☉江蘇省如東高級中學(xué) 唐 勇

例談優(yōu)化解析幾何解題策略與方法

☉江蘇省如東高級中學(xué) 唐 勇

解析幾何綜合題常作為高考試卷的壓軸題，常常會涉及較復(fù)雜的一些計(jì)算題，綜合代數(shù)、幾何、三角等知識，運(yùn)算量大，方法與技能方面要求高，讓學(xué)生最頭痛的是計(jì)算，這就需要我們認(rèn)真分析題目，觀察已知和未知，認(rèn)真分析、觀察解答過程中的每一步以及題目要求，便可施以技巧，使問題得到簡捷解答.從而達(dá)到優(yōu)化解題過程、提高思維品質(zhì)，使做題達(dá)到事半功倍之功效，下面舉例予以說明.

一、掌握圓錐曲線基本性質(zhì)是解題的前提

要想熟練解決解析幾何綜合題，掌握其基本性質(zhì)是必要前提.例如，橢圓的第一定義：｛P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c｝，P點(diǎn)的軌跡；橢圓的第二定義：動點(diǎn)到定點(diǎn)F（c，0）的距離與到定直線：x=的距離之比為的點(diǎn)的軌跡；橢圓的焦半徑r1=a-ex，r1+r2=2a，得r2=a+ex；橢圓的一個重要結(jié)論：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），kPA·kPB=，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為等等.

（Ⅰ）求曲線W的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1，l2分別交曲線W于A，B和C，D，求四邊形ACBD面積的最小值.

圖1

（Ⅱ）如圖1，直線l，l的斜率存在12且不為0，設(shè)直線l1的方程為y=kx+

由l1⊥l2，得l2的方程y=

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6k，x1x2=-9，

點(diǎn)評：第一小問考查到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的集合是拋物線（拋物線的定義）.第二小問考查的是對角線相互垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，弦長公式，利用基本不等式求最值.通過典型例題的示范，學(xué)生做到心中有數(shù)，大多數(shù)學(xué)生能舉一反三，讓學(xué)生摸著石頭過河.

二、善于從整體思考問題是解題的關(guān)鍵

解析幾何運(yùn)算量較大，若能從整體考慮，例如經(jīng)常使用設(shè)而不求的方法，往往會取得事半功倍的效果.

解：如圖2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

圖2

得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0.

由題意知，Δ1=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-16）＞0，

即m2＜4+16k2.①

則x1+x2=

所以|x1-x2|=

由直線y=kx+m與y軸的交點(diǎn)為（0，m），

再將y=kx+m代入橢圓C，得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

由題意知，Δ2=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）≥0，

即m2≤1+4k2.②

由①②可知，0＜t≤1.

所以，當(dāng)t=1時，S△OAB取得最大值為2

點(diǎn)評：求解解析幾何問題常用的方法是“設(shè)而不求”，該方法的關(guān)鍵是合理設(shè)置參數(shù)，從整體上抓住解題目標(biāo)，通過整體運(yùn)算、整體代換、整體換元等方法，如遇“中點(diǎn)弦問題”常用“點(diǎn)差法”，實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡的目的.

三、優(yōu)化處理計(jì)算方法是解題的重要步驟

解析幾何題中如何優(yōu)化計(jì)算是解題的重要步驟，常用的方法有點(diǎn)差法、同解式中的類比代換，有效捕捉信息等等.

1.點(diǎn)差法

例3 已知雙曲線：x2-=1.過P（1，2）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)？

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x21-

①-②，得（x1-x2）（x1+x2）-

即（x1-x2）×2-

所求直線的方程為y-2=x-1，即x-y+1=0.

以上這題，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再做差，求出所求直線的斜率，帶入點(diǎn)斜式直線方程，求出直線方程，根本沒有什么計(jì)算量，很簡潔.

2.類比代換

面對問題，我們要認(rèn)真審題，選好解題的入手點(diǎn)，特別對于似曾相識的問題，要避免先入為主，選對解題方向，繞過非必要的運(yùn)算.

3.捕捉有效信息，避免“過分運(yùn)算”

例4 如圖3，已知A、B、C是長軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且

圖3

（Ⅰ）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否存在實(shí)數(shù)λ，使，請說明理由.

解：（Ⅰ）以橢圓中O為原點(diǎn)，兩對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，建立如圖3所示的坐標(biāo)系.于是可設(shè)橢圓的方程為，由此橢圓長軸為4，于是a=2.

所以b2=，故橢圓的方程為，即x2+3y2=4.

此問題中運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)△OAC是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，進(jìn)而求得C點(diǎn)坐標(biāo)，這一點(diǎn)很關(guān)鍵.

（Ⅱ）由直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，可知直線CP，CQ斜率存在且互為相反數(shù)，于是設(shè)直線CP的方程為y-1=k（x-1），即y=kx+1-k，則CQ的方程為y=-kx+1+k（只需將上式中的k換成-k即得），并設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.

由韋達(dá)定理，得1+x1=-

于是x1=

，所以y1=

由于求Q點(diǎn)的坐標(biāo)與求P點(diǎn)坐標(biāo)過程完全相同，只需將-k替換P點(diǎn)坐標(biāo)中的k，就得Q點(diǎn)的坐標(biāo).

點(diǎn)評：由此可見，解題中隨時捕捉有用信息，力避“重復(fù)計(jì)算”“過分運(yùn)算”，縮短了解題的長度，節(jié)約了寶貴的時間資源.

四、加強(qiáng)題型的模式辨別是優(yōu)化解題的捷徑

解析幾何綜合問題有很多共同點(diǎn)，大多都是由一些“基本題型”構(gòu)成.深入剖析這些“基本題型”，掌握解決這類問題的一般方法，進(jìn)而視為你解決其他新問題的工具，這是理解和掌握解析幾何的一種有效方法.解析幾何題的“基本模型”一般包括：弦長、面積最值問題；定點(diǎn)、定值問題，對稱問題，取值范圍問題等等，下面僅僅闡述關(guān)于“弦長、面積”的基本模型.

圖4

求一個量的最大值，首先考慮這個量的變化與哪個變量有關(guān)，這是函數(shù)思想的應(yīng)用.本題中△ABC面積的變化隨直線AB的斜率變化而變化，因此選擇斜率為變量表示面積.一般方法：S△ABC=，d是點(diǎn)C而且到直線AB的距離.分析本題直線AB過左焦點(diǎn)F（-1，0）且|CF|=1，所以S△ABC=S△ACF+

因此可設(shè)直線AB方程為x=my-1，引入?yún)⒆兞縨，預(yù)測得到S=（fm），應(yīng)用代數(shù)方法求最值，而且這種設(shè)法不用對斜率k是否存在進(jìn)行討論）.與橢圓方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程（3m2+4）y2-6my-9=0，可求得

以本題為基本模型，你可變換得到很多題目.

變式3 上題中記△ACD與△BCD的面積分別為S1和S2，求|S1-S2|的最大值.

點(diǎn)評：解決解析幾何題可以先分析題目規(guī)劃解題思路，找到相應(yīng)的基本模型.因此，分析基本題型，內(nèi)化成分析解決問題的工具，不僅在解析幾何中應(yīng)用，也是解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中難點(diǎn)的一種有效方法.

通過以上舉例我們可以看出掌握概念，抓住問題的核心，透視問題的實(shí)質(zhì)，優(yōu)化解題過程，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和簡單美，使解題者進(jìn)一步認(rèn)知數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)解題巧設(shè)巧解、以簡馭繁是大有裨益的.