姜躍琪

[摘 要] 在數(shù)學(xué)課堂中重視對學(xué)生歸納推理思維的培養(yǎng)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，豐富學(xué)生的想象力. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲，一般都采用演繹推理的方式實施教學(xué)，束縛了學(xué)生的主觀能動性和創(chuàng)造力，不利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才. 運用歸納推理思維來教學(xué)數(shù)學(xué)概念，可以助力學(xué)生智慧的生長，能力的提升，并直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念；歸納推理；形成智慧；提升經(jīng)驗；創(chuàng)新精神

作為數(shù)學(xué)教學(xué)重要內(nèi)容之一的數(shù)學(xué)概念，在我們的日常教學(xué)中，常常習(xí)慣于采用演繹推理——由結(jié)論出發(fā)回找原因的方法進行教學(xué). 這就意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)前要預(yù)先知道與本課所要學(xué)習(xí)的概念相關(guān)的試題和結(jié)論. 這樣的教學(xué)方式，史寧中教授認(rèn)為是“教學(xué)的顛倒”，忽視了對學(xué)生“通過條件預(yù)測結(jié)果的能力”“依據(jù)結(jié)論探究成因的能力”的培養(yǎng). 法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比. ”

事實也的確如此，對學(xué)生來講，他們對每節(jié)課新授的內(nèi)容是完全陌生的，即使做了相關(guān)預(yù)習(xí)，也不一定能透徹地理解其形式定義，演繹只會更加束縛他們的創(chuàng)新思維，逐漸變得循規(guī)蹈矩. 而歸納推理則要靈活得多，它可以是直覺，可以是假設(shè)，可以是猜測，甚至可以是某種朦朧的意識，其推斷依據(jù)也不必是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆▌t，只要合乎情理即可. 這就給了學(xué)生極大的探究空間，更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理，感悟真理，靈活運用真理.

基于以上認(rèn)識，筆者在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中嘗試實施歸納推理，給學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)實踐、探究空間. 現(xiàn)謹(jǐn)以蘇教版八年級下冊第8章“認(rèn)識概率”中的“頻率與概率”一課為例，談?wù)劰P者的一些做法和思考.

從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，確定

相適應(yīng)的前理解素材

生活中關(guān)乎概率的事件很多，比如常見的彩票中獎、莊稼收成、天氣變化等，但這些需要極多專業(yè)知識輔助的例子，不適宜當(dāng)前學(xué)生分析、歸納出“概率”和“頻率”的定義. 因此，備課時，筆者從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計了學(xué)生非常熟悉的教學(xué)素材：拋硬幣自由落下后正面和反面次數(shù)的概率，讓學(xué)生在小組合作操作中形成記錄. 然后，出示18世紀(jì)以來統(tǒng)計學(xué)家們在拋硬幣試驗中得出的幾組數(shù)據(jù)（表1）.

因為有了自己的親身操作實踐，還有統(tǒng)計學(xué)家的實驗記錄，普通的小事立刻變得充滿數(shù)學(xué)味. 學(xué)生的興趣立刻得到極大地調(diào)動，他們各抒己見，暢所欲言，最后形成共識：拋硬幣落下后正面朝上的頻率總在二分之一附近波動，而且近似等于二分之一. 這樣，他們對隨機性事件發(fā)生可能性的大小、頻率以及“概率”的概念都有了真實的體驗.

教材中給出了隨機事件概率的定義和記寫規(guī)定，如把某一事件記作“A”，將這個事件的概率用“P（A）”表示，必然事件就是百分之百會發(fā)生，于是記作“P（A）=1”，隨機事件發(fā)生的概率則在0～1之間，用“0< P（A）<1”來表述……這種約定俗成的說法，如果我們直接出示以告知學(xué)生也未嘗不可，且絲毫不影響學(xué)生今后的作業(yè)和測試. 但從數(shù)學(xué)的意義和價值上來說，筆者覺得還是有必要讓學(xué)生經(jīng)歷一次形成的過程，這樣可以更好地體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和簡約. 比如先讓他們思考合適的表達方式，無論文字還是字母、數(shù)字，再將他們的結(jié)果與教材上的表述相對照，能夠與教材表述思路一致的，必然喜出望外，成功感油然而生；有所差距的，則會對照，暗自修改，最后達到真正內(nèi)化、吸收的目的.

讓學(xué)生多列舉特殊例子，充分

感受歸納推理的過程

既然是歸納，我們就要盡可能地讓學(xué)生列舉多種現(xiàn)象，懂得避免由個別現(xiàn)象代表普遍現(xiàn)象的以偏概全的錯誤. 教學(xué)中，筆者讓學(xué)生通過擲圖釘?shù)睦?，進一步體會可能性的大小變化，并出示數(shù)據(jù)引導(dǎo)分析（表2是小明和同學(xué)做“擲圖釘實驗”獲得的數(shù)據(jù)）.

德國天文學(xué)家開普勒非常珍視類比歸納，他把類比稱為“最可信賴的老師”，能“揭示自然的所有奧秘”. 其實，在數(shù)學(xué)中，類比歸納的地位也很高，也應(yīng)得到充分的重視，因為只有在大量事例的分析歸納中才能真正讓“特殊到一般”，加快學(xué)生對概念的準(zhǔn)確理解，提高學(xué)生解決問題的能力，積累實用的數(shù)學(xué)經(jīng)驗. 上述第二個案例中，因為圖釘身大頭小的特性，它的拋擲結(jié)果與硬幣大有不同，在這一不同中，學(xué)生對“概率”的認(rèn)識又進了一步. 筆者再讓他們繼續(xù)列舉，如：（1）全班同學(xué)中同年同月出生的人；（2）全班同學(xué)中同年同月同日出生的人；（3）在外旅游遇到家鄉(xiāng)人；（4）旋轉(zhuǎn)硬幣后隨意壓倒正面朝上；（5）回家打開電視恰好在放廣告；（6）自由轉(zhuǎn)動指針，指針停止后指向……通過諸多現(xiàn)象的列舉和分析，學(xué)生能充分感受并經(jīng)歷歸納的基本過程，發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的能力也能得到很好的鍛煉.

給學(xué)生探究歸納的空間，實實

在在地提升數(shù)學(xué)經(jīng)驗

有了諸多生活現(xiàn)象的列舉，學(xué)生擁有了豐富的感知素材，這也為他們的進一步探究和歸納提供了可能和空間. 課堂上，筆者繼續(xù)安排學(xué)生進行探究活動：根據(jù)對某品牌護眼臺燈的質(zhì)量檢驗數(shù)據(jù)進行分析（表3）.

（1）請計算抽到該品牌臺燈“合格品”的頻率，填寫在表格中；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)繪制該品牌臺燈“合格品”的頻率折線統(tǒng)計圖；

（3）分析：當(dāng)抽到的該品牌的臺燈的數(shù)目很大時，你發(fā)現(xiàn)“抽到合格品”的頻率在哪個常數(shù)附近擺動？

這樣，學(xué)生通過計算，又得到了與剛才兩例不同的信息. 筆者將上面統(tǒng)計學(xué)家們拋擲硬幣、小明和同學(xué)拋擲圖釘以及這里某品牌臺燈抽樣質(zhì)檢的三個不同概率結(jié)果讓學(xué)生們進行對比，并讓他們分組討論隨機事件發(fā)生的頻率變化及原因. 他們很快交流匯總得出：只要硬幣質(zhì)地均勻，那么“正面朝上”的概率為0.5，與反面朝上的概率均等；圖釘因為構(gòu)造的特殊性，“釘尖著地”與“釘尖不著地”的概率出現(xiàn)了不均等；當(dāng)臺燈抽樣質(zhì)檢的數(shù)量足夠多時，合格品的概率就會接近某一個常數(shù). 繼而，他們又推斷出頻率、頻率穩(wěn)定性、概率大小可能性變化特點等一系列相關(guān)認(rèn)知，在充分感悟了歸納推理的方法和效能的同時，鍛煉了分析問題、解決問題、概括提煉的能力.

在“頻率與概率”中，出現(xiàn)的數(shù)學(xué)術(shù)語和概念比較密集，教材也基本采用演繹的方式——先給出一個定義（這是人們經(jīng)歷無數(shù)論證得到的公認(rèn)的成果），然后直接呈現(xiàn)給學(xué)生，接著讓學(xué)生揣摩、理解、記憶. 這樣的結(jié)果是“剝奪了學(xué)生創(chuàng)造定義的機會”，而且更糟的是，“處于這個階段的學(xué)生尚不能自主理解這比較枯燥的形式定義，更無法理解這形式定義的目的和意義. ”新課標(biāo)要求學(xué)生能通過觀察、實驗、歸納、類比獲得數(shù)學(xué)猜想，并進一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例. 在中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，重視對學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生加深認(rèn)知，增強創(chuàng)新意識和能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成數(shù)學(xué)智慧，值得我們繼續(xù)研究與實踐.