

若r1>ω(1)r1+MB，則

因此，有

定理得證。

結(jié)合引理1，對定理3利用迭代法得如下結(jié)論。

定理4設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則

算法綜合比較了NLMS和FDNLMS算法的性能,比較指標包括處理時間以及自適應(yīng)濾波器失調(diào)系數(shù)和回聲返回損耗增益值:

(7)

由引理3和定理4得如下推論。

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則A的最小

q(A)>

(8)

定理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則

(9)

且

故結(jié)論成立。

注由定理5可知，本文的結(jié)論在一定條件下改進了文獻[2]中的結(jié)果。

例1設(shè)

用matlab7.0計算得

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Estimation on Upper Bounds of the Infinity Norms of Inverses for Strictly Diagonally Dominant M-matrices

ZHAO Renqing

(School of Mathematics and Statistics, Chuxiong Normal University, Chuxiong 675000, China)

diagonal dominance matrix; M-matrix; infinity norms; smallest eigenvalue

2016-01-21

楚雄師范學院項目(12YJRC10)

趙仁慶(1985-)，女，云南騰沖人，講師，碩士，主要從事矩陣理論及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)422652443@qq.com

1673-1549(2016)02-0075-05

10.11863/j.suse.2016.02.15

O151.21

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