張琳，劉宣會(huì)，陳會(huì)

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

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部分信息下股價(jià)帶跳的套期保值問(wèn)題研究

張琳，劉宣會(huì)，陳會(huì)

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

在有重大事件出現(xiàn)時(shí)，股價(jià)會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，這時(shí)一般將股票價(jià)格考慮為帶有Markov調(diào)制參數(shù)的跳-擴(kuò)散模型。為了追求風(fēng)險(xiǎn)最小化或收益最大化，建立了部分信息下的跳-擴(kuò)散模型(考慮到幾何布朗運(yùn)動(dòng)已經(jīng)無(wú)法準(zhǔn)確的刻畫股價(jià)的波動(dòng))，在股票價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，通過(guò)運(yùn)用非線性濾波技術(shù)，將部分信息的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為完全信息的問(wèn)題，并采用隨機(jī)微分對(duì)策的思想，在均值-方差的準(zhǔn)則下，運(yùn)用It公式，得到最優(yōu)套期保值策略的顯示解。

跳-擴(kuò)散過(guò)程；隨機(jī)微分對(duì)策；套期保值；It公式

引言

套期保值是數(shù)理金融學(xué)研究的主要問(wèn)題之一，套期保值者為了取得在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下的最高收益或一定收益水平下的最低風(fēng)險(xiǎn)，決定現(xiàn)貨和期貨市場(chǎng)的交易頭寸，以達(dá)到最優(yōu)套期保值的目的，這就出現(xiàn)了最優(yōu)套期保值策略問(wèn)題。隨著金融學(xué)與隨機(jī)學(xué)等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，最優(yōu)套期保值策略問(wèn)題已成為金融數(shù)學(xué)中的熱門領(lǐng)域之一。文獻(xiàn)[1]最早提出了均值-方差的組合投資理論，文獻(xiàn)[2-3]認(rèn)為交易者進(jìn)行套期保值實(shí)際上是對(duì)現(xiàn)貨市場(chǎng)和期貨市場(chǎng)的資產(chǎn)進(jìn)行組合投資。文獻(xiàn)[4]研究了在標(biāo)的資產(chǎn)服從Levy過(guò)程時(shí)，運(yùn)用局部風(fēng)險(xiǎn)最小方法，得到了最優(yōu)套期保值策略。文獻(xiàn)[5]考慮了標(biāo)的資產(chǎn)是由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)，采用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，給出了套期保值策略。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾學(xué)者也對(duì)套期保值問(wèn)題進(jìn)行了不同層次的研究[6-11]，其中利用均值-方差準(zhǔn)則[12-16]研究已成為熱點(diǎn)之一，而利用隨機(jī)微分對(duì)策思想研究套期保值問(wèn)題較為新穎。本文考慮了部分信息下的股價(jià)帶跳的套期保值模型，采用了隨機(jī)微分對(duì)策思想，在均值-方差的準(zhǔn)則下，最終得到最優(yōu)套期保值策略。

1　套期保值模型的建立

當(dāng)有重大事件出現(xiàn)時(shí)(如經(jīng)濟(jì)危機(jī)、政治事件等)，會(huì)對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生沖擊，股價(jià)會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍，這時(shí)一般將股票價(jià)格考慮為跳躍-擴(kuò)散模型。這里考慮金融市場(chǎng)只有一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形(多維情況與一維情況無(wú)本質(zhì)上的差異)。

設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)P0(t)服從微分方程：

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S(t)服從隨機(jī)微分方程：

設(shè)(Ω,F,P)為一完備概率空間，W(t),N(t)為(Ω,F,P)上標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng)與強(qiáng)度為λ的Poisson過(guò)程，s(t)為其上時(shí)間連續(xù)平穩(wěn)Markov鏈，M是有限狀態(tài)空間，M={1，2，...m}，而且假設(shè)W(t)，N(t)與s(t)相互獨(dú)立，s(t)具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率，

pij(t)=p{s(t)=j|s(0)=i},t>0,i,j=1,2,...m

證券預(yù)期收益率μ(t,s(t))已知，金融市場(chǎng)參數(shù)σ(t,s(t))，φ(t,s(t))均為Ft的適應(yīng)隨機(jī)過(guò)程。

設(shè)投資者初始財(cái)富為X(0)=x0，π(t)表示t時(shí)刻投資者在股票上投資財(cái)富的市場(chǎng)價(jià)值，此時(shí)的財(cái)富過(guò)程為X(t)，那么

dX(t)=[r(t)X(t)+b(t,s(t))π(t)]dt+

σ(t,s(t))π(t)dW(t)+

π(t)φ(t.s(t))dN(t)

(1)

其中，

b(t,s(t))=μ(t,s(t))-r(t)

定義2稱ξ為一未定權(quán)益，若ξ為Ft可測(cè)的，而且ξ∈L2(Ω,R)。

考慮套期保值問(wèn)題(P)：

2　將部分信息轉(zhuǎn)換為完全信息

部分信息轉(zhuǎn)化為完全信息狀態(tài)就是將η(t,s(t))和λt轉(zhuǎn)化為Gt可測(cè)，所以設(shè)：

d=dt+dWt

<μ,Lf>dt+[<μ,Gtf>-

同理求得

考慮一組新的過(guò)程

將部分信息的情況轉(zhuǎn)化為完全信息的情況，所以描述的套期保值問(wèn)題(P)可以敘述為：J(X0:π(t))=MinE[X(T)-ξ]2，其約束條件為：

3　最優(yōu)套期保值策略

假設(shè)2Ep2(t,s(t))dt<∞

假設(shè)3E[π(t)φ(t,s(t))-1]2<∞

定理1 在假設(shè)1，2，3條件下，問(wèn)題(P)的最優(yōu)解為：

(2)

證明引入倒向隨機(jī)微分方程

r(t))-β(t,s(t))]dt+

[π(t)σ(t,s(t))-1]dW(t)+

[π(t)φ(t,s(t))]dNt

(3)

r(t))-β(t,s(t))+

d{p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]2}=

p(t,s(t))d[X(t)-h(t,s(t))]2+

[X(t)-h(t,s(t))]2dp(t,s(t))+

d=

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)+

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

2p(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

p(t,s(t))[π(t)σ(t,s(t))-1]2dt+

[X(t)-h(t,s(t))]2m(t,s(t))dt+

2h(t,s(t))[X(t)-h(t,s(t))]·

[π(t)σ(t,s(t))-1]dt

(4)

對(duì)(4)式從0到T積分然后求數(shù)學(xué)期望可知

E{p(t,s(t))[X(T)-h(T,s(T))]2}=

p(0,s(0))[X(0)-h(0,s(0))]2+

則

H(t,s(t))=

2[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)+

2[X(t)-h(t,s(t))](π(t)σ(t,s(t))-1)

σ2(t,s(t))π2(t)+2[X(t)-h(t,s(t))]·

2[X(t)-h(t,s(t))][r(t)X(t)-β(t,s(t))-

(5)

在(5)式中取

β(t,s(t))=

(6)

E{p(t,s(t))[X(T)-h(T,s(T))]2}=E[X(T)-ξ]2=

p(0,s(0))[X(0)-h(0,s(0))]2+

當(dāng)β(t,s(t))滿足(6)式時(shí)，H(t,s(t))就為π(t)的完全平方式，這時(shí)當(dāng)π(t)滿足(2)式時(shí)，H(t,s(t))=0，顯然最小，從而得到的最優(yōu)套期保值策略π(t)為：

4　結(jié)束語(yǔ)

文章在具有部分信息條件下，股價(jià)服從具有Markov調(diào)制參數(shù)的跳-擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，研究了均值-方差準(zhǔn)則下最優(yōu)套期保值問(wèn)題，先用非線性濾波技術(shù)，將部分信息轉(zhuǎn)化為完全信息，運(yùn)用倒向隨機(jī)微分方程得到最優(yōu)套期保值策略。

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Researche on Problem of Hedging for Price of Stock with Jump-diffusion Processes Under Partial Information

ZHANG Lin, LIU Xuan-hui, CHEN Hui

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

When an important things occurs,the stock price will be discontinuous jumps and generally be considered as jump-diffusion model with Markov modulation Parameter.To minimize risk and maximize revenue, the part of the information under the jump diffusion model to be seted up (Taking into account the geometric Brown movement has been unable to accurately portray the volatility of the stock price). When the stock price follows the jump diffusion process, using nonlinear filtering technique, transforming partial information into complete information, under the mean variance criterion by adopting the idea of stochastic differential game, by using Itformula,display solution of optimal hedging strategy is obtained.

jump-diffusion process; stochastic differential games; hedging; Itformula

2015-12-27

國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11501434)

張琳(1990-)，女，陜西西安人，碩士生，主要從事金融數(shù)學(xué)方面的研究，(E-mail)495269402@qq.com；

劉宣會(huì)(1964-)，男，陜西乾縣人，副教授，主要從事隨機(jī)控制，數(shù)理金融，風(fēng)險(xiǎn)管理方面的研究，(E-mail)lxh1112011@163.com

1673-1549(2016)02-0085-05

10.11863/j.suse.2016.02.17

F830；O211

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