肖　輝

(江蘇省南京市第十三中學，210008)

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○教學研究○

談“數(shù)學歸納法”的教學設計

肖輝

(江蘇省南京市第十三中學，210008)

前蘇聯(lián)著名數(shù)學教育家A.A.斯托利亞爾曾說過:“數(shù)學教學可以表示一種思維活動,或者表示這種活動的結果——理論．”數(shù)學從微觀上看是一種思維活動,數(shù)學教育是思維的教育;從宏觀上看,又是一種文化,一種觀念系統(tǒng),數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育．

本節(jié)課的教學內容“數(shù)學歸納法”是典型的三段論,看似簡單而機械,學生掌握其證明步驟不難,靠模仿就可以習得,但其中蘊含的重要的數(shù)學思想和極大的數(shù)學價值,是不容易感悟的．如果我們在教學中只是對其進行演繹推理般的應用,那就放棄了一次讓學生真正體驗“數(shù)學化” 思想的歷程,拋棄這節(jié)課的精華與靈魂,學生也就失去了一次數(shù)學理性思維提升的過程．

在本課例的設計中,筆者用一條主線將三個教學內容按邏輯順序串聯(lián)起來:用數(shù)學的眼光來看世界→用數(shù)學的語言來描述世界→用數(shù)學的方法來研究世界．這條主線是我們這節(jié)課的教學順序,以此推動學生思維的發(fā)展,從本質上來說也是我們“學數(shù)學”和“用數(shù)學”的基本環(huán)節(jié),學生在這個過程中可以接受到數(shù)學文化的熏陶．

下面是本節(jié)課的教學設計過程:

一、問題提出

新教材強調數(shù)學理論形成的背景,重視介紹數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的來龍去脈,注重幫助學生學會運用數(shù)學語言去描述周圍世界出現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象,注重幫助學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用,拓展學生的視野,從而體會數(shù)學的應用價值．我們更希望學生能在解決實際問題中,感悟數(shù)學的作用,體驗數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系,逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高實踐能力．

問題1上述數(shù)學問題你打算怎樣解決?

設計意圖課堂的開始播放三段視頻,從生活問題引入,讓學生感知生活中有很多類似的問題．同時為學生營造輕松、愉快的學習氛圍．在每段視頻播放的過程中,適當引導學生關注每個問題涉及的有關對象，緊接著提出一個數(shù)學問題．這里僅需要學生想到取幾個特殊的n值,從中尋找規(guī)律即可(基于特例的不完全歸納法)．

問題2將三個生活中的問題和一個數(shù)學問題放在一起，上述問題有何共同點?(從生活中舉例)

共同點:① 很多個,無限項;② 用正整數(shù)計數(shù),與正整數(shù)有關;③ 傳遞.

(生活實例:① 放鞭炮,② 早操排隊對齊)

設計意圖將生活中的問題和數(shù)學問題放在一起,找共同點,旨在為尋找解決問題的方法做鋪墊．讓學生舉生活中的例子,旨在讓學生感知生活中有很多類似的問題，問題源于生活．

二、用數(shù)學眼光看問題

我國著名的數(shù)學教育家張孝達先生曾經(jīng)說過這樣一句話:“祝愿我們數(shù)學教育工作者做出無愧于時代的貢獻,給我們所有的學生一雙能用數(shù)學視角觀察世界的眼睛,一個能用數(shù)學思維思考世界的頭腦,一副為謀國家富強人民幸福的心腸．”

“一百個人的眼中,就有一百個哈姆雷特”.我們作為數(shù)學教育者有責任培養(yǎng)學生從現(xiàn)實世界中尋找“數(shù)學”的眼光與能力．

問題3生活中有這樣一類問題,它有無限項,且無限傳遞．對于這類問題,生活中是怎樣解決的呢?以多米諾骨牌為例,怎樣才能使所有骨牌全部倒下?

問題4再以烽火臺傳信為例,怎樣才能使信息傳布出去?

設計意圖以兩個典型的生活問題,讓學生描述問題解決的要領．讓學生充分感知,并適當提煉:① 第一塊(或某一塊)倒下;② 如果前一塊倒下,則一定能擊倒后一塊．讓學生感受用有限的操作完成無限的任務的思想．如果希望多米諾骨牌全部倒下,則第一塊要先倒下；如果希望多米諾骨牌從第五塊倒下，則第一步應是先推到第五塊．這里追問,旨在為后面數(shù)學歸納法的起始項n0做鋪墊．

三、用數(shù)學語言描述問題

對于這樣一類有無限項的問題,我們只用了有限的兩步就完成了．如果這個方法能用于解決之前的數(shù)學問題,那就太好了．現(xiàn)在我們希望能用數(shù)學語言描述這種解決問題的方法．

問題5(1)“第一張”、“第一個”用數(shù)學語言如何表示?“某一個”如何表示?

(2)在第二步中,“如果前一塊倒下,則一定能擊倒后一塊”．這里的“前一塊”是指某一塊,還是任意一塊?(學生可以感知到是任意一塊)

(3)數(shù)學語言如何描述任意一個?它的后一個如何描述?即如何表示一個數(shù)的后繼數(shù)?前一個數(shù)加1即為后繼數(shù)．

多米諾骨牌數(shù)學語言描述第一步第1張牌倒下.證明當n取第一個值n0時命題成立.第二步如果前一張牌倒,則一定能擊倒下一張牌.假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.結論骨牌全部倒下.命題成立.

設計意圖引導學生聯(lián)想多米諾骨牌等游戲活動的條件,豐富學生對數(shù)學歸納法的表象,促進理解；同時通過表格,讓學生更明確相關的類比，此過程為本節(jié)課的重點.若由之前的兩個例子直接引出數(shù)學歸納法,雖然已是水到渠成,但卻忽略了學生的自主建構過程,由特殊到一般的歸納推理過程,由有限到無限的思維質的飛躍過程．但若想讓學生體驗這些過程,必須把問題進行分解，通過問題的階梯式提問,讓學生完成了對兩個步驟的數(shù)學語言描述,而此種描述即為數(shù)學歸納法的證明過程．至此,我們將這一解決問題的方法進行了數(shù)學化．

問題6數(shù)學歸納法用于證明一個與正整數(shù)有關的命題．證明過程中每一步驟的作用是什么?

我們要證明的命題不僅與正整數(shù)有關,而且證明一個新命題成立要充分利用上次的結果,把這次的推理建立在上次的結果之上,前后兩個步驟存在有機的邏輯聯(lián)系.這種思想在數(shù)學中就稱為“遞推”思想. 這主要體現(xiàn)在證明問題的第二步中, 因此這步驟稱為“歸納遞推”；第一步“n0”成立在證明中起到奠基的作用, 因此稱為“歸納奠基”．

問題7每一步的作用是如何保證能實現(xiàn)的?

第一步的作用“歸納奠基”通過檢驗初始項來保證實現(xiàn)；第二步的作用“歸納遞推”,是由n=k(k≥n0,k∈N*) 時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立，即由條件n=k時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立．特別強調在第二步的證明中,條件是什么?結論是什么?明確由什么證什么．

設計意圖通過剖析每一步的作用,以及每一步具體做什么,達到剖析概念的目的．讓學生加深對數(shù)學歸納法的理解．其中第二步的作用就是保證一種關系,條件是n=k時命題成立,結論是當n=k+1時命題也成立．至于n=k時命題是否真的成立,不是第二步需要關心的問題，所以這里用“假設”二字．而n=k時命題是否成立,是由第一步?jīng)Q定的．所以這里的k要滿足k≥n0．至此,我們將數(shù)學歸納法進行了深入一步的剖析,完成了知識的建構．

四、用數(shù)學方法解決問題

問題8現(xiàn)在我們再來試試,用數(shù)學歸納法解決之前的數(shù)列問題.

設計意圖將生活問題的解決方法數(shù)學化,這種方法不僅可以解決生活中的問題,具體共同特點的數(shù)學問題同樣能解決．這也是我們尋找這種方法的目的所在——解決這樣一類問題．從生活走向數(shù)學,讓學生感受數(shù)學問題源于生活,解決問題的辦法亦源于生活,當然數(shù)學更服務于生活．

五、例題講解

問題9設n∈N*，下面對命題

1+3+5+…+(2n-1)=n2-1

的證明過程是否正確？

證明假設n=k時等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2-1;

那么,當n=k+1時,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2-1+(2k+1)=(k+1)2-1，即n=k+1時等式成立．

所以等式對一切正整數(shù)n均成立．

變式1用數(shù)學歸納法證明: 1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N).

變式2能否把變式1的證明過程中第2步證明過程：

“當n=k+1時,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2，即n=k+1時等式成立．”

改換為下面的證明形式:

“1+3+5+…+(2k-1)

+[2(k+1)-1]

=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)

=(k+1)2.”

為什么?

設計意圖此部分練習由學生板書和教師投影規(guī)范書寫相配合,對于最基本的步驟和格式進行規(guī)范要求，讓學生明白用數(shù)學歸納法證明問題，兩個步驟缺一不可．對于上面問題的講解,在講解的過程中利用多米諾骨牌和數(shù)列實例來解釋,幫助學生理解．問題的設計,分別針對第一步和第二步,稍做變化,旨在深化概念,螺旋上升,以促進學生對數(shù)學歸納法深刻理解其思想本質．

《數(shù)學課程標準》中提到:數(shù)學是人類文化的重要組成部分．數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢,數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用,數(shù)學的社會需求,社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用,數(shù)學科學的思想體系,數(shù)學的美學價值,數(shù)學家的創(chuàng)新精神．

因此,通過本節(jié)課的教學,學生可以像數(shù)學家一樣充分參與數(shù)學歸納法的形成和建構過程,數(shù)學歸納法的引入水到渠成．在教學過程中,學生學到的不僅僅是形式和抽象的理論,而是讓數(shù)學歸納法的思想真正走入學生的內心世界．

我們的數(shù)學課堂教學更應關注數(shù)學思想對學生的熏陶以及學生數(shù)學素養(yǎng)的提高.只有掌握了數(shù)學的思想方法和精神實質,才能演繹出千變萬化的生動結論,顯示出無窮無盡的威力．