何　紀(jì)

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部　江蘇常州　213164)

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一類(lèi)具有輸出時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的H∞保成本控制

何紀(jì)

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部江蘇常州213164)

以一類(lèi)特殊的隨機(jī)不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸出同時(shí)具有時(shí)滯，綜合考慮系統(tǒng)的保成本和H∞控制兩種控制方法的優(yōu)點(diǎn)，研究系統(tǒng)的保成本控制和H∞保成本控制。運(yùn)用Lyapunov泛函方法，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)有記憶時(shí)滯的狀態(tài)反饋控制器，以LMI的形式給出了狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，最后，運(yùn)用數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證。

保成本H∞控制； 隨機(jī)系統(tǒng)； 反饋時(shí)滯； 線性矩陣不等式(LMI)

保成本控制的基本思想是，設(shè)計(jì)控制器，不僅保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)保證由于系統(tǒng)的不確定引起的惡化的二次型性能指標(biāo)函數(shù)有一個(gè)確定的上界。文獻(xiàn)[1]提出了二次保成本的概念，利用Riccati方程給出了最優(yōu)二次保成本控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[2]利用LMI的處理方法，對(duì)時(shí)滯不確定隨機(jī)系統(tǒng)保成本控制的問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]研究的是不確定時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)保成本控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[4]研究的是時(shí)滯不確定隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]研究的是時(shí)滯不確定隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒H∞保成本控制問(wèn)題；保成本控制能夠使得不確定系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)具有確定的上界，使得人們?cè)谝欢ǔ潭壬狭私庀到y(tǒng)性能的惡化程度。本文以一類(lèi)特殊的隨機(jī)不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象，在系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸出同時(shí)具有時(shí)滯的情況下，綜合系統(tǒng)的保成本和H∞控制兩種控制方法的優(yōu)點(diǎn)，研究系統(tǒng)的保成本控制和H∞保成本控制。

1　問(wèn)題描述

系統(tǒng)如下?tīng)顟B(tài)和輸出多時(shí)滯不確定隨機(jī)系統(tǒng)Σ：

dx(t)=[(A+ΔA(t))x(t)+(A1+ΔA1(t))x(t-h)+

(B1+ΔB1(t))u(t)+Bvv(t)]dt+[(E+ΔE(t))x(t)+(E1+ΔE1(t))x(t-h)+

(B2+ΔB2(t))u(t)+Evv(t)]dω(t)

(1)

z(t)=Cx(t)+Du(t)+Gx(t-h)

x(t)=φ(t)?t∈[-μ，0]

式(1)中u(t)∈Rm為控制輸入，z(t)∈Rq為控制輸出，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，v(t)∈Rp為定義在L2[0,∞)上的外部干擾輸入，h是常時(shí)滯，滿足0

MF(t)[HAHA1HEHE1HB1HB2]

(2)

其中：HA，HA1，HE，HE1，HB1，HB2，M是已知的實(shí)常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)∈Rk×l是Lebesgue可測(cè)的時(shí)變未知矩陣函數(shù)，滿足

(3)

對(duì)于以上系統(tǒng)，構(gòu)造形式如下的二次型成本指標(biāo)函數(shù)：

(4)

其中R1，R2是給定的對(duì)稱正定加權(quán)函數(shù)。

定義1：(保成本控制)考慮如(1)式的時(shí)滯不確定隨機(jī)系統(tǒng)Σ，和形如(4)式的閉環(huán)成本指標(biāo)函數(shù)，如果存在一個(gè)控制律u(t)，和一個(gè)確定的正數(shù)J*，對(duì)于系統(tǒng)Σ容許的所有的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒均方穩(wěn)定的，而且閉環(huán)成本指標(biāo)值不超過(guò)該確定常數(shù)J*，即J≤J*，那么稱J*為該系統(tǒng)的一個(gè)成本上界，稱u(t)為該系統(tǒng)的一個(gè)保成本控制器。

考慮有記憶時(shí)滯的狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K1x(t)+K2x(t-h)

(5)

其中K1，K1是控制器的待定的參數(shù)。

定義2：(H∞保成本控制)給出標(biāo)量γ>0，對(duì)不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)(1)和成本指標(biāo)函數(shù)(4)，如果存在一個(gè)的控制律u(t)，和一個(gè)確定的正數(shù)J*，對(duì)控制系統(tǒng)所容許的所有的不確定性，在不存在外部干擾時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，而且閉環(huán)成本指標(biāo)函數(shù)有界(J≤J*)，在存在外部干擾v(t)≠0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)在干擾抑制度γ下也是魯棒穩(wěn)定的，那么，稱這樣的常數(shù)J*為該控制系統(tǒng)的一個(gè)成本上限，稱這樣的控制律u(t)為該控制系統(tǒng)的一個(gè)H∞保成本控制器。

對(duì)于不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)Σ(1)，考慮有記憶的狀態(tài)反饋控制器

u(t)=K1x(t)+K2x(t-h)

其中K1，K1是控制器的待定的參數(shù)。

① M<0② A<0，C-BTA-1B<0

③ C<0，A-BC-1BT<0

引理2[5]：A，D，S，W，F(xiàn)是給定的實(shí)矩陣，W>0，F(xiàn)TF≤I，則下列兩個(gè)結(jié)論成立：

1) 對(duì)任意向量x,y∈Rn和標(biāo)量ε>0，有

2xTDFSy≤εxTDDTx+ε-1yTSTSy

2) 對(duì)于任意標(biāo)量ε>0，如果W-εDDT>0成立，有(A+DFS)TW-1(A+DFS)≤AT(W-εDDT)A+ε-1STS

2　具有輸出時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的保成本控制

定理1：研究系統(tǒng)(1)(假如v(t)=0)，成本指標(biāo)函數(shù)(4)，如果可以找到標(biāo)量ε1>0，ε2>0和矩陣Q>0，X>0，Y1和Y2使得下面的LMI成立：

那么閉環(huán)系統(tǒng)是隨機(jī)保成本可控的。其中保成本控制器為：

u(t)=K1x(t)+K2x(t-h)

對(duì)應(yīng)的成本指標(biāo)函數(shù)的上界為：

定理1討論的是一個(gè)不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)，其狀態(tài)和輸出同時(shí)具有時(shí)滯，設(shè)計(jì)了該系統(tǒng)的一個(gè)有記憶保成本控制器，給出了使得閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件。特別地，當(dāng)時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)不存在不確定項(xiàng)時(shí)，以上結(jié)果可以變成如下形式：

推論1：考慮系統(tǒng)(Σ)，假設(shè)v(t)=0，ΔA(t)=0，ΔE(t)=0，ΔA1(t)=0，ΔE1(t)=0，ΔB1(t)=0，ΔB2(t)=0時(shí)，如果存在矩陣Q>0，X>0，Y1和Y2使得下面的LMI成立：

那么，可以得到閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的。相應(yīng)的有記憶反饋控制器為

u(t)=K1x(t)+K2x(t-h)

3　具有輸出時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的H∞保成本控制

定理2：考慮系統(tǒng)(Σ)，對(duì)于給定的常數(shù)γ>0，如果存在常數(shù)標(biāo)量ε1>0，ε2>0，矩陣Q>0，X>0，Y1和Y2使得下面的LMI成立：

則考慮的系統(tǒng)Σ是魯棒隨機(jī)H∞可控的。其中

u(t)=K1x(t)+K2x(t-h)

為保成本控制器，對(duì)應(yīng)的成本指標(biāo)上界為：

然后，通過(guò)Matlab中的LMI工具箱求解線性矩陣不等式可得：

ε1=0.365 9，ε2=0.319 5

從而得到H∞線性狀態(tài)反饋控制器為：u(t)=[9.384 31.491 3]x(t)+[-1.997 710.279 2]x(t-h)

5　結(jié)束語(yǔ)

本文以一類(lèi)狀態(tài)和控制輸出同時(shí)具有時(shí)滯的隨機(jī)不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮系統(tǒng)的保成本控制和H∞控制。運(yùn)用Lyapunov泛函方法，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)有記憶時(shí)滯的狀態(tài)反饋控制器，定理1以LMI的形式給出了閉環(huán)系統(tǒng)是保成本可控的充分條件；定理2以LMI的形式給出了閉環(huán)系統(tǒng)在干擾衰減度γ下是保成本可控的充分條件。最后，運(yùn)用數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證。

[1]Petersen I R, McFarlance D C. Optimal guaranteed cost control and filtering for uncertain linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control. 1994(39): 474-484.

[2]Yu L, Chu J. LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems. Automatica. 2009(35): 1155-1159.

[3]Li H, Niculescu S I, Dugard L, Dion J M. Robust guaranteed cost control of uncertain linear time-delay systems using dynamic output feedback. Mathematics and Computers in Simulation. 1998(45): 349-358.

[4]Zhou K et al. Robust performance of systems with structured uncertainties in state space. Automatica. 1995(31): 249-255.

[5]Xu S Y, Lam J, Yang C W, Verriest E I. An LMI approach to guaranteed cost control for uncertain linear neutral delay systems. International Jounal of Robust and Nonlinear Control. 2010(13):35-55.

Robust H∞Guaranteed Cost Control for Stochastic Systems with Output-Delay

HE Ji

(Dept. of Basic Courses, Changzhou College of Information Technology, Changzhou 213164, China)

With consideration of a kind of robust H∞guaranteed cost control for stochastic systems with state and output-delays, this paper focuses on the design of a linear state feedback controller which ensures the closed-loop system to be mean-square asymptotically stable. A sufficient condition of this problem is given by a linear matrix inequality(LMI). Finally it provides an example to show the effectiveness of the proposed method.

robust H∞guaranteed costcontrol; stochastic systems output-delay; linear matrix inequalities(LMI)

2016-04-25

何紀(jì)(1982-)，男，講師，碩士，主要研究方向：控制理論與控制工程

O 231

A

1672-2434(2016)04-0026-03