田方琳，汪曉勤

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美國《數(shù)學教師》上的HPM內(nèi)容分析

田方琳1，2，汪曉勤1

（1．華東師范大學 數(shù)學系，上海 200241；2．華東師范大學第二附屬中學，上海 201203）

對美國《數(shù)學教師》雜志1990—2013年共24卷中的數(shù)學史內(nèi)容進行分析，發(fā)現(xiàn)《數(shù)學教師》上的數(shù)學史論文可以分為HPM理論探討、教育取向的數(shù)學史、數(shù)學教育史、教學設(shè)計與課堂實踐4類．這些論文折射出美國HPM研究的特點——注重歷史研究，關(guān)注課堂實踐．近年來，技術(shù)的輔助也促進了數(shù)學史在教學上更有效地運用．

《數(shù)學教師》；數(shù)學史；數(shù)學教育；內(nèi)容分析

數(shù)學史與數(shù)學教育之間的關(guān)系（HPM）是數(shù)學教育中富有魅力，又極具挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域．利用數(shù)學史可以激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學精神，啟發(fā)學生的人格成長，預(yù)見學生的認知發(fā)展，指導并豐富教師的課堂教學，促進學生對數(shù)學的理解和對數(shù)學價值的認識，構(gòu)筑數(shù)學與人文之間的橋梁等[1]．作為從事數(shù)學教育的教師，若有意識地引用數(shù)學史資料，汲取數(shù)學史知識，運用數(shù)學史研究成果，將有益于數(shù)學教育成為“最高、最好的教育”[2]．從國際HPM研究現(xiàn)狀來看，將數(shù)學史融入數(shù)學課堂教學，已成為學術(shù)界關(guān)注的焦點之一[3]．中國的HPM實踐研究還遠遠不夠，成功的HPM案例鳳毛麟角；長期以來，數(shù)學史在中學“高評價、低應(yīng)用”的現(xiàn)狀仍有待于改變．中學數(shù)學教師數(shù)學史素養(yǎng)不足、數(shù)學史素材匱乏、HPM教學設(shè)計方法缺失，已經(jīng)成了制約HPM實踐研究的主要因素．鑒于此，希望借他山之石，從國外數(shù)學教育文獻中獲取資源，為HPM實踐研究服務(wù)．

《數(shù)學教師》（以下簡稱）是全美數(shù)學教師理事會（NCTM）的官方雜志，旨在提高8—14年級的數(shù)學教學并服務(wù)于教師教育，為分享活動、教育策略、加深數(shù)學思想的理解和聯(lián)系數(shù)學教育研究與實踐提供平臺，在美國中學數(shù)學教育界有著廣泛的影響．該刊物自1906年創(chuàng)刊以來，在相當長時間內(nèi)都保持重視數(shù)學史和數(shù)學文化的傳統(tǒng)．從某種意義上，該刊物上的HPM論文是美國HPM研究的一個縮影，值得關(guān)注．2004年以前，每年一卷，每卷9期；自2005年開始，每年8月到次年5月（12月、1月合并為一期）組成一卷，每月一期，每卷9期．

研究者對第83-106卷（1990—2013年）共212期（其中第97卷只有5期）中的HPM類論文進行了深入考察，試圖回答以下問題：《數(shù)學教師》上的HPM類論文的研究內(nèi)容是什么？有什么特點？對HPM教學與實踐研究有何啟示？

1 《數(shù)學教師》上的數(shù)學史

通過對共24卷的論文深入考察和分析，共發(fā)現(xiàn)了77篇HPM類論文．在千禧年2000年即Vol. 93中共20篇數(shù)學史相關(guān)文章，2001年即Vol. 94中共10篇數(shù)學史相關(guān)文章，其它年份的卷次關(guān)于數(shù)學史的內(nèi)容平均每卷約一到兩篇．按照不同的主題，這些論文可以分為4類：HPM理論探討、教育取向的數(shù)學史、數(shù)學教育史、教學設(shè)計與課堂實踐[4]．圖1給出了各類論文數(shù)量的分布．

圖1 《數(shù)學教師》上的HPM論文分類統(tǒng)計

從圖1可見，中的數(shù)學史類論文以教育取向的數(shù)學史及教學設(shè)計與課堂實踐為主，教育取向的數(shù)學史類占了總數(shù)的60%，教學設(shè)計與課堂實踐類占了26%．HPM理論探討及數(shù)學教育史也都有涉及，數(shù)量相對較少．

1.1 HPM理論探討

“HPM理論探討”主要是指關(guān)于為何以及如何在數(shù)學教學中運用數(shù)學史．這類文章共有5篇：Bidwell的“用數(shù)學史使課堂人性化”[5]、Marshall的“歷史在數(shù)學課中的角色”[6]、Wilson的“誰？如何？什么？用歷史教數(shù)學的一個策略”[7]、Loretta的“數(shù)學史旅行”[8]、Po-Hung Liu的“教師需要在教學中運用數(shù)學史嗎”[9]．其中有3篇刊于千禧年，最早的一篇是在1993年，最后一篇距今也有10年了．表1給出了各篇文章關(guān)于“為何”及“如何”的觀點．

表1 關(guān)于“為何”與“如何”的觀點

雖然中HPM理論探討的文章并不多，但從這幾篇可以看到，關(guān)于是否要在數(shù)學教學中運用數(shù)學史這一問題，答案是肯定的．而對于如何在課堂中運用，仁者見仁，智者見智．研究者之一也曾提出4種運用方式[10]，在數(shù)學史融入數(shù)學教學中發(fā)揮著作用．而這也對教師了解、認識數(shù)學史進課堂的意義和實踐運用有著指導性作用．

1.2 教育取向的數(shù)學史

“教育取向的數(shù)學史”是為教育而研究的歷史[3]，這里具體指文章講述了一段或幾段數(shù)學史，旨在服務(wù)于數(shù)學教育而又未具體聯(lián)系課堂實踐．這一部分是中HPM類論文的主流，是中學教師運用數(shù)學史的一個資料庫．44篇文章的內(nèi)容可以分為數(shù)學專題、數(shù)學人物、數(shù)學問題、教學策略等類型，圖2給出了各類文章的數(shù)量分布．

圖2 教育取向的數(shù)學史中各類主題的數(shù)量分布

“數(shù)學專題”指以某一數(shù)學內(nèi)容相關(guān)歷史或相關(guān)歷史的延申為主題的文章．如Bressoud在“三角學歷史在教學上的應(yīng)用”一文中，從三角學的開端——圓中的三角學開始，闡述了三角學中的基本問題、角度量的發(fā)展、三角形中三角學的出現(xiàn)及教育啟示等內(nèi)容[11]．又如，Lamb在“埃及的兩種測量工具”一文中，通過對水平儀、鉛錘水準儀的介紹講述了埃及人如何在實踐中應(yīng)用數(shù)學[12]．這類文章在“教育取向的數(shù)學史”中占到40%，是比較常見的數(shù)學史介紹方式，其寫作目的都是為教學服務(wù)．這種或圍繞一個數(shù)學知識點或圍繞一個數(shù)學情景展開的文章可以相對深入的對一個內(nèi)容進行介紹，為教師提供了豐富的資料，拓寬了教師視野，促進其專業(yè)發(fā)展．

“數(shù)學人物”是指以人物為主題或線索的文章，或是介紹數(shù)學家的軼事，或是介紹人物的同時講述其一些數(shù)學理論．如Shotsberger在“開普勒與懷爾斯：堅持不懈的典范”一文中，討論了懷爾斯（A. Wiles）和開普勒（J. Kepler, 1571—1630）在數(shù)學上的貢獻[13]．懷爾斯證明了費馬大定理，而開普勒在探索宇宙本質(zhì)的過程中改進了數(shù)學方法導致了微積分的發(fā)明．他們兩個人的道路在許多方面互相映襯，并且吸引人們深入了解數(shù)學的創(chuàng)造性過程．“數(shù)學人物”部分的文章占“教育取向數(shù)學史”的近30%．這大概和數(shù)學史本身的特點有關(guān)，畢竟，人物線索在歷史中是一個重要線索．這些文章通常以激發(fā)學生學習動機、學習前人的精神品格為主，也有一些提供了數(shù)學方法或數(shù)學理論．17世紀法國數(shù)學家瓦里格農(nóng)（P. Varignon, 1654—1722）第一個給出了中點四邊形定理的嚴格證明，Oliver介紹了瓦里格農(nóng)的生平，并對其《數(shù)學基礎(chǔ)》進行了考察[14]．另外，“人物”中還有一類文章是值得關(guān)注的，即女性數(shù)學家．這樣的文章共有3篇，主要都是鼓勵女性學習和研究數(shù)學的．如Loretta在“為什么女數(shù)學家那么少”一文中，介紹了6位女數(shù)學家的工作，看到歷史上并不乏優(yōu)秀的女性數(shù)學家，但女性要在數(shù)學上有所作為往往要跨越更多的藩籬[15]．

“數(shù)學問題”指以展示或解答歷史上已有的數(shù)學問題展開的文章．如Howard在“古埃及紙草書中的數(shù)學問題”一文介紹了紙草書上3類古老的數(shù)學問題：萊因得紙草書中圓面積公式與的近似值；萊因得紙草書中的等差數(shù)列和等比數(shù)列；莫斯科紙草書中的正四棱臺體積公式[16]．這些問題可以讓學生了解數(shù)學的歷史，豐富數(shù)學課程．

“教學策略”專指通過數(shù)學的發(fā)展或歷史上的教學形式，啟發(fā)今天教學的策略．3篇文章中有2篇是關(guān)于蘇格拉底的對話形式與研討班的，還有一篇借鑒導數(shù)的歷史展提出“運用—發(fā)現(xiàn)—探索/發(fā)展—定義”的教學框架．可見，了解數(shù)學史有助于選擇合適的教學策略．

“其他”這一類別中的文章有語源學、數(shù)學符號的介紹、一個時代或地區(qū)數(shù)學的發(fā)展情況以及通信中的例子．這些內(nèi)容對教師的專業(yè)發(fā)展也都是大有裨益的．

教育取向的數(shù)學史除了以上分類，還有多元文化問題是值得借鑒的．“西方中心論”的偏見早已成為過去．的“多元文化數(shù)學”指的是不同地區(qū)、不同文明的數(shù)學．Lee-Chua和Queena就在文章中介紹了菲律賓的數(shù)學，涉及計數(shù)、測時間、幾何與邏輯，數(shù)學教師可以將這些整合到數(shù)學課程中，幫助學生理解數(shù)學在不同地域是廣泛存在的，同時增強少數(shù)民族學生的信心與自豪感[17]．這類文章共有6篇，雖然數(shù)量不多，但對于促進少數(shù)民族學生學習、豐富數(shù)學史研究內(nèi)容有重要意義．

1.3 數(shù)學教育史

數(shù)學教育史類的論文共有8篇，具體內(nèi)容如下．

Stein在“揚的遠見”一文中介紹了美國數(shù)學教育家揚（J. W. A. Young, 1865—1948）在20世紀初前瞻的教育思想．簡言之，揚認為，一個人要成為成功的數(shù)學教師，不僅要理解數(shù)學，還需要許多其他的方法與技能，比如善于小組學習、在任務(wù)中學習、多種評價方式、關(guān)注學生的需要與能力等[18]．

4篇論文討論了數(shù)學教育改革．1999年，在NCTM《學校數(shù)學課程與評價標準》十周年和F·克萊因（F. Klein, 1849—1925）誕辰150周年之際，McComas設(shè)想，Klein必會欣賞NCTM在從死記硬背的學習轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸饬x的數(shù)學學習的教育改革上所做的努力[19]；Case在“荷蘭的報告：荷蘭的中學數(shù)學改革”一文中考察了荷蘭數(shù)學教育改革的情況，試圖為美國的數(shù)學教育改革提供借鑒[20]；一篇是對AP課程與技術(shù)改革的回顧[21]；還有一篇敘述了美國“新數(shù)運動”和“回到基礎(chǔ)”運動的特點[22]．

還有3篇論文是關(guān)于教科書的．主要是對歷史上數(shù)學教科書的介紹，從中可以了解前人數(shù)學學習的內(nèi)容及特點，啟發(fā)現(xiàn)在教科書的編寫、數(shù)學教學與學習．

上述文章提示，數(shù)學教育不能割裂歷史，今日數(shù)學教育的改革和發(fā)展需要借鑒歷史經(jīng)驗．

1.4 教學設(shè)計與課堂實踐

數(shù)學史知識與數(shù)學教學的具體結(jié)合，一直是HPM學者們的研究目標之一．學生對數(shù)學的思考往往來自于個別范例和具體活動[23]．注重課堂實踐，這在數(shù)學史部分也得到了很好的體現(xiàn)．77篇文章中有20篇是關(guān)于教學設(shè)計與課堂實踐的，其運用數(shù)學史的方式互有不同．其中，14篇論文采用了復(fù)制式，3篇采用了順應(yīng)式，3篇采用了重構(gòu)式．

復(fù)制式是中運用數(shù)學史的主要方式．也就是說，的數(shù)學史實踐相關(guān)內(nèi)容多以直接采用歷史上的問題和解法為主，或是向?qū)W生介紹前人的方法、思想，或是將歷史上的問題采用一種新的方法解答，用新的眼光加以審視．這是有啟發(fā)意義的，除了學習古人的解法，古題新解也是探究式學習重要的部分．

Bruyn在給12年級資優(yōu)生班講授的一堂課中，采用費馬的方法來求函數(shù)=2，=3，=2圖形下的面積[24]．首先，先作等寬長方形，再用寬成等比數(shù)列的一系列矩形求其面積，如圖3所示．這節(jié)課為學生后面微積分的學習打下了

基礎(chǔ)．

圖3 用寬成等比數(shù)列的一系列矩形求圖形面積

Shirley描述了一個以勾股定理為主題的教學活動設(shè)計[25]．設(shè)計中，作者引用了畢達哥拉斯的問題、語言等．作者認為，數(shù)學教育的目的之一是讓呈現(xiàn)給學生的數(shù)學更生動．學生應(yīng)該知道數(shù)學是不斷變化的，是在許多人的參與中不斷發(fā)展的．

“順應(yīng)式”是指根據(jù)歷史材料，編制數(shù)學問題；“重構(gòu)式”是借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展史．中這兩種方式運用的都比較少，這也許和其運用難度較高是有關(guān)的．Oliver考察了瓦里格農(nóng)平行四邊形（依次連接任意四邊形中點所得到的四邊形）的起源，并進一步討論了與該四邊形相關(guān)的推論，據(jù)此為中學生設(shè)計了探究活動[26]，運用數(shù)學史的方式屬于順應(yīng)式．Santucci借鑒阿基米德推導圓面積公式和求的方法，在課堂中用類似的探究方式借助周長對進行估計[27]，屬于重構(gòu)式運用數(shù)學史．

復(fù)制式是其數(shù)學史融入最常用的方式，順應(yīng)式與重構(gòu)式較少，而很多初識數(shù)學史的教師最常用的附加式在中幾乎找不到．

2 《數(shù)學教師》上的數(shù)學史內(nèi)容特點

縱觀24卷內(nèi)容，不難看到MT數(shù)學史內(nèi)容的以下特點．

2.1 注重文獻研究 選題豐富多彩

非常注重文獻研究，這一方面可以從“教育取向的數(shù)學史研究”的數(shù)量上看出，另一方面也可以從中的作者身份與引文數(shù)量發(fā)現(xiàn)．與其它文章不同，數(shù)學史方面文章的作者主要來自高等院校和研究機構(gòu)，所引用的參考文獻也常常在10篇以上，研究多建立在對原始文獻分析的基礎(chǔ)上，都具有較高的學術(shù)水平．

同時，中的數(shù)學史論文有著豐富多彩的選題．論文所涉及的知識領(lǐng)域涵蓋代數(shù)、幾何、概率、微積分等學科；涉及的人物有古代數(shù)學家，有近代數(shù)學家，也有現(xiàn)代數(shù)學家；涉及的問題有化圓為方、本杰明謎題等，此外還涉及語源學、數(shù)學符號等話題．

大量的文獻研究及選題的多樣性為數(shù)學教育工作者提供了教學資源，便于教師利用其對自己的課堂進行設(shè)計．

2.2 關(guān)注課堂教學 活動形式多樣

數(shù)學史融入數(shù)學教學的有效性歸根到底要經(jīng)過課堂實踐的檢驗[4]．從較多的教學設(shè)計與課堂實踐的文章中可以看出對課堂教學的關(guān)注．不論是理論探討還是文獻研究，終究是為了幫助教師更好地教，幫助學生更好地學，讓數(shù)學課堂更加有效與豐富．

另外，還可以看到，數(shù)學史在課堂中運用的形式是多種多樣的．除了一般的教授、探索，還有許多有趣的活動形式．Benson安排學生以數(shù)學家的身份通過書信向他人介紹該數(shù)學家的一項數(shù)學發(fā)現(xiàn)[28]；Shirley讓教師裝扮成畢達哥拉斯來教數(shù)學史，講述畢達哥拉斯的一些思考與成就，讓數(shù)學課堂更生動[19]；Judith在牛頓的紀念日讓學生撰寫以牛頓為中心的各種小文章[29]．這些課堂生動活潑，為歷史進入課堂提供了多樣的形式．

2.3 充分利用技術(shù) 溝通歷史現(xiàn)實

Daniel在“動態(tài)可視化與證明：一個經(jīng)典問題的新方法”一文中，講述了如何通過交互式幾何軟件，只用初等幾何方法來解決著名的荒島尋寶問題[30]．這是中首次出現(xiàn)將技術(shù)與數(shù)學史結(jié)合的論文．

2009年，Burke和Burroughs首次明確提出將數(shù)學史與信息技術(shù)相結(jié)合．他們指出，在高中階段用現(xiàn)代技術(shù)來解決經(jīng)典數(shù)學問題，可以減少計算量，同時提高學生的歸納能力[31]．比如歷史上一些經(jīng)典問題是用微積分而非代數(shù)方法來解決的，但借助計算機代數(shù)系統(tǒng)，教師在課堂上就可以避開微積分，在微積分預(yù)備課程中討論那些經(jīng)典問題．

Althoen借助圖形計算器，用16世紀意大利數(shù)學家費拉里（L. Ferrari, 1522—1565）的方法來解五次方程[32]．Livermore則利用幾何畫板等軟件來解決古希臘三大幾何難題之一的“化圓為方”問題[33]．

迄今為止，已有8篇論文將技術(shù)與數(shù)學史結(jié)合起來．從這類文論文中，不難看出現(xiàn)代技術(shù)可以幫助教師快速再現(xiàn)或重構(gòu)歷史，從而可以更加有效地發(fā)揮數(shù)學史在數(shù)學教學中的作用．有理由相信，從計算器到幾何畫板、代數(shù)系統(tǒng)軟件，數(shù)學史與技術(shù)的結(jié)合必將成為HPM教學的一種趨勢．

3 結(jié)論與啟示

通過對從1990年到2013年共24卷的HPM論文的考察，可以發(fā)現(xiàn)，HPM論文在中始終占有一席之地，其內(nèi)容涉及HPM理論探討、教育取向的數(shù)學史、數(shù)學教育史和HPM教學設(shè)計與實踐4類，從上的HPM論文可以窺見美國HPM研究具有“注重文獻研究、選題豐富多彩”、“關(guān)注課堂教學、活動形式多樣”、“充分利用技術(shù)、溝通歷史現(xiàn)實”等特點．這些論文對HPM的研究具有重要的借鑒意義．

（1）從內(nèi)容上說，以教育取向的數(shù)學史為主，提供了豐富的史料，其中多以數(shù)學專題和人物為線索，沿襲了數(shù)學史研究的傳統(tǒng)．數(shù)學史是HPM的基礎(chǔ)，僅僅利用二手、三手文獻是遠遠不夠的，中國HPM研究者需要加強數(shù)學史的研究，才能提高HPM的研究水平．另外，也應(yīng)適當關(guān)注女性主義和多元文化．

（2）教學設(shè)計與課堂實踐是HPM的重要目標．從比較分析中可以看到，復(fù)制式與順應(yīng)式是中最常用的兩種方式，而重構(gòu)式則較少．這表明，借鑒數(shù)學歷史、再現(xiàn)知識自然發(fā)生過程的重構(gòu)式是HPM教學設(shè)計與實施中的難點，并非旦夕之功，需要研究者做更多的探索與嘗試．

（3）美國的HPM課堂活動形式多樣、生動活潑、極具人情味．為了更有效地發(fā)揮數(shù)學史的教育價值，可以設(shè)計更多的HPM教學形式，讓HPM更“接地氣”、更具人文氣息、更豐富有趣．

（4）技術(shù)與數(shù)學史的融合已經(jīng)成為一種趨勢，近些年越來越多這樣的文章出現(xiàn)，技術(shù)可以輔助再現(xiàn)或重構(gòu)歷史，簡化繁瑣的計算，縮短冗長的過程，讓古代數(shù)學家的思想方法更清晰、更直觀、更易于理解．一言以蔽之，技術(shù)為HPM插上了翅膀．

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[30] Daniel S. Dynamic Visualization and Proof: A New Approach to a Classic Problem [J]., 2003, 96(6): 394-398.

[31] Burke M J, Burroughs E A. Using CAS to Solve Classical Mathematics Problems [J]., 2009, 102(9): 672-679.

[32] ?Althoen S. Ferrari’s Method and Technology [J]., 2005, 99(1): 68-70.

[33] ?Livermore J M. Squaring the Circle with the Geometer’s Sketchpad [J]., 2012, 106(5): 390-393.

[責任編校：周學智]

Analysis of Papers on HPM in

TIAN Fang-lin1, 2, WANG Xiao-qin1

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. No.2 High School of East China Normal University, Shanghai 201203, China)

All the 77 papers on HPM in thefrom 1990 to 2013 are analyzed in this paper. It is found that these papers can be classified into four types: the theory of HPM, the education-oriented history of mathematics, the history of mathematics education and teaching design and classroom practice. They reflect the characteristics of HPM study in the United States——attaching importance to historical research based upon original sources and classroom practice. In recent years, the use of technology advocates the integration of the history of mathematics into mathematics teaching.

; history of mathematics; pedagogy of mathematics; content analysis

G40-059.3

A

1004–9894（2016）04–0042–05

2016–02–20

人教社課程與教材研究所“十二五”規(guī)劃課題——數(shù)學史融入高中數(shù)學教材研究（KC2014—010）

田方琳（1987—），女，黑龍江牡丹江人，碩士，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育、數(shù)學教育比較研究．