杜憲亭, 喬　宏, 夏　禾, 王少欽, 李　嘯

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 北京　100044；2. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院 北京　100044)

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地震作用下結(jié)構(gòu)擬靜力分量對車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響分析

杜憲亭1, 喬宏1, 夏禾1, 王少欽2, 李嘯1

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 北京100044；2. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院 北京100044)

在地震易發(fā)區(qū)域當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時橋上正行駛列車的概率越來越大，然而地震作用下結(jié)構(gòu)擬靜力分量對于車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)影響的研究不足。將橋梁、車輛分別簡化為等截面簡支梁、簧上質(zhì)量系統(tǒng)，建立耦合振動系統(tǒng)在多點(diǎn)地震作用下運(yùn)動方程，將橋梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分解，推導(dǎo)出擬靜力分量影響的精確表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，給出耦合振動系統(tǒng)求解流程。以簧上質(zhì)量系統(tǒng)通過32 m簡支梁遭遇地震作用為例，進(jìn)行結(jié)構(gòu)擬靜力分量影響規(guī)律研究。分析結(jié)果表明：①地震作用下車橋耦合振動分析考慮結(jié)構(gòu)擬靜力分量的影響需要輸入地震位移、速度、加速度時程；②相對于橋梁子系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)擬靜力分量對簧上質(zhì)量系統(tǒng)影響較大，最大到16%，且該影響對于車速更加敏感；③忽略結(jié)構(gòu)擬靜力分量可能造成車橋動力分析結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，這與結(jié)構(gòu)抗震分析顯著不同。

車橋系統(tǒng)；地震動；結(jié)構(gòu)擬靜力分量；伯努利-歐拉梁；簧上質(zhì)量

隨著高速和城際鐵路的快速發(fā)展，橋梁在線路中的比例不斷增加；地震發(fā)生時橋上正行駛列車的概率越來越大。地震激勵作用下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)問題成為了研究的熱點(diǎn)[1-4]。

借鑒傳統(tǒng)橋梁抗震分析方法[5]，既有研究多將橋梁動力響應(yīng)分解為擬靜力分量和擬動力分量，忽略了擬靜力分量的影響[6-8]。然而，地震作用下的車橋耦合振動分析不是傳統(tǒng)橋梁地震響應(yīng)分析與車橋耦合振動分析的簡單疊加。在橋梁抗震分析中，結(jié)構(gòu)安全性是研究重點(diǎn)，關(guān)注系統(tǒng)的相對運(yùn)動；而車橋耦合振動分析關(guān)注行車安全性，涉及到系統(tǒng)的絕對運(yùn)動。因此，研究地震激勵下結(jié)構(gòu)的擬靜力分量對車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響具有重要意義。

本文將橋梁、車輛分別簡化為等截面簡支梁、簧上質(zhì)量系統(tǒng)，建立耦合振動系統(tǒng)在多點(diǎn)地震作用下的運(yùn)動微分方程，將橋梁結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分解，推導(dǎo)出擬靜力分量對系統(tǒng)動力響應(yīng)影響的解析表達(dá)式。采用時域形式的高通濾波器對實(shí)測地震加速度時程進(jìn)行處理，得到滿足一致化要求的地震記錄。在此基礎(chǔ)上，給出了基于Newmark-β積分方法的耦合振動系統(tǒng)動力響應(yīng)求解流程。最后，以簧上質(zhì)量通過32 m簡支梁時遭遇地震作用為例，研究了結(jié)構(gòu)擬靜力分量的影響規(guī)律。

1　分析模型

1.1模型參數(shù)

本研究討論簡支梁和移動車輪(質(zhì)量)+彈簧(阻尼器)+簧上質(zhì)量體系的地震反應(yīng)，見圖1。

地震波從簡支梁A端傳向B端，兩端分別遭遇不同的豎向地震動a(t)、b(t)作用。通過簡支梁的列車被簡化為一系列不等間距的簧上質(zhì)量振子；而簧上質(zhì)量振子由下質(zhì)量塊M1(移動車輪)、上質(zhì)量塊M2、彈簧K1和阻尼器C1組成。設(shè)梁的動撓度為u(x,t)，上質(zhì)量M2的動位移為Z(t)，假定下質(zhì)量塊M1沿梁長移動而不脫離開梁體，則其位移由它所在位置的梁的撓度以及軌道不平順迭代得到[9]。

圖1　簧上質(zhì)量通過簡支梁遭遇地震Fig.1 Vehicle-bridge system subjected to seismic ground motion

1.2系統(tǒng)運(yùn)動方程

將簡支梁簡化為Rayleigh阻尼的Bernoulli-Euler梁，相應(yīng)的運(yùn)動可以由微分方程來表達(dá)[10]。假定列車以不變的速度V通過橋梁。系統(tǒng)的受力分析見圖2。作用于梁的荷載有下質(zhì)量塊M1的慣性力FI、移動質(zhì)量的重力FG、彈性力FS、阻尼力FD；作用到上質(zhì)量塊的荷載有慣性力PI2、彈性力Ps=Fs、阻尼力PD=FD。

圖2　受力圖Fig.2 Force diagram

這樣，遭遇多點(diǎn)地震激勵的車橋耦合系統(tǒng)的控制運(yùn)動方程可以由下列兩式表達(dá)：

K1,i[Z2,i(t)-u(x,t)-ZIR]+

(1)

(2)

式中：

(3)

(4)

(5)

簡支梁的邊界條件通過下式表達(dá)[10]：

(6)

將簡支梁的響應(yīng)分解為擬靜力項和動力項：

u(x,t)=us(x,t)+ud(x,t)

(7a)

(7b)

(7c)

式中：下標(biāo)s、d分別代表擬靜力分量、動力分量；固有模態(tài)un(x)通過廣義坐標(biāo)qn(t)來衡量其對動力分量的貢獻(xiàn)；擬靜力分量us(x,t) 滿足下式：

EIu″″s(x,t)=0

(8)

同時又有下列邊界條件：

us(0,t)=a(t)；us(L,t)=b(t)

(9a)

u″s(0,t)=u″s(L,t)=0

(9b)

式(8)的解為：

(10)

u(x,t)對時間的一階、二階導(dǎo)數(shù)變?yōu)椋?/p>

(11)

(12)

將式(11)、(12)代入式(1)，整理得到：

EIu″″d(x,t)=Fd+Fs

(13)

式中：Fd、Fs分別為作用到梁上的動力相互作用項、擬靜力附加作用項：

(14)

Fs=

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

類似地，式(2)變?yōu)椋?/p>

(20)

式中：Pd和Ps分別為作用到上質(zhì)量塊的動力相互作用項、擬靜力附加項。

(21)

(22)

(23)

(24)

特征函數(shù)的正交性滿足下式：

m,n=1,2,…

(25)

將式(7b)、(7c)代入式(1)左端，在方程兩端同時乘以um(x)，然后在(0，L)范圍內(nèi)進(jìn)行積分，再利用振型的正交特性得到：

(k=1,2,…)

(26)

式中：

(27)

u″d(x,t)V2]+K1,i[Z2,i(t)-ud(x,t)]+

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

當(dāng)簡支梁A、B兩端的地震動完全相同時，即為一致地震激勵的情況，這時有a(t)=b(t)，作用到上質(zhì)量塊的擬靜力附加項變?yōu)椋?/p>

(34)

而作用到簡支梁上的擬靜力附加項變?yōu)椋?/p>

(35)

從式(34)、(35)不難看出，地震加速度為零時，其位移和速度并不一定等于零，依然可能通過彈簧和阻尼器產(chǎn)生作用到耦合系統(tǒng)上的地震力。因此，在考慮一致地震激勵時，依然需要同時輸入地震動的位移、速度、加速度時程。

2　地震一致化處理方法

如前所述擬靜力項對車橋耦合動力系統(tǒng)的影響不可忽略，而擬靜力分量包含了位移、速度、加速度三個分量。這與傳統(tǒng)橋梁抗震分析僅僅輸入地震加速度有著顯著不同。

然而實(shí)測地震記錄或者人工地震波多為加速度時程形式。由于加速度時程中包含了各類噪聲、誤差的影響，若直接對其進(jìn)行積分得到速度、位移時程，會產(chǎn)生誤差較大的趨勢線，不能直接用于地震作用下的車橋耦合動力分析[11]。因此，需要先對地震波加速度時程進(jìn)行修正，去除其中所含誤差，進(jìn)而得到一致化的地震加速度、速度和位移時程。

本研究采用時域內(nèi)高通濾波法。時域內(nèi)高通濾波法使用臨界阻尼振子形式的高通濾波器對地震加速度時程進(jìn)行修正，進(jìn)而得到滿足一致化要求的地震記錄[12]。具體實(shí)現(xiàn)可以通過求解下列微分方程完成：

(36)

式中：u代表位移向量；下標(biāo)o、b分別代表修正前與修正后橋梁支撐處的地面運(yùn)動；ωc為濾波器角頻率。

3　數(shù)值求解流程

式(20)、(26)構(gòu)成了系統(tǒng)的基本運(yùn)動方程，可以通過數(shù)值積分方法求解。具體步驟如下：

步驟1輸入總體控制參數(shù)，如時間積分步長Δt、簧上質(zhì)量系行走速度V等。

步驟2輸入簧上質(zhì)量系統(tǒng)信息，建立簧上質(zhì)量系統(tǒng)子系統(tǒng)動力平衡方程，并設(shè)置初始條件。

步驟3輸入簡支梁信息，建立橋梁子系統(tǒng)模態(tài)動力平衡方程，形成等效剛度矩陣，設(shè)置初始條件。

步驟4輸入軌道不平順，計算不平順?biāo)俣?、加速度?/p>

步驟5輸入地震記錄時程。

步驟6給定時間步，使用Newmark-β法迭代求解車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)，主要涉及以下過程：① 確定簧上質(zhì)量在橋梁上的位置;② 計算簧上質(zhì)量處軌道不平順、不平順?biāo)俣燃凹铀俣?、各階橋梁模態(tài)值;③ 計算簧上質(zhì)量子系統(tǒng)源于上一步的等效力以及作用到上質(zhì)量塊上的擬靜力附加作用項;④ 計算橋梁子系統(tǒng)源于上步的等效力以及作用到梁上模態(tài)形式的擬靜力附加作用項;⑤ 計算作用到上質(zhì)量塊的動力相互作用項,計算簧上質(zhì)量系的動力響應(yīng);⑥ 計算作用到梁體上的動力相互作用項計算梁體的動力響應(yīng);⑦ 收斂判斷是否收斂。若收斂則更新耦合系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)，輸出時間步結(jié)果；若不能收斂則重復(fù)步驟④～⑦。判斷收斂的標(biāo)準(zhǔn)依據(jù)兩個子系統(tǒng)的力、位移向量的范數(shù)：

(37)

式中：E為允許的相對誤差，F(xiàn)、u分別為兩個子系統(tǒng)的作用力、位移向量，下標(biāo)i、i-1分別為當(dāng)前、上一步的迭代。

4　算例

選取鐵路32 m雙線整孔簡支箱梁作為研究對象。梁的一階頻率為4.72 Hz，每延米質(zhì)量為28.14 t，Rayleigh阻尼系數(shù)α、β分別取為0.138 s-1、0 s。分析只選取一個簧上質(zhì)量系統(tǒng)，其上、下質(zhì)量塊的值分別取為13.6 t、2.4 t。聯(lián)結(jié)彈簧K1和阻尼器C1分別取為2.08 MN/m、100 kN·s/m。分析時，考慮了軌道不平順的影響，見圖3。質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)行速度在V=80～90 m/s之間。

圖3　軌道豎向不平順Fig.3 Vertical irregularity curve

借助于時域高通濾波器對實(shí)測地震加速度時程進(jìn)行了一致化和規(guī)格化處理，得到的地震記錄見圖4，相應(yīng)的加速度峰值為0.05 g。

圖4 　一致化地震記錄Fig.4 Consistent earthquake record

圖5、圖6分別給出了地震初始作用3.0 s時列車入橋且車速V=80 m/s條件下橋梁跨中位移時程、上質(zhì)量塊加速度時程。通過對比分析不難發(fā)現(xiàn)，考慮結(jié)構(gòu)擬靜力分量一定程度上改變了車橋耦合振動峰值出現(xiàn)的時間和大小。

圖5　橋梁跨中位移時程Fig.5 Displacement time histories of the bridge at mid-span

圖6　上質(zhì)量塊加速度時程Fig.6 Acceleration time histories of sprung mass

圖7　擬靜力分量對橋梁位移最大值影響Fig.7 Influence of pseudo static component of seismic excitation on maximum bridge displacement

5　結(jié)　論

基于上述理論分析及數(shù)值算例結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：

(1) 地震作用下車橋耦合振動分析考慮結(jié)構(gòu)擬靜力分量的影響需要輸入地震位移、速度、加速度時程；

(2) 相對于橋梁子系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)擬靜力分量對簧上質(zhì)量系統(tǒng)影響較大，最大到16%，而且該影響對于車速更加敏感；

圖8　擬靜力分量對上質(zhì)量塊加速度最大值影響Fig.8 Influence of pseudo static component of seismic excitation on maximum bridge displacement

(3)忽略地震作用下結(jié)構(gòu)擬靜力分量可能造成車橋動力分析結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，這與結(jié)構(gòu)抗震分析顯著不同。

上述結(jié)論針對二維車橋模型分析得出，沒有考慮水平地震動的影響。而在實(shí)際工程中水平地震動也可能控制橋上列車的行走安全性，這需要建立更加復(fù)雜、精確的數(shù)值分析模型。

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Influence of structure quasi-static components on the dynamic response of train-bridge systems during earthquakes

DU Xianting1, QIAO Hong1, XIA He1, WANG Shaoqin2, LI Xiao1

(1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;2. School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China)

In regions prone to earthquakes, the possibility of trains running on bridges when an earthquake occurs is high. However, the influence of structure quasi-static components on the seismic response of train-bridge systems has not been well studied. In this paper, a bridge subsystem and the train subsystem were simplified as a simply-supported beam with a uniform cross-section and a moving vehicle with a wheel(unsprung-mass), a spring, a damper, and a sprung-mass, respectively. Then the motion equations of the train-bridge coupling system subjected to multi-support seismic excitations could be obtained. The influence of structure quasi-static components could be expressed precisely by decomposing the dynamic response of the bridge subsystem and then the solving procedures were proposed. A moving vehicle with a wheel(unsprung-mass), a spring, a damper and a sprung-mass passing through a 32 m simply-supported beam was taken as a case study, in which the influence rule of structure quasi-static components was analyzed. The results show:(1) in the dynamic analysis of the train-bridge system subjected to earthquake actions considering the influence of quasi-static components, it is necessary to input the displacement, velocity as well as acceleration time history of ground motion;(2) compared with the bridge subsystem, quasi-static components have more influence on the train subsystem, which is as high as 16% and sensitive to the train speed;(3) neglecting the quasi-static components may lead to large deviation responses of the coupled system, which differs greatly from the aseismatic analysis of bridges.

coupled train-bridge system; seismic ground motion;structure quasi-static components; Bernoulli-Euler beam; sprung-mass system

國家自然科學(xué)基金項目(51208027);973計劃項目(2013CB036203);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目(2014JBM092)

2015-05-28修改稿收到日期：2015-08-21

杜憲亭 男，博士，副教授，1978年5月生

夏禾 男，碩士，教授，博士生導(dǎo)師，1951年4月生

U24

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.002