柴馨雪，李秦川

(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

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3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

柴馨雪，李秦川

(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和1個(gè)移動(dòng)自由度，是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一個(gè)重要分支，具有較大的應(yīng)用潛力。運(yùn)用幾何代數(shù)對(duì)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析。首先用幾何代數(shù)表示了分支和動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間；然后通過對(duì)分支運(yùn)動(dòng)空間求交得到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間，該運(yùn)動(dòng)空間的基給出了3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號(hào)表達(dá)式。使用幾何代數(shù)方法所得結(jié)果具有幾何直觀性，且不需要對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行約束分析，運(yùn)算更為簡捷。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；自由度分析；幾何代數(shù)

0　引　言

兩轉(zhuǎn)一移(2R1T)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中重要的一類，自Hunt[1]于1983年提出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)以來(R：轉(zhuǎn)動(dòng)副，P：移動(dòng)副，S：球鉸)，2R1T三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)已被用于許多領(lǐng)域，如基于3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Z3主軸頭[2]、Exechon混聯(lián)機(jī)器人[3]、望遠(yuǎn)鏡姿態(tài)控制器[4]、運(yùn)動(dòng)模擬器[5]、微操作機(jī)器人[6]以及坐標(biāo)測量機(jī)等[7]。各國研究者對(duì)該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)開展了大量研究，在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[8]、尺寸綜合[9]、奇異分析[10]、伴隨運(yùn)動(dòng)[11]等方面取得了重要進(jìn)展。

自由度指確定機(jī)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)鏈位形所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)[12]。自由度分析是機(jī)構(gòu)應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中多存在冗余約束，其自由度的計(jì)算十分困難，各國學(xué)者在此方面做了大量工作。黃真等[13]提出了基于約束螺旋理論的自由度分析方法和修正G-K公式，其原理是對(duì)各分支施加于動(dòng)平臺(tái)的約束系求并，以得到動(dòng)平臺(tái)被約束的自由度。該方法適用于全部9類少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。Herve[14]采用基于群論方法的并聯(lián)機(jī)構(gòu)位移子群求交方法來分析自由度。Staffetti[15]提出一種基于Grassmann-Cayley代數(shù)的分支運(yùn)動(dòng)空間的交集計(jì)算方法。

幾何代數(shù)又被稱為Clifford代數(shù)，是一種幾何應(yīng)用方面極具潛力的計(jì)算方法，由Clifford[16]在1876年首次提出，故又被稱作Clifford代數(shù)。Hestenes[17]將Clifford代數(shù)進(jìn)行幾何意義上的解釋，從而稱它為幾何代數(shù)。在處理幾何應(yīng)用問題時(shí)，幾何代數(shù)在幾何解釋方面具有其他方法無法比擬的優(yōu)勢，已被廣泛應(yīng)用到物理[18-19]、神經(jīng)計(jì)算[20]、信號(hào)及圖像處理[21]、機(jī)器視覺[22]、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[23]和機(jī)器人學(xué)[24-25]等領(lǐng)域。Hildenbrand和Zamora等[26-27]用共形幾何代數(shù)方法對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解等問題進(jìn)行了分析。Aristidou和Lasenby[28-29]用幾何代數(shù)方法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，并且提出了一種有效的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解迭代求解器Fabrik。Lasenby等[30]提出了一種基于幾何代數(shù)的機(jī)器視覺結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)評(píng)估方法。Tanev[31]用幾何代數(shù)方法對(duì)四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異分析。

本文運(yùn)用幾何代數(shù)對(duì)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行分析。首先用利用幾何代數(shù)中的外積表達(dá)了分支和動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間，然后通過對(duì)分支運(yùn)動(dòng)空間求交得到動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間，該運(yùn)動(dòng)空間的基給出了3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號(hào)表達(dá)式。

1　幾何代數(shù)基礎(chǔ)

(1)

已知向量a和b，則a和b的幾何積可以定義為：

ab=a·b+a∧b

(2)

其中：a·b是向量a和b的內(nèi)積，a∧b是向量a和b的外積。

2個(gè)向量a和b的外積表示一個(gè)有方向的平面度量，具體表示為向量b沿著向量a掃過而形成的平行四邊形，如圖1(a)所示。外積具有反對(duì)稱性，即a∧b=-b∧a。

圖1　幾何積的幾何表達(dá)

3個(gè)向量a、b和c的外積表示一個(gè)有方向的空間度量，具體表示為面度量a∧b沿著向量c掃過而形成的空間，如圖1(b)所示。外積運(yùn)算滿足結(jié)合律，即(a∧b)∧c=a∧(b∧c)。

k個(gè)向量a1,a2,…,ak的外積組成一個(gè)k維的片積(blade)：

〈A〉k=a1∧a2∧…∧ak

(3)

其中k是片積的階(grade)。k階片積的幾何意義為一個(gè)由k個(gè)向量張成的子空間。

In=e1e2e3…en

(4)

k階片積A的對(duì)偶空間為這個(gè)k維子空間的正交補(bǔ)空間：

(5)

幾何代數(shù)可以表示螺旋理論，螺旋理論與幾何代數(shù)的關(guān)系在文獻(xiàn)[32]中有詳細(xì)闡述。本文將螺旋理論與幾何代數(shù)運(yùn)算之間關(guān)系用表格形式列出，如表1所示。

表1　螺旋理論與幾何代數(shù)的關(guān)系

(6)

(7)

交集可以看作是向量空間交集的代數(shù)表達(dá)形式。

A和B的交集還滿足德摩根定律，即：

(8)

2　自由度分析方法

串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)空間可以表示為組成該串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈的每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)子空間的并集。因此第i個(gè)分支上的運(yùn)動(dòng)空間可以表示為分支上mi個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)子空間的并集：

Ai=Si1∧…∧Sij∧…∧Simi

(9)

其中Sij表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)第i個(gè)分支上第j個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋。

mi階的片積Ai表示第i個(gè)分支上所有mi個(gè)關(guān)節(jié)張成的運(yùn)動(dòng)空間。如果式(9)中的向量Sij和Sij+1線性相關(guān)，需要在移除線性相關(guān)項(xiàng)后再進(jìn)行計(jì)算。

相反地，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間是所有分支運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)空間的交集。根據(jù)式(7)可得到分支運(yùn)動(dòng)子空間Ai和Ai+1的交集為：

(10)

如果機(jī)構(gòu)的分支數(shù)目為n，則動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間M為所有n個(gè)分支運(yùn)動(dòng)子空間的交集，即：

M=A1∨…∨Ai∨…∨An

(11)

其中動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間M的階數(shù)即為機(jī)構(gòu)自由度的數(shù)目。

3　3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

圖2為一個(gè)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中U表示虎克鉸。分支一及分支二的R副軸線相互平行，且與分支一及分支二上的P副軸線垂直。分支三上的R副軸線與前兩個(gè)分支上的R副軸線相互垂直，且與分支三上的P副軸線垂直。R副經(jīng)過點(diǎn)Ai(i=1,2,3)和Bi。3個(gè)U副的中心分別經(jīng)過點(diǎn)Ci(i=1,2,3)，且這3點(diǎn)都在動(dòng)平臺(tái)上為共線關(guān)系，如圖2所示。該機(jī)構(gòu)中3個(gè)P副為驅(qū)動(dòng)副。

圖2　3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

定平臺(tái)是一個(gè)等腰三角形△DEF，其形心為點(diǎn)o，且滿足DF=FG。固定坐標(biāo)系oxyz如圖2所示建立，其中x軸沿著OG，y軸沿著OF，z軸朝上。一般位形下的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖3所示。

假設(shè)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在一般位形下且未達(dá)到奇異位形。建立從動(dòng)坐標(biāo)系o′x′y′z′相對(duì)于固定坐標(biāo)系oxyz的Y-X-Z歐拉角姿態(tài)變換，即：首先繞初始位形的y軸轉(zhuǎn)θ角度，其次繞著當(dāng)前的x軸轉(zhuǎn)過ψ角度，最后繞著當(dāng)前z軸轉(zhuǎn)ψ角度。旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下：

圖3　3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

(12)

機(jī)構(gòu)中點(diǎn)A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3的坐標(biāo)及U副的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相對(duì)于固定坐標(biāo)系的方向矢量如表2所示。

表2　3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

sinψ(Pz+rsinθ)e4+cosψ(r+Pzsinθ)e5+

rcosθsinψe6

(13)

分支一上運(yùn)動(dòng)空間為組成該串聯(lián)分支的所有關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)子空間的并集：

=S11∧S12∧S13∧S14∧S15

=a(e1∧e2∧e3∧e4∧e6-rcosθe1∧e2∧e4∧e5∧e6+(rsinθ-PZ)e2∧e3∧e4∧e5∧e6)

(14)

其中a是一個(gè)非零標(biāo)量系數(shù)，對(duì)自由度分析沒有影響，可以忽略。

同理，分支二上的每個(gè)關(guān)節(jié)螺旋在Γ6中的表達(dá)式為：

sinψ(Pz-rsinθ)e4-cosψ(r-Pzsinθ)e5-

rcosθsinψe6

(15)

分支二上運(yùn)動(dòng)空間為組成該串聯(lián)分支的所有關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)子空間的并集：

=S21∧S22∧S23∧S24∧S25

=b(e1∧e2∧e3∧e4∧e6+rcosθe1∧e2∧e4∧e5∧e6+(rsinθ-PZ)e2∧e3∧e4∧e5∧e6)

(16)

其中b是一個(gè)非零標(biāo)量系數(shù)，對(duì)自由度分析沒有影響，可以忽略。

分支三上的每個(gè)關(guān)節(jié)螺旋在Γ6中的表達(dá)式為：

Psinψe4+Pzsinθcosψe5

(17)

分支三上運(yùn)動(dòng)空間為組成該串聯(lián)分支的所有關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)子空間的并集：

=S31∧S32∧S33∧S34∧S35

=c(e1∧e2∧e3∧e5∧e6+Pze1∧e3∧e4∧e5∧e6)

(18)

其中c是一個(gè)非零標(biāo)量系數(shù)，對(duì)自由度分析沒有影響，可以忽略。

根據(jù)式(10)可以得到分支一和分支二的運(yùn)動(dòng)子空間的交集：

A12=A1∨A2

=d(PZcosθe2∧e4∧e5∧e6+sinθe2∧e3∧e4∧e6+cosθe1∧e2∧e4∧e6)

(19)

其中d是一個(gè)非零標(biāo)量系數(shù)，對(duì)自由度分析沒有影響，可以忽略。

根據(jù)式(11)，可以得到分支一、分支二和分支三的運(yùn)動(dòng)子空間的交集，即：

M=A1∨A2∨A3

=A12∨A3

=M1∧M2∧M3=f(cosθe1-sinθe3+Pzcosθe5)∧(e2-Pze4)∧e6

(20)

其中f是一個(gè)非零標(biāo)量系數(shù)，對(duì)自由度分析沒有影響，可以忽略不計(jì)。

式(20)表示分支一、分支二和分支三的運(yùn)動(dòng)子空間的交集是一個(gè)階數(shù)為3的片積。這個(gè)3階片積表示3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上的運(yùn)動(dòng)空間，表明該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，分別為M1=cosθe1-sinθe3+Pzcosθe5,M2=e2-Pze4,M3=e6。M1是一條與C1C3重合的直線，表示一個(gè)繞線C1C3的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。M2是一條經(jīng)過點(diǎn)C3且與y軸平行的直線，表示一個(gè)繞這條線的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。M3表示沿z軸移動(dòng)的移動(dòng)自由度。

4　結(jié)　論

本文運(yùn)用幾何代數(shù)對(duì)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，通過對(duì)3條PRRU支鏈的運(yùn)動(dòng)空間求交得到動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)空間的解析表達(dá)式。從該解析表達(dá)式中可以看出，該機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，分別為繞C1C3的轉(zhuǎn)動(dòng)、繞過點(diǎn)C3且與y軸平行的直線的轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿z軸移動(dòng)。使用幾何代數(shù)可直接對(duì)3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)分支運(yùn)動(dòng)空間進(jìn)行求交計(jì)算，這種方式更符合人對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的思維習(xí)慣，并且避免了約束方程的求解，使得計(jì)算過程更加簡單。

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(責(zé)任編輯： 康鋒)

Mobility Analysis of a 3-PRRU Parallel Mechanism

CHAIXinxue，LIQinchuan

(Faculty of Mechanical Engineering and Automation, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

The 3-DOF parallel mechanism (PM) with one translational and two rotational (1T2R) DOFs is an important category of the lower-mobility PM. Mobility is a basic property of a mechanism. This paper analyzes the mobility of a 3-PRRU PM based on geometric algebra (GA). Firstly, the twist space of the limb and moving platform are represented by geometric algebra. Then, the twist space of the moving platform is obtained by taking the intersection of the twist space of all the limbs. Finally, the symbolic expression of mobility of a 3-PRRU PM is given by the basis of the twist space on the moving platform. Using GA-based method, geometric intuition is the advantage of this method. Without resorting constraint equation, the calculation is more convenient and fast.

parallel mechanism；mobility anlaysis；geometric algebra

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.007

2015-12-31

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51525504)

柴馨雪(1988-)，女，內(nèi)蒙古赤峰人，博士研究生，主要從事并聯(lián)機(jī)器人方面的研究。

李秦川，E-mail：lqchuan@zstu.edu.cn

TP24

A

1673- 3851 (2016) 02- 0192- 06 引用頁碼： 030401