李　冬， 王慧聰， 宋天舒

(1. 河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，石家莊　050091；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱　150001)

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壓電材料中多個(gè)孔邊徑向裂紋的動(dòng)力相互作用

李冬1， 王慧聰1， 宋天舒2

(1. 河北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系，石家莊050091；2. 哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱150001)

采用Green函數(shù)法對(duì)壓電材料中多個(gè)孔邊徑向裂紋在SH波作用下的相互作用問題進(jìn)行了研究。首先利用復(fù)變函數(shù)方法構(gòu)造出具有多個(gè)半圓形凹陷的半無限壓電介質(zhì)的位移Green函數(shù)和電場(chǎng)Green函數(shù)，然后采用裂紋“切割”技術(shù)構(gòu)造孔邊徑向裂紋，根據(jù)界面上的位移和應(yīng)力連續(xù)性條件建立求解問題的第一類Fredholm定解積分方程。最后作為算例，給出了裂紋尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨缺陷幾何尺寸、材料物理參數(shù)和入射波頻率的變化特征圖并進(jìn)行了討論。

壓電材料；孔邊徑向裂紋；Green函數(shù)；動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子；SH波散射

壓電材料具有獨(dú)特的力電耦合性質(zhì)，因此被廣泛用于制作高精度位移器和傳感器等電子元器件。但由于其本身呈脆性，壓電材料制作的電子器件在工作過程中經(jīng)常發(fā)生電致疲勞和電致斷裂，因而對(duì)于壓電材料及結(jié)構(gòu)的力電耦合的靜動(dòng)力特性研究得到了普遍重視[1-3]。近年來，NARITA等[4]研究了電彈波作用下壓電材料中單一裂紋的能量釋放率問題；MEGUID等[5-6]對(duì)壓電材料中多個(gè)裂紋在電彈波場(chǎng)作用下的動(dòng)力反平面問題進(jìn)行了研究；WANG[7]進(jìn)一步對(duì)雙相壓電材料中多個(gè)界面裂紋相互作用的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了探討；周振功等[8-9]分析了壓電材料中兩平行裂紋的相互影響問題。

以上研究均是把缺陷簡(jiǎn)化成直線型裂紋來進(jìn)行研究，但是目前已有部分研究成果表明，將材料中的缺陷一律簡(jiǎn)化成直線型裂紋并不總是偏于安全的，比如孔邊裂紋缺陷情況。GARCA-SNCHEZ等[10]對(duì)各向異性壓電板中孔邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子問題采用混合邊界元的方法進(jìn)行了數(shù)值分析；WANG等[11]利用保角映射和復(fù)變函數(shù)方法分析了無限大壓電材料中圓孔邊徑向Ш型裂紋問題；GUO等[12-13]利用文獻(xiàn)[11]中的方法對(duì)壓電材料中橢圓孔邊非對(duì)稱雙裂紋的反平面問題進(jìn)行了探討；宋天舒等[14-15]通過Green函數(shù)方法研究了壓電材料中圓孔邊徑向Ш型裂紋在SH波作用下的動(dòng)力反平面特性。

本文對(duì)含有多個(gè)圓孔邊徑向裂紋缺陷的橫觀各向同性壓電材料的動(dòng)力反平面問題進(jìn)行了分析，討論了在一組穩(wěn)態(tài)電彈波場(chǎng)作用下，裂紋尖端的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨材料的幾何參數(shù)、物理參數(shù)以及入射波頻率等因素的變化規(guī)律。

1　力學(xué)模型與基本方程

含多個(gè)圓孔邊徑向有限長(zhǎng)度裂紋的橫觀各向同性壓電材料力學(xué)模型如圖1所示。介質(zhì)中含有N個(gè)圓孔邊徑向裂紋，且各裂紋均在一條直線上。沿裂紋方向建立xoy整體直角坐標(biāo)系，并以各圓孔中心為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系xnonyn，各圓孔半徑分別為Rn，孔邊裂紋長(zhǎng)度取為An，其中，n=1、2、…、N。相鄰裂紋間的距離為d1、d2、…、dN-1，SH波與x軸呈角度a0入射，假定z軸為電極化方向。

圖1　壓電材料中多孔邊徑向裂紋模型Fig.1 Piezoelectric material with radial cracks emanating from the edges of circular cavities

在壓電材料中，穩(wěn)態(tài)的反平面動(dòng)力學(xué)問題的控制方程為[6]：

c442w+e152φ+ρω2w=0,

e152w-κ112φ=0

(1)

式中：e15，κ11和c44分別為材料的壓電系數(shù)、介電常數(shù)和彈性常數(shù)；w和φ為介質(zhì)的出平面位移和平面內(nèi)電勢(shì)；ω和ρ為入射波圓頻率和材料的質(zhì)量密度。另外，這里省略了時(shí)間諧和因子exp(-iωt)，下同。

(2)

(3)

式中:τrz、τθz、Dr和Dθ分別為兩個(gè)剪應(yīng)力分量和兩個(gè)電位移分量。

2　Green函數(shù)

本文Green函數(shù)采用的是具有多個(gè)半圓形凹陷的半無限壓電介質(zhì)在其水平表面任意一點(diǎn)η0處承受與時(shí)間諧和的出平面線源荷載δ(η-η0)作用時(shí)位移函數(shù)Gw和電勢(shì)函數(shù)Gφ的基本解，滿足控制方程式(2)的表達(dá)式由入射和散射兩部分組成，分別用上標(biāo)i和s表示[16]：

(4)

式中：

(5)

(6)

將式(4)代入本構(gòu)方程式(3)，得到相應(yīng)的應(yīng)力和電位移表達(dá)式，利用邊界條件(6)可得到求解未知系數(shù)的無窮代數(shù)方程組：

(7)

式中：

其中，κ0為圓孔內(nèi)的介電常數(shù)。

利用周期函數(shù)的正交性，式(7)兩邊同乘e-inθ(n=0, ±1, ±2,…)，并在(-π,π)上積分可得：

(8)

式中：

3　定解積分方程

3.1圓孔對(duì)SH波的散射

一束穩(wěn)態(tài)的SH波入射到含多個(gè)圓孔的無限域壓電介質(zhì)中，入射角度為a0，其產(chǎn)生的位移場(chǎng)和電勢(shì)由入射和散射兩部分組成。其中，入射位移場(chǎng)w(i)和電勢(shì)φ(i)可寫成[7]：

(9)

由圓孔產(chǎn)生的散射位移場(chǎng)w(s)和電勢(shì)φ(s)可分別寫為：

(10)

則含多個(gè)圓孔無限域壓電介質(zhì)中的總場(chǎng)為：

w(t)=w(i)+w(s)，φ(t)=φ(i)+φ(s)

(11)

(12)

3.2定解積分方程的建立

根據(jù)已經(jīng)得到的含多個(gè)圓孔的無限域壓電介質(zhì)中SH波入射時(shí)的總位移場(chǎng)和總電勢(shì)以及半無限域中的Green函數(shù)，利用“裂紋切割”技術(shù)并結(jié)合“契合”思想[17]可構(gòu)造得到壓電介質(zhì)中多個(gè)孔邊徑向?qū)鸭y對(duì)SH波散射的模型，其過程如圖2所示。

圖2　壓電介質(zhì)中裂紋切割與剖面契合模型Fig.2 The model of cracks’ division and section conjunction in a piezoelectric medium

(13)

f+(r0,θ0)=f-(r0,θ0)=f(r0,θ0)

位移連續(xù)性條件為：

w(t+)+w(f+)+w(c+)=w(t-)+w(f-)+w(c-)

(14)

其中,

w(t+)=w(t-)=w(t)

w(f+)=∫Γ0f+(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0+

∫ΓNf+(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0

w(f-)=-∫Γ0f-(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0-

∫ΓNf-(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0

這里，

Γ0∈[R1+A1,∞];

Γn∈[Cn+Rn+An,Cn+Rn+An+dn];

ΓN∈[CN+RN+AN,∞];

Π1=Π2∈[R1,R1+A1];

Π2n-1∈[Cn-Rn-An,Cn-Rn];

Π2n∈[Cn+Rn,Cn+Rn+An];

其中，Cn為各圓孔中心到整體坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離，n=1,2,…,N。

由式(13)和(14)并結(jié)合上面幾式便可得到求解未知力系f(r0,θ0)的定解積分方程：

∫Γ0f+(r0,π)Gw(r,θ;r0,π)dr0+

∫ΓNf+(r0,0)Gw(r,θ;r0,0)dr0=

θ=0,π

(15)

3.3動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義與求解

附加的外力系f在裂紋尖端處具有平方根奇異性。引入孔邊徑向裂紋的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子kⅢ如下：

(16)

式中:Sn=Cn-Rn-An或Cn+Rn+An(分別對(duì)應(yīng)孔邊裂紋的左端點(diǎn)和右端點(diǎn))。

為了在定解積分方程中直接包含動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子以便于求解，對(duì)式(15)中的被積函數(shù)作如下代換：

(17)

代換后的定解積分方程在裂紋尖端處的數(shù)值結(jié)果即為動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子kⅢ的值。本文采用直接數(shù)值積分方法，利用散射波的衰減特性，把無窮積分方程轉(zhuǎn)化為僅含有限項(xiàng)的線性代數(shù)方程，用Gauss消元法求解。

(18)

式中:τ0為入射波w(i)的應(yīng)力幅值τ0=c*kw0。Q是特征參數(shù)，具有長(zhǎng)度平方根的量綱。其值取SIH[18]在研究此類問題時(shí)給出的表達(dá)式：

(19)

4　算例和分析

作為算例，本文主要給出了雙圓孔情況下，波垂直入射時(shí)，孔邊徑向裂紋內(nèi)端點(diǎn)(圖中B點(diǎn)所示)的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨圓孔半徑、裂紋長(zhǎng)度、入射波頻率和壓電常數(shù)等參數(shù)變化的數(shù)值結(jié)果。其中，各圓孔半徑和孔邊裂紋長(zhǎng)度假定相等，分別用R和A表示。

圖3給出了孔邊徑向裂紋和等效長(zhǎng)度的直線型裂紋尖端的DSIF值在不同無量綱波數(shù)時(shí)，隨A/R的變化?？梢钥吹剑瑑煞N模型下裂紋尖端的DSIF值大小交替變化，范圍從-73%～98%。由此表明，“將非裂紋缺陷一律簡(jiǎn)化為Griffith裂紋是偏于安全的”假設(shè)并不總成立。

圖4給出了A/R取不同值時(shí)，DSIF值隨無量綱波數(shù)kR的變化情況。分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A/R=1 000，即退化到兩直線型裂紋模型時(shí)，其值與文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù)基本吻合。各DSIF值曲線隨波數(shù)的增大而振蕩衰減，其峰值隨A/R減小而減小。當(dāng)A/R=1.0和2.0時(shí)，其DSIF曲線峰值分別比A/R=1 000時(shí)的峰值大14%和31%。由此說明，當(dāng)裂紋尺寸相對(duì)于圓孔半徑相差不大時(shí)，圓孔對(duì)DSIF峰值的影響較明顯。

圖5給出了壓電常數(shù)λ取不同值時(shí)，DSIF值的變化情況。由圖可見，當(dāng)波數(shù)kR=0.3左右時(shí)，各DSIF曲線取得峰值，且其值隨λ增加而增大。當(dāng)波數(shù)kR>0.6左右時(shí)，各曲線變化趨勢(shì)剛好相反。隨著波數(shù)的增加，以上變化趨勢(shì)又重復(fù)出現(xiàn)。

圖6給出了兩圓孔邊裂紋間相對(duì)距離d/R不同時(shí)，DSIF值的變化情況。可以看到，d/R值越小，DSIF峰值越大，表明兩圓孔邊裂紋間的相互作用越明顯。隨著無量綱波數(shù)的增加，各DSIF值曲線振蕩衰減。

圖6　裂紋尖端的DSIF隨d/R和kR的變化Fig.6 Variation of DSIF at the crack-tip vs.d/R and kR

圖7　不同裂紋數(shù)量下裂紋尖端的DSIF隨kR的變化Fig.7 Variation of DSIF at the crack-tip vs. kR under different crack numbers

圖7給出了不同孔邊裂紋數(shù)量，各裂紋間距離均為d時(shí)，DSIF值隨波數(shù)kR的變化情況。由圖可見，孔邊裂紋數(shù)目為1時(shí)，其DSIF值曲線與文獻(xiàn)[14]中的結(jié)果基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。各曲線峰值均在低頻kR< 0.5時(shí)取得，隨著孔邊裂紋數(shù)量的增加，其DSIF峰值逐漸增大，取得峰值時(shí)的頻率逐漸向低頻移動(dòng)。隨著無量綱波數(shù)的增加，孔邊裂紋數(shù)量的影響逐漸減弱。

5　結(jié)　論

本文采用Green函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)方法、裂紋“切割”技術(shù)和“契合”思想對(duì)壓電材料中多個(gè)孔邊徑向裂紋在SH波作用下裂紋尖端的動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子問題進(jìn)行了研究。主要結(jié)論如下：

(1) 在動(dòng)態(tài)問題中，孔邊徑向裂紋尖端的DSIF值并不總是小于等效長(zhǎng)度的直線型裂紋尖端的DSIF值。特別當(dāng)裂紋長(zhǎng)度與圓孔半徑相差不大時(shí)，將孔邊徑向裂紋簡(jiǎn)化成直線型裂紋計(jì)算將引起明顯誤差，最高可達(dá)98%左右；

(2) 孔邊徑向裂紋尖端的DSIF值隨入射波頻率的增加振蕩衰減，在低頻段時(shí)DSIF曲線取得峰值，因此低頻情況下的動(dòng)力分析更為重要；

(3) 圓孔與裂紋尺寸、裂紋間距離及壓電常數(shù)等都影響裂紋尖端的DSIF值。裂紋尺寸與圓孔半徑為同一量級(jí)，裂紋間距離越小，壓電常數(shù)越大，孔邊徑向裂紋尖端的DSIF峰值就越大；

(4) 圓孔邊裂紋數(shù)目的增加會(huì)改變裂紋尖端的DSIF峰值，孔邊裂紋數(shù)量越多，DSIF曲線峰值越大。

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Dynamic behaviors of interacting radial cracks at the edge of the circular cavities in piezoelectric medium

LI Dong1, WANG Huicong1, SONG Tianshu2

(1. Department of Civil Engineering, Hebei Jiaotong Vocational & Technical College, Shijiazhuang 050091, China;2. School of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Based on the method of Green’s function, this work studied the interaction of the radial cracks emanating from the edges of the circular cavities in piezoelectric material, which was subjected to the dynamic incident anti-plane shearing wave(SH-wave). Firstly, coupled Green’s functions for displacement and electric potential were established by using a complex variable method. Secondly, crack-division technique was used to construct the model of radial cracks. The problem was reduced to a series of Fredholm integral equations of the first type according to the continuity conditions of the displacement and stress at the interface. Finally, numerical results were provided by solving the equations to show the influences of the geometry parameters, piezoelectric characteristic parameters, and the wave frequencies of incident wave on the dynamic stress intensity factors(DSIFs) at the crack tips.

piezoelectric medium; radial cracks emanating from the edge of the circular cavities; Green’s function; dynamic stress intensity factor(DSIF); SH-wave scattering

河北省教育廳青年自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Q2012031)

2015-04-23修改稿收到日期：2015-08-12

李冬 男，博士，講師，1983年9月生

O346.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.028