顏鳳

（羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系，廣東 羅定 527200）

序半群模糊理想的新推廣

顏鳳

（羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系，廣東 羅定 527200）

從序模糊點(diǎn)的角度介紹序半群的）-模糊理想的概念，并研究它的相關(guān)性質(zhì)。進(jìn)而，介紹序半群的素）-模糊理想的概念，并且給出這些概念的刻畫(huà)。作為這些結(jié)果的應(yīng)用，通過(guò)適當(dāng)修改可以在普通半群中得到相應(yīng)的性質(zhì)。

序半群；強(qiáng)凸模糊集）-模糊理想；素）-模糊理想

1965年，Zadeh引入的模糊集概念，奠定了模糊集理論的基礎(chǔ)。利用模糊集的概念，Rosenfeld［1］將代數(shù)結(jié)構(gòu)模糊化，介紹了模糊子群的概念，這是對(duì)經(jīng)典代數(shù)理論的推廣。需要指出的是Bhakat和Das在模糊點(diǎn)和模糊子群之間使用“屬于”關(guān)系（∈）和“擬一致”關(guān)系（q）給出了-模糊子群的概念，并且介紹了）-模糊子群的概念［2］。事實(shí)上）-模糊子群是對(duì)Rosenfeld的模糊子群的一個(gè)重要且實(shí)用的推廣，這個(gè)概念也被進(jìn)一步研究［3，4］。

Kehayopulu和Tsingelis首先在序半群中引入序模糊子集［5］，然后將序半群中一些有用的概念“類似”地推廣到模糊序半群中。近來(lái)，序半群的模糊集理論被不斷研究［6-12］。特別是，謝祥云和唐劍介紹了序半群的序模糊點(diǎn)的概念［9］，并且研究了序半群的素模糊理想［11］。他們利用序半群的模糊點(diǎn)，給出了序半群的-模糊理想和-模糊（廣義）雙理想，并且利用這些概念刻畫(huà)了正則序半群。本文的目的是研究序半群的一類新的模糊理想，稱為-模糊理想；進(jìn)而給出序半群利用-模糊理想概念得出一些相應(yīng)的結(jié)論；最后，本文引入了序半群的素-模糊理想的概念，并利用其研究了它們的一些有趣的性質(zhì)。這篇文章是從序半群理論到“模糊”序半群理論過(guò)渡的一個(gè)例子。作為本文結(jié)果的應(yīng)用，在半群中經(jīng)過(guò)適當(dāng)修改便可得到相應(yīng)的結(jié)論。

1　預(yù)備知識(shí)

在本文中，S是一個(gè)序半群，即半群S上有偏序關(guān)系“≤”使得

（a，b，x∈S）a≤b?xa≤xb，ax≤bx。

S到單位閉區(qū)間［0，1］的映射 f稱為S的模糊子集。序半群S本身是一個(gè)模糊子集，使得S（x）=1，?x∈S。

用F（S）表示S的所有模糊子集的集合，對(duì)于f，g∈F（S），如果（?x∈S）f（x）≤g（x），則稱 f?g。對(duì)于?x∈S，f?g，f?g定義如下：

容易證明（F（S），?，?，?）形成一個(gè)以S為最大元和0為最小元的完備格，其中0是一個(gè)從S到單位閉區(qū)間［0，1］的映射，定義如下：

0:S→［0，1］，x→0（x）:=0，?x∈S。

容易知道，這個(gè)運(yùn)算“°”滿足結(jié)合律，（F（S），°，?）構(gòu)成一個(gè)序半群。

假設(shè)S為序半群。對(duì)于H?S，定義：

對(duì)于H=｛a｝，用（a］代替（｛a｝］。對(duì)于S的子集A和 B，有：（1）A?（A］；（2）如果 A?B，那么（A］?（B］；（3）（A］（B］?（AB］（參見(jiàn)［13］）。

序半群S的一個(gè)非空子集A稱為S的左（右）理想，如果A滿足：（1）SA?A（AS?A）；（2）如果a∈A，且S?b≤a，那么b∈A。如果A既是S的左理想又是S的右理想，那么A叫做S的（雙邊）理想［13］。S的理想 A叫做素理想，如果（?x，y∈S）xy∈A，那么x∈A或y∈A。

序半群S的模糊子集 f稱為S的模糊左（右）理想，如果f滿足：

（1）x≤y?f（x）≥f（y），

（2）（?x，y∈S）f（xy）≥f（y）（f（xy）≥f（x））。

S的模糊子集 f稱為S的模糊理想，如果它既是S的模糊左理想，又是S的模糊右理想（見(jiàn)［5］）。

定義1［9］假設(shè) f是S的模糊子集，定義（f］如下：

S的模糊子集 f稱為強(qiáng)凸的，如果 f=（f］。由定義1，對(duì)于序半群S的模糊點(diǎn)aλ和強(qiáng)凸模糊子集 f，有aλ∈f當(dāng)且僅當(dāng) f（a）≥λ。

引理1［9］假設(shè) f是序半群S的強(qiáng)凸模糊子集，則

引理2［11］假設(shè) f是S的模糊子集，則 f是S的強(qiáng)凸模糊子集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意 x，y∈S，x≤y?f（x）≥f（y）。

定義2［9］序半群S的序模糊點(diǎn)aλ稱為不屬于（不擬一致）S的模糊子集 f，記作aλ∈-f（aλq-f），如果 f（a）＜λ（f（a）+λ≤1）。如果aλ∈-f或aλq-f，我們寫(xiě)作aλ∈-∨q-f。

引理3［9］假設(shè)aλ，bμ（λ≠0，μ≠0）是序半群S的序模糊點(diǎn)，f，g是S的模糊子集，則下列條件成立：

（1）對(duì)于 S的所有序模糊點(diǎn) aλ，bμ，有aλ°bμ=（ab）λ∧μ。特別地，aλ°aλ=（a2）λ；

（2）如果 f，g是 S的模糊理想，那么f°g，f?g是S的模糊理想；

本文未定義的術(shù)語(yǔ)可以參考文獻(xiàn)［9，14］。

作為aλq-f概念的推廣，我們將，定義為：f（a）+λ+k≤1，這里k∈［0，1）。如果或我們寫(xiě)作。本節(jié)我們定義在［6］中給出的序半群的）-模糊理想的一個(gè)廣義形式，并介紹令）-模糊理想，這里除非特殊指明，否則k∈［0，1）。

定理1假設(shè)S是一個(gè)序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的-模糊左理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于，f滿足：

反之，假設(shè)條件（1）和（2）成立。 令x，y∈S，t∈（0，1］，使得（xy）t∈--f。那么由于 f是S的強(qiáng)凸模糊子集，有 f（xy）＜t?？紤]下面兩種情況：

情況1：如果 f（xy）≥f（y），那么 f（y）＜t。因此

類似定理1，我們有下面兩個(gè)定理。

定理2假設(shè)S是一個(gè)序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的）-模糊右理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?x，y∈S，f滿足：

定理3假設(shè)S是一個(gè)序半群，f是S的模糊子集，則 f是S的）-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于?x，y∈S，f滿足：

例1序半群S:=｛a，b，c，d｝，它的乘法運(yùn)算“·”和序關(guān)系“≤”定義如下：

≤:=｛（a，a），（b，b），（b，a），（c，c），（c，a），（c，b），（d，d）｝。

假設(shè) f是S的模糊子集，使得

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.2。

定理4假設(shè)S是一個(gè)序半群，f是S的強(qiáng)凸模糊子集。則 f是S的-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意］，

f的水平截集是S的理想。

進(jìn)一步地，若x≤y，則（f°g）（x）≥（f°g）（y）。事實(shí)上，如果Ay=?，那么（f°g）（y）=0。由 f°g是S的模糊子集得 （f°g）（x）≥0=（f°g）（y）。如果Ay≠?，那么由x≤y得Ay?Ax。因此，

證明 類似于定理5，這里略之。

證明 由定理4和定理5，顯然。

定理7假設(shè)｛fi|i∈I｝是序半群S的）-模糊理想的集合，則是S的-模糊理想，這里

進(jìn)一步地，若x≤y，則 f（x）≥f（y）。事實(shí)上，由每一個(gè) fi（i∈I）都是S的）-模糊右理想，得。于是，

類似于上面的定理，可以得出下面的結(jié)論：

3　序半群的素-模糊理想

例2考慮例1中的序半群，并定義S的模糊子集f如下：

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.3。

反之，假設(shè)對(duì)任意?x，y∈S，都有

則f （x）＜t，f （y）＜t。

情況1：若t＞1-k，則 f（xy）≤t，即（xy）∈-f。因此，（xy）t∈-∨q--kf。

定理10設(shè)S是一個(gè)序半群，f是S的強(qiáng)凸模糊子集，則 f是S的素）-模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的］，f的水平截集是S的素理想。

［1］ Rosenfeld A.Fuzzy groups［J］.Journal of MathematicalAnalysis and Applications，1971，35（3）：512-517.

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［14］謝祥云.序半群引論［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

A new generalization of fuzzy ideals in ordered semigroups

YAN Feng

（Department of Education，Luoding Polytechnic，Luoding Guangdong 527200，China）

In this paper，the concept of）-fuzzy ideals of an ordered semigroup S is introduced by the ordered fuzzy points of S，and related properties are investigated.Furthermore，the concept of prime）-fuzzy ideals of ordered semigroups is introduce，and some characterizations of this notion are given.As an application of these results，the corresponding results in ordinary semigroups can be also obtained by moderate modification.

ordered semigroup；strongly convex fuzzy subset；-fuzzy ideal；prime）-fuzzy ideal

O152.7

A

1004-4329（2016）02-007-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-007-05

2016-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金（11361027，11271040）；廣東省自然科學(xué)基金（2014A030313625）；廣東省教育廳重大項(xiàng)目（自然科學(xué)類）（2014KZDXM055）；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2015A161）；2015年廣東省高等職業(yè)教育質(zhì)量工程項(xiàng)目資助。

顏鳳（1980－），女，碩士，講師，研究方向：模糊代數(shù)。