王祖堯, 丁　虎， 陳立群, 3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海　200072；2. 浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州　310023； 3. 上海大學(xué) 力學(xué)系，上?！?00444)

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兩自由度磁力懸浮非線(xiàn)性振動(dòng)能量采集研究

王祖堯1, 2, 丁虎1， 陳立群1, 3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072；2. 浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州310023； 3. 上海大學(xué) 力學(xué)系，上海200444)

首次研究通過(guò)增加自由度數(shù)，擴(kuò)大磁力懸浮非線(xiàn)性能量采集器的采集區(qū)域。通過(guò)引入線(xiàn)性彈簧振子，將單自由度非線(xiàn)性磁力懸浮能量采集器擴(kuò)展到兩個(gè)自由度。使用諧波平衡法近似分析兩自由度非線(xiàn)性常微分方程組，研究位移激勵(lì)下系統(tǒng)主共振的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)特征。研究結(jié)果表明，兩自由度系統(tǒng)能夠顯著擴(kuò)展系統(tǒng)的共振區(qū)域。還通過(guò)對(duì)比系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)對(duì)共振幅頻響應(yīng)幅度以及區(qū)域的影響，研究了系統(tǒng)質(zhì)量比、頻率平方比和非線(xiàn)性系數(shù)比對(duì)增強(qiáng)共振強(qiáng)度、擴(kuò)大共振區(qū)域，也就是提高能量采集的強(qiáng)度和帶寬的影響。另外，還通過(guò)直接的數(shù)值模擬驗(yàn)證了近似解析分析結(jié)果的正確性。

非線(xiàn)性；振動(dòng)；磁懸浮；能量采集；諧波平衡

現(xiàn)代科技中，無(wú)線(xiàn)電子設(shè)備在生物醫(yī)學(xué)設(shè)備、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、便攜式電子產(chǎn)品、以及導(dǎo)航系統(tǒng)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。這些無(wú)線(xiàn)設(shè)備中多是使用電池作為其電源，而更換電池和處理廢舊電池都需要額外增加使用費(fèi)用。而另一個(gè)方面，隨著超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)的水平提高,無(wú)線(xiàn)電子設(shè)備的功耗從毫瓦數(shù)量級(jí)降低到微瓦數(shù)量級(jí)。因而，振動(dòng)能量采集器為這種無(wú)線(xiàn)設(shè)備提供電源就成為可能。國(guó)內(nèi)外許多研究人員已經(jīng)對(duì)這種微機(jī)系統(tǒng)提供電源的振動(dòng)能量采集進(jìn)行研究[1-5]，力圖提高振動(dòng)能量的采集的效率和擴(kuò)大采集的頻率范圍。JIANG等[6]研究了單穩(wěn)態(tài)的能量采集器在高斯白噪音激勵(lì)下的能量采集的強(qiáng)度。也有一些學(xué)者試圖從多穩(wěn)態(tài)的能量采集的角度增加能量采集的強(qiáng)度[7-9]。這些研究都發(fā)現(xiàn)，引入非線(xiàn)性因素能夠增加能量采集的帶寬。通過(guò)非線(xiàn)性磁力作用，ZHU等[10]提出了一種新型的磁懸浮能量采集器，實(shí)驗(yàn)表明這種設(shè)計(jì)可以增加能量的采集強(qiáng)度并擴(kuò)展采集的頻帶寬度。MANN等[11]通過(guò)單自由度彈簧振子的非線(xiàn)性振動(dòng)特性分析，對(duì)這種磁懸浮的裝置的非線(xiàn)性能量采集性能進(jìn)行了近似解析分析，得到了幅頻響應(yīng)關(guān)系，從理論上分析了這種非線(xiàn)性能量采集原理。

本文在文獻(xiàn)[10-11]的能量采集裝置中增加了一個(gè)線(xiàn)性彈簧振子，便于調(diào)節(jié)非線(xiàn)性振動(dòng)能量采集的頻率。進(jìn)一步建立兩自由度非線(xiàn)性振動(dòng)方程組，通過(guò)諧波平衡方法研究了該強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)在外部簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特征[12-15]。并通過(guò)直接數(shù)值方法加以驗(yàn)證。研究發(fā)現(xiàn)增加線(xiàn)性彈簧振子，能夠有效的改變磁力懸浮的非線(xiàn)性振動(dòng)能量采集器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，并進(jìn)一步提高能量采集的強(qiáng)度和帶寬。通過(guò)對(duì)比不同參數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)，研究了系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)能量采集效果的影響。

1　磁懸浮非線(xiàn)性能量采集系統(tǒng)建模

磁懸浮振動(dòng)型能量采集系統(tǒng)工作原理見(jiàn)圖1和圖2，兩個(gè)磁體固定在支柱上的兩端，支柱中間再插進(jìn)一磁體，其下方懸掛一個(gè)彈簧振子。上下磁體兩極的磁力使中間磁體可以懸浮在中間。當(dāng)該系統(tǒng)在外部諧波激勵(lì)下，中間磁體就產(chǎn)生非線(xiàn)性振動(dòng)，并且改變Terfenol-D/PZT/Terfenol-D層壓復(fù)合材料的周?chē)艌?chǎng)。由于Terfenol-D具有磁振效應(yīng)，Terfenol-D的形狀被改變。Terfenol-D和PZT足夠牢固造成PZT也隨著振動(dòng)。PZT具有壓電效應(yīng)，在PZT形狀尺度的改變時(shí)就產(chǎn)生了電流。

圖1　磁力懸浮能量采集系統(tǒng)圖Fig.1 A illustration of the magnetic levitation energy harvesting system

圖2　磁力懸浮能量采集系統(tǒng)的力學(xué)模型圖Fig.2 A mechanical model schematic of the magnetic levitation energy harvesting system

由于磁力的密度取決于中間磁體與兩端磁體的距離，而距離的求解可以通過(guò)系統(tǒng)的控制方程得到。考慮非線(xiàn)性磁力、重力、阻尼和根據(jù)牛頓第二定律可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:

(1)

2　諧波平衡法分析

由于圖1所示的能量采集裝置是一個(gè)強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)，這里通過(guò)諧波平衡法對(duì)式(1)進(jìn)行近似求解。為了將分析的問(wèn)題一般化，首先對(duì)式(1)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，即取如下所示無(wú)量綱參數(shù)

(2)

將以上無(wú)量綱參數(shù)代入控制方程式(1)，可以得到如下無(wú)量綱化的控制方程

(3)

假設(shè)式(3)的解滿(mǎn)足如下形式

(4)

將式(4)代入式(3)，并令常數(shù)項(xiàng)cosωt和sinωt的系數(shù)分別相等，得到下列方程

a10+βa103+a1-μf2a20+

(5)

(1+μ)f2a20-a10-βa103-

(6)

μωfγ2a21-μf2b21-p=0

(7)

+μωfγ2b21-μf2a21=0

(8)

-ω2b21+(1+μ)fωγ2a21+

(1+μ)f2b21-γ1ωa11-b11-

(9)

-ω2a21-(1+μ)fωγ2b21+(1+μ)f2a21+γ1ωb11-

(10)

對(duì)于給定的激勵(lì)頻率ω，通過(guò)求解式(5)～式(10)，可以解得a10,a20,a11,a21,b11,b21。從而可以分別求得中間磁鐵和彈簧振動(dòng)的振幅，即

(11)

3　系統(tǒng)參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)的影響

為研究新引入彈簧振子對(duì)磁力懸浮能量采集系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的影響，選取如下系統(tǒng)參數(shù)[10]:m1=0.012 g，c1=0.1 Ns/m，線(xiàn)彈性項(xiàng)系數(shù)k1=6.39 N/m，非線(xiàn)性彈性系數(shù)項(xiàng)k3=166 000 N/m3，外激勵(lì)位移W=0.011 5 m，c2=0.01 Ns/m，彈簧系數(shù)k2=0.01 N/m，m2=0.012μg，其中μ是彈簧懸掛質(zhì)量與中間磁鐵的質(zhì)量比值。

3.1二自由度的質(zhì)量比的影響

接下來(lái)先運(yùn)用諧波平衡法，計(jì)算在不同的質(zhì)量比μ下磁力懸浮能量采集系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。如圖2所示，當(dāng)μ=0.05時(shí)，磁力懸浮能量采集系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)類(lèi)似單自由度的幅頻響應(yīng)，即僅存在一個(gè)共振峰。其原因是懸掛的振子質(zhì)量過(guò)小，可以忽略不計(jì)。此時(shí)，中間磁鐵的振動(dòng)幅度在ω=2.0～2.5之間達(dá)到峰值。當(dāng)μ=1和1.5時(shí)，中間磁鐵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅都在ω=1.0附近和ω=3.5附近時(shí)，出現(xiàn)兩個(gè)共振峰。而且第二個(gè)共振峰的幅度超過(guò)了單峰時(shí)的共振幅度。另外，從圖3可知，質(zhì)量比越大，第一個(gè)共振峰的幅值越小，但是第二個(gè)共振峰的幅值同時(shí)在增大。還需要指出，質(zhì)量比越大，兩個(gè)共振峰之間距離越大。

圖4給出μ=1時(shí)四階龍格庫(kù)塔法的直接數(shù)值結(jié)果與諧波平衡法近似分析結(jié)果的對(duì)比。觀察發(fā)現(xiàn)，通過(guò)數(shù)值方法得到的中間磁鐵的振幅與諧波平衡法得到中間磁鐵的振幅基本吻合。

圖3　在不同質(zhì)量比下的中間磁體幅頻頻響應(yīng)Fig.3 Frequency response of middle magnet as the mass ratio μ changes

圖4　中間磁鐵幅頻響應(yīng)的數(shù)值驗(yàn)證(質(zhì)量比μ=1)Fig.4 Numerical verification for the frequency response of middle magnet as the mass ratio μ=1

3.2兩自由度的頻率比的影響

接下來(lái)研究?jī)勺杂啥认到y(tǒng)前兩階固有頻率比值對(duì)磁力懸浮能量采集系統(tǒng)能量采集效果的影響。選取質(zhì)量比的μ=1。為了方便起見(jiàn)，選取固有頻率比的平方分別為6、9和16。在選取頻率比和其他參數(shù)的條件下，可以求得懸掛彈簧線(xiàn)彈性系數(shù)k2。

如圖5所示，當(dāng)頻率比的平方比取為9時(shí)，中間磁鐵穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)的第一個(gè)共振峰幅值要比頻率平方比取為6和16時(shí)的第一個(gè)峰值大，與此同時(shí)，第二個(gè)共振峰的峰值要比其他的峰值小。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)兩自由度之間的頻率比，改變共振區(qū)域和強(qiáng)度，并到達(dá)強(qiáng)化某一階主共振的目的。從而提高系統(tǒng)對(duì)振動(dòng)能量采集的效果。

圖5　中間磁鐵在不同頻率比的平方下的幅頻頻響應(yīng)Fig.5 Frequency response of middle magnet as the tuning square ratio f changes

3.3非線(xiàn)性系數(shù)的影響

選取兩自由度質(zhì)量分別為m1=0.012 g和m2=0.012 g。并選取非線(xiàn)性彈性系數(shù)k3=166 000 kN/m3。圖6給出了k取為1、6和10時(shí)，中間磁鐵的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。觀察圖6發(fā)現(xiàn)，非線(xiàn)性彈簧系統(tǒng)的取值對(duì)第一階主共振的位置影響不大，但是非線(xiàn)性系統(tǒng)較小時(shí)，第一階共振峰的峰值較高。另一個(gè)方面，非線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)第二階共振的影響更為顯著，不但會(huì)影響共振區(qū)域，較大的非線(xiàn)性系數(shù)還會(huì)增強(qiáng)第二階共振峰峰值。

圖6　中間磁鐵在不同的非線(xiàn)性系數(shù)比k下的幅頻響應(yīng)Fig.6 Frequency response of middle magnet as the nonlinear coefficient ratio k changes

4　結(jié)　論

通過(guò)在已存在的一種磁力懸浮非線(xiàn)性能量器采集系統(tǒng)中增加一個(gè)線(xiàn)性彈簧振子，本文的研究表明，新增振子能夠很大程度上改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。通過(guò)受力分析建立兩自由度的非線(xiàn)性振動(dòng)控制方程。通過(guò)諧波平衡法的近似解析分析和直接數(shù)值方法的驗(yàn)證研究了該能量采集系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輻頻響應(yīng)。研究表明，系統(tǒng)的響應(yīng)從單共振峰演化為該單峰兩邊的兩個(gè)共振峰，因此增大了能量采集的頻帶寬度。另外，通過(guò)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，可以方便的增強(qiáng)兩個(gè)共振峰的中任意一個(gè)，以達(dá)到增強(qiáng)振動(dòng)能量采集效果的目的。

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Nonlinear oscillations of a two-degree-of-freedom energy harvester of magnetic levitation

WANG Zuyao1,2, DING Hu1, CHEN Liqun1,3

(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;2. School of Science, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China;3. Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

For enlarging the area of magnetic levitation nonlinear energy harvesting, the paper studied the nonlinear dynamics of a two-degree-of-freedom nonlinear energy harvester of magnetic levitation for the first time. A one-degree-of-freedom nonlinear energy harvester of magnetic levitation was expanded by introducing an linear oscillator. The nonlinear ordinary differential equations were approximately analyzed by using the harmonic balance method. Under the displacement excitation, the characteristics of the steady-state amplitude-frequency response of the primary resonance was studied. The results show that the resonance area of the two-degree-of-freedom system is significantly expanded. Moreover, by comparing the various parameters on the amplitude-frequency response and the resonance area, the effects of the mass ratio, frequency square ratio and nonlinear coefficient ratio on resonance are investigated. Therefore, the influences of the intensity of energy acquisition and the bandwidth are determined. In addition, the approximate analytic results are verified through a direct numerical simulation.

nonlinearity; vibration; magnetic levitation; energy harvesting; harmonic balance

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11232009); 國(guó)家自然基金面上項(xiàng)目(11372171); 國(guó)家自然基金優(yōu)青項(xiàng)目(11422214)

2015-06-23修改稿收到日期：2015-08-28

王祖堯 男，博士生，1969年生

丁虎 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1978年生E-mail: dinghu3@shu.edu.cn

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.010