姜香菊　劉二林

(蘭州交通大學(xué)自動化學(xué)院1，甘肅 蘭州　730070;蘭州交通大學(xué)機(jī)電學(xué)院2，甘肅 蘭州　730070)

?

旋轉(zhuǎn)倒立擺的起擺與穩(wěn)擺研究與實現(xiàn)

姜香菊1劉二林2

(蘭州交通大學(xué)自動化學(xué)院1，甘肅 蘭州730070;蘭州交通大學(xué)機(jī)電學(xué)院2，甘肅 蘭州730070)

針對倒立擺系統(tǒng)的起擺與穩(wěn)擺問題，利用Lagrange方程建立了單擺與倒立擺的完整數(shù)學(xué)模型。采用正反饋控制算法進(jìn)行單擺的起擺控制，采用雙PID算法進(jìn)行倒立擺的穩(wěn)擺控制。設(shè)計了基于擺桿角度和角速度的兩種能量控制切換模式，并進(jìn)行了仿真驗證和實物驗證。仿真和實際運行結(jié)果表明，所設(shè)計的針對角速度的正反饋控制器起擺速度更快，所提出的兩種切換模式可以使控制更穩(wěn)定。

正反饋控制器雙PID旋轉(zhuǎn)倒立擺單擺起擺穩(wěn)擺動力學(xué)分析Lagrange方程

0　引言

倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動非線性機(jī)械系統(tǒng)，可以作為典型的控制對象進(jìn)行研究。倒立擺的種類很多，有直線倒立擺、旋轉(zhuǎn)倒立擺等。旋轉(zhuǎn)倒立擺受力分析較其他倒立擺復(fù)雜，具有不穩(wěn)定性及非線性，對控制算法有更高的要求[1-2]。

本文采用直流電機(jī)、減速機(jī)構(gòu)、微控制器、電機(jī)驅(qū)動芯片和1 024線小型位置式編碼器等，設(shè)計了一個一級旋轉(zhuǎn)倒立擺；同時，利用Lagrange方程對系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)分析，建立了單擺和倒立擺的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了起擺和穩(wěn)擺控制器。將設(shè)計的控制器移植到微控芯片中進(jìn)行實際測試，結(jié)果表明，設(shè)計的系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)合理、響應(yīng)速度快、魯棒性好[3-14]。

1　旋轉(zhuǎn)倒立擺基本結(jié)構(gòu)

倒立擺簡化模型如圖1所示[3-5]。

圖1　倒立擺簡化模型

旋轉(zhuǎn)倒立擺主要由微控制器芯片、支撐機(jī)架、擺桿、旋臂、小型直流電機(jī)、減速器、1 024線位置式編碼器和H橋電路(BT7960)組成。

旋轉(zhuǎn)倒立擺的旋臂與減速器的旋轉(zhuǎn)軸連接，直流電機(jī)驅(qū)動減速器輸出動力，將高速低扭矩旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為低速高扭矩旋轉(zhuǎn)；位置式編碼器1的齒輪與減速器輸出軸的齒輪嚙合，用來檢測旋轉(zhuǎn)臂轉(zhuǎn)過的角度，為旋臂位置PID控制提供實時數(shù)據(jù)；位置式編碼器2安裝在旋轉(zhuǎn)臂末端，并通過轉(zhuǎn)軸與擺桿連接，為擺桿角度PID控制提供實時數(shù)據(jù)。

2　旋轉(zhuǎn)倒立擺數(shù)學(xué)模型

對于倒立擺系統(tǒng)，當(dāng)?shù)沽[處于單擺狀態(tài)時，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；當(dāng)系統(tǒng)處于倒立擺狀態(tài)時，系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)的整個運行過程包括：①對穩(wěn)定的單擺進(jìn)行控制，使其脫離穩(wěn)定狀態(tài)，并盡快擺至最上方，且角速度接近于0，以達(dá)到倒立要求；②對不穩(wěn)定的倒立擺進(jìn)行控制，使其穩(wěn)定直立。所以，整個系統(tǒng)模型應(yīng)該包括單擺模型和倒立擺模型。

對于倒立擺系統(tǒng)，擺桿有一個自由度α、旋轉(zhuǎn)臂有一個自由度θ，可分別令α和θ為廣義坐標(biāo)系。分析能量組成，可得:

T=T1+T2+T3+T4

(1)

(2)

(3)

(4)

對式(3)進(jìn)行處理,得式(5)：

(5)

對式(4)進(jìn)行處理，得式(6)：

(6)

將式(5)、式(6)聯(lián)立得式(7)，式(7)即為該系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程。

(7)

式中:N1=-0.224 6;N2=2.969 7;N3=-0.008 7;N4=-0.679 5;N5=-95.454 5;N6=-0.278 3;N7=4.887 3;N8=4.363 6。

狀態(tài)方程中各參數(shù)如表1所示。

表1　狀態(tài)方程中各參數(shù)列表

(8)

3　旋轉(zhuǎn)倒立擺控制器設(shè)計

3.1單擺的起擺控制

單擺的起擺問題是控制理論中的一個經(jīng)典問題。文獻(xiàn)[8]利用Bang-Bang控制使單擺擺起，但是由于在控制時沒有考慮擺桿角速度的問題，會造成能量的損失，使起擺速度較慢。文獻(xiàn)[9]對單擺的起擺問題進(jìn)行了探討，并利用能量反饋方法來完成倒立擺的起擺控制，效果良好。文獻(xiàn)[9]的控制規(guī)律Vm=n×g×sign(a×cosα)是根據(jù)單擺基于能量模型得到的。

針對建立的單擺數(shù)學(xué)模型，可以利用針對角速度的正反饋比例控制算法，使其迅速震蕩起來。

其控制規(guī)律為：

(9)

圖2　單擺控制系統(tǒng)仿真曲線圖

通過圖2可以看出，擺桿在1.5 s時，擺起角度已經(jīng)接近3.14 rad，即經(jīng)過1.5 s，單擺就能達(dá)到擺起要求。由于模型中擺桿初始角度的存在，所以旋臂會朝著一個方向旋轉(zhuǎn)。同時，由于仿真時輸出限幅為-10～+10 V，所以再增大K，控制效果也無明顯變化。

通過仿真可知，基于式(9)的起擺方法較Bang-Bang控制等傳統(tǒng)方法效果更好[8]。

3.2倒立擺的穩(wěn)定控制

為了實現(xiàn)控制目標(biāo)，采用雙PID控制。在控制器中，控制器1對倒立擺擺桿的角度α進(jìn)行控制，控制器輸出極性為正；控制器2對旋臂的角速度θ進(jìn)行控制，控制器輸出極性為負(fù)。

雙PID控制仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3　雙PID控制仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在仿真過程中，取Kp1=100、Kd1=0、Ki1=0、Kp2=2.2、Kd2=0.08、Ki2=0.01。

控制器2輸出的電壓值限幅范圍為：-5～+5 V，控制器總體輸出的電壓值限幅范圍為：-10～+10 V。

在控制切換時，倒立擺有以下兩種模式：

①僅考慮擺桿角度，在|α|=0.175 rad時進(jìn)行切換。在模型中，令α=-0.175 rad、a=0 rad/s，其仿真結(jié)果見圖4(a)～圖4(d)所示。

②考慮擺桿角度及角速度，在擺桿的動能和勢能之和接近2m2gL時進(jìn)行切換。在模型中，令α=-0.175 rad、a=1.728 rad/s，仿真結(jié)果見圖4(e)～圖4(h)。

通過對兩種不同控制切換方式的仿真結(jié)果對比可以看出：當(dāng)采用方式2對控制方式進(jìn)行切換時，擺桿幾乎沒有超調(diào)，旋臂旋轉(zhuǎn)幅度非常小[9-12]。

圖4　控制切換模式仿真結(jié)果圖

4　旋轉(zhuǎn)倒立擺實際運行數(shù)據(jù)分析

將控制算法移植到FreescaleXS128單片機(jī)中，通過上位機(jī)，對擺桿的角度及旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臂的角速度進(jìn)行監(jiān)控。倒立擺運行波形圖如圖5所示。

圖5　倒立擺運行波形圖

在倒立擺系統(tǒng)運行之初，系統(tǒng)角度為0；在起擺控制方式下，系統(tǒng)開始震蕩；在震蕩2次以后，系統(tǒng)角度達(dá)到倒立擺控制的要求，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)擺控制模式，倒立擺擺桿被穩(wěn)定控制在直立位置。由于系統(tǒng)傳動齒輪的嚙合問題及傳感器精度和安裝問題，倒立擺穩(wěn)擺后擺桿有些震蕩。

在實際運行時，對兩種不同的起擺、穩(wěn)擺控制切換方式進(jìn)行對比，在相同電壓(8.2 V)下，基于能量原則的起擺切換方式需要的電流更小。

5　結(jié)束語

利用Lagrange方程，建立了單擺數(shù)學(xué)模型及倒立擺數(shù)學(xué)模型。采用針對角速度的正反饋比例控制算法，可以使穩(wěn)定的單擺系統(tǒng)震蕩，迅速達(dá)到倒立擺的起擺要求。該算法較Bang-Bang控制等算法起擺更迅速；使用雙PID控制算法使倒立擺穩(wěn)擺，并對兩種不同的控制切換方法進(jìn)行了對比。與常規(guī)切換方式相比，基于能量原則的控制切換方式可以使控制更穩(wěn)定。

[1] 吳愛國,張小明,張釗.基于Lagrange方程建模的單級旋轉(zhuǎn)倒立擺控制[J].中國工程科學(xué),2005,7(10):11-15.

[2] AWTAR S,KING N,ALLEN T,et al.Inverted pendulum systems: rotary and arm-driven-a mechatronic system design case study[J].Mechatronics,2002,12(2):357-370.

[3] 張朝陽,魏曉赟,王少峰.基于52單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)倒立擺的研究和與設(shè)計[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,14(4):49-52.

[4] HUANG N C,GANG W,WANG Y,et al.The rotational inverted-pendulum based on DSP controller[C]//Proceeding of the 4th World Congress on Intelligent Control and Automation,China Shanghai,2002:3101-3105.

[5] 劉二林,姜香菊.單級旋轉(zhuǎn)倒立擺運動控制研究[J].制造業(yè)自動化,2015,37(7):48-51.

[6] 張欣.單級旋轉(zhuǎn)倒立擺的二次型最優(yōu)控制研究[J].電腦開發(fā)與應(yīng)用,2011,24(12):28-29,32.

[7] 劉二林,姜香菊.基于雙PID的旋轉(zhuǎn)倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)[J].制造業(yè)自動化,2015,37(6):139-142.

[8] 姜倩,管鳳旭.旋轉(zhuǎn)式倒立擺的鎮(zhèn)定和擺起控制的研究[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,23(3):232-234.

[9] 潘笑,肖書書,張俊,等.倒立擺擺起的能量控制算法研究及仿真[J].微計算機(jī)信息,2008,24(31):261-262.

[10]江晨,王富東.旋轉(zhuǎn)式倒立擺系統(tǒng)的算法研究及仿真[J].工業(yè)控制計算機(jī),2010,23(5):54-56.

[11]陳進(jìn),王冠凌,邢景虎.單級倒立擺的PID和模糊控制對比研究[J].自動化與儀器儀表,2009(2):17-18.

[12]曹敏,徐凌樺.單神經(jīng)元PID算法在倒立擺控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].微計算機(jī)信息,2009,25(1):70-71.

[13]楊平,徐春梅,曾婧婧,等.PID控制在倒立擺實時控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].微計算機(jī)信息,2006,22(19):83-85.

[14]劉二林,姜香菊.倒立擺擺桿角度檢測裝置的設(shè)計與實現(xiàn)[J].測控技術(shù),2015,37(12):9-12.

ResearchandImplementationoftheSwing-upandStabilizingOperationforRotationalInvertedPendulum

Inordertosolvetheswing-upandstabilizingissuesfortheinvertedpendulum,thecompletemathematicalmodelsforsimplependulumandinvertedpendulumarebuiltbasedonLagrangeequation.Thepositivefeedbackcontrolalgorithmisusedforcontrollingswing-upofthesimplependulum,andthedual-PIDalgorithmisusedtocontrolstabilizingoperationoftheinvertedpendulum.Theenergycontrolswitchingoverbasedonangleofswinglinksandangularvelocityisdesigned,andthesimulationverificationandphysicalverificationareconducted.Theresultsofemulatedandphysicaloperationshowthatthepositivefeedbackcontrollerdesignedforangularvelocitymakesfasterswing-up,Theproposedtwokindsofswitchingmodemakemorestablecontrol.

PositivefeedbackcontrollerDualPIDRotationalinvertedpendulumSimplependulumSwingupStabilizingpendulumDynamicsanalysisLagrangeequation

姜香菊(1979—)，女，2003年畢業(yè)于蘭州交通大學(xué)自動控制專業(yè)，獲碩士學(xué)位，副教授；主要從事計算機(jī)控制及傳感器技術(shù)等方向的研究。

TH-3;TP13

ADOI:10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201609002

甘肅省高等學(xué)校科研基金資助項目(編號：2014-A-041)。

修改稿收到日期：2016-02-17。