程國祥

客觀世界是一個普遍聯系的整體，任何事物都不是孤立存在的，而是通過各種方式與其他事物相互依賴、相互作用、相互制約.數學研究的兩類基本對象——數與形，亦是如此.在中職數學教學中，可以把有些數量關系問題轉化成圖形性質問題或者把有些圖形性質問題轉化成數量關系問題來研究，即以“形”助“數”或以“數”賦“形”.數形結合的實質是將形象直觀的圖形與抽象的數學語言符號聯系起來，將形象思維和抽象思維結合起來，從而通過形象直觀的圖形實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、數形結合在中職數學教學中的運用

我國著名數學家華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”可見，數形結合對數學研究的重要性.中職教材（江蘇省職業(yè)學校數學教材編寫組編的《數學》基礎模塊）中的每一章教學內容都可以用到數形結合的方法.

在《集合》教學中，數集可借助于數軸，點集可借助于平面直角坐標系，集合與集合的關系可借助于維恩圖，這樣把抽象的問題具體化，以形助數.例如：某職業(yè)學校數學興趣小組有13名學生，計算機興趣小組有12名學生，已知這兩個興趣小組共有20名學生，請問：有多少名學生同時參加了這兩個興趣小組？此題借助于維恩圖，不難得到答案：13+12-20=5.

在《函數》的教學中，由于函數內容本身具有抽象性，而中職生在抽象思維水平方面存在不足，因此在本章的教學中可采取“直觀領路，抽象跟進”的教學思路.用圖像、表格等形式讓學生認識函數，對函數單調性、奇偶性、周期性的研究應當基于對直觀圖像的分析.例如：判斷函數y=|x|的單調區(qū)間、奇偶性.可先畫出該函數的圖像，從圖像上可直觀地得出其單調區(qū)間、奇偶性.

在《三角函數》教學中，讓學生畫角理解正角、負角、零角；通過三角形的相似說明三角函數值與角終邊上的點的位置關系無關；三角函數的定義域、值域反映了圖像在直角坐標平面內展開的范圍，單調性反映了圖像的升降，奇偶性反映了圖像關于y軸或原點的對稱，周期性反映了圖像沿x軸方向每隔一定距離重復出現；通過單位圓中的三角函數線及三角函數圖像求三角函數的定義域、值域、單調區(qū)間、比較大小、解三角不等式、討論方程實根的個數，推導誘導公式等.例如：判斷方程sinx=lgx解的個數.此題畫出函數y=sinx與y=lgx的圖像（如圖1，注意兩個圖像的相對位置關系）.觀察圖像的交點，可得出結論：3個.

在《平面向量》教學中，平面向量集數、形于一體，具有代數與幾何的“雙重身份”，是數形結合的橋梁.向量的加法、減法、數乘都具有幾何意義，用平行四邊形法則、三角形法則說明向量的加減法；在直角坐標系中用坐標表示平面向量，用坐標判斷向量與向量間的平行（共線）、相等、相反關系，用直角坐標運算的規(guī)律進行向量的加法、減法、數乘運算，用向量起點、終點的坐標表示向量的坐標.例如：已知平行四邊形ABCD的頂點A（-2，-1），B（3，0），C（2，3），求第4個頂點D的坐標.本題的解法之一，就是構造向量的相等，通過向量的坐標運算解決.

在《直線與圓的方程》教學中，數形結合的數學思想方法在本章教學中得到很好的體現，是貫穿于本章教學始終的重要方法，是突破本章教學難點的重要方法，是解決本章問題的基本思想方法.從兩點間距離公式、中點公式，直線的傾斜角、斜率，到討論直線、圓的方程，以及它們之間的位置關系都應該做到數形結合，這樣能讓學生更好地理解本章教學內容.例如：判斷直線x+y-4=0與x+y=9圓的位置關系.本題可以用圓心到直線的距離與半徑的大小比較判斷.

在《立體幾何》教學中，棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等立體幾何圖形中描述其相關特征的量都是用符號表示的，在求它們的全面積、體積時要將公式中符號所表示的幾何特征與圖形對應起來.例如：已知圓錐的母線長為5，底面半徑為3，求其體積.先作圖，不難得到圓錐的母線長、高、底面半徑三者間的關系，由勾股定理可求得高為4，最后代入體積公式中可求出其體積.

在《概率統(tǒng)計》教學中，用維恩圖表示隨機事件的關系，借助于幾何圖形的性質輔助解決概率問題；利用頻率分布直方圖對總體分布規(guī)律進行估計；利用散點圖直觀體現兩個變量之間的線形相關關系.例如：甲乙兩人約定于下午2點至下午3點在某地會面，先到者等20分鐘后離去，求兩人能會面的概率.假設甲乙兩人到達的時刻分別2點x分，2點y分，當|x-y|≤20能會面（即圖3中的陰影部分）.用陰影面積除以正方形面積即為所求概率.

二、數形結合的作用

通過教學實踐證明，在教學中運用數形結合的思想方法，對中職生是大有裨益的

1.激發(fā)中職生的數學學習興趣。愛因斯坦認為：“興趣是最好的老師.”通過數形結合的數學美，讓中職生領略數學的美，從而使中職生對數學產生深厚情感、濃厚的興趣和強烈的求知欲；讓中職生消除對數學學習的恐懼心態(tài)，讓中職生從“要我學數學”轉變成“我要學數學”.

2.提高中職生的思維能力。人的左、右半腦的功能各有特征，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，右半腦功能則偏重于形象思維，如果互相補充就會使大腦功能更健全和發(fā)達.數形結合就同時運用了左、右半腦的功能，促進了中職生的形象思維能力、邏輯思維能力的同步發(fā)展.能夠促進中職生多層次、多角度、全方位地思考問題，讓中職生養(yǎng)成多向性思維的好習慣.同時也提高中職生對數學知識的記憶和理解.

三、運用數形結合的思想方法注意點

1.在解決數學問題時，是選擇用代數方法還是選擇用幾何方法，還是選擇用數形結合方法，是取決于用哪種方法更簡便、容易讓學生接受，而不要刻意用數形結合.

2.數形結合時，幾何問題與代數問題的轉換要是等價的，否則就很有可能會出現漏洞.并且，由于圖形的局限性，圖形的性質只是直觀而淺顯的說明，而不能完整地表現數的特性.

3.在數形結合時，既要進行代數抽象的分析，又要進行幾何直觀的分析，兩者是相輔相成的，不能僅對幾何問題進行代數分析，或者僅對代數問題進行幾何分析.

4.數形結合時畫圖要基本準確，切忌隨意畫圖.

5.要合理運用數形結合的思想方法，就要熟練掌握某些概念、運算的幾何意義和常見圖形的代數特征，做到胸中有圖，見數想圖.

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