王世宇，王堯堯

?

分組激振旋轉(zhuǎn)超聲電機彈性振動分析

王世宇1,2，王堯堯1

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

為解決電機受傳統(tǒng)時空相位限制的這一難題，針對超聲電機的激振問題，采用能量方法建立了定子彈性動力學(xué)模型．應(yīng)用解析方法研究了壓電片的分組對稱拓撲對彈性振動特性的影響，揭示了拓撲結(jié)構(gòu)與行波及駐波之間的映射關(guān)系，得到了產(chǎn)生行波的一般條件．結(jié)果表明：采用滿足該映射關(guān)系的工作波數(shù)、壓電片個數(shù)及其分組可生成期望的波動響應(yīng)；該映射關(guān)系提供了保證振幅最大的壓電片最優(yōu)分組方式．研究結(jié)果有利于優(yōu)化激振方式，提高超聲定子的激振效率．

超聲電機；分組對稱；激振方式

旋轉(zhuǎn)超聲電機是一種機電一體化直接驅(qū)動裝置．在過去20年中，該電機的研究取得了相當(dāng)大的進展．但是，壽命、效率和穩(wěn)定性問題一直未得到很好的解決．

傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)超聲電機多為兩相驅(qū)動．現(xiàn)有研究表明，若采用三相甚至多相，仍然可以激起行波[1]．但文獻[2]指出：由于圓盤振子僅存在兩個共振模態(tài)，因而三相激振不能產(chǎn)生穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)模態(tài)，除非進行強制振動，并允許機械品質(zhì)因數(shù)低下時，才有可能激起穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)模態(tài)．文獻[3]深入分析了三相激振問題，發(fā)現(xiàn)確實可以產(chǎn)生行波．文獻[4]研究了多相驅(qū)動問題，比較了傳統(tǒng)極化與對稱極化分區(qū)的激振效果．結(jié)果表明，采用對稱極化方式有利于激發(fā)工作模態(tài)，而且不易激發(fā)干擾模態(tài)．事實上，激勵相數(shù)與共振模態(tài)個數(shù)本質(zhì)上不同，因此能否激起行波與激勵的時空相位匹配有關(guān)，只要采用合適的相位，三相激振同樣可以產(chǎn)生穩(wěn)定的行波．

應(yīng)當(dāng)指出的是，現(xiàn)有研究在分析兩相或多相環(huán)型或盤型振子的行/駐波生成機理及振動特性時，通常采用簡單的平板模型．由于模型過于簡化，因而不利于深刻揭示基本運行原理，同時現(xiàn)有分析通常忽略諧波激勵對電機性能的影響．

本文提出一種壓電片分組拓撲結(jié)構(gòu)，并分析基本激振原理，揭示壓電片的拓撲方式與振動響應(yīng)之間的映射關(guān)系，探討壓電片的合理分布問題．

1?數(shù)學(xué)建模

1.1?分析模型

本節(jié)擬建立環(huán)形超聲定子的動力學(xué)模型，事實上現(xiàn)有文獻已對該類環(huán)狀結(jié)構(gòu)開展了深入研究[5-9]，本節(jié)僅給出主要建模過程．圖1為超聲定子的動力學(xué)模型．圖中和分別為切向和徑向位移．假定壓電片個數(shù)為(，為分組數(shù)，為組內(nèi)壓電片個數(shù))，第個分組第個壓電片的機械夾角及其相角分別為ψ, j＝ψ＋(－1)D和φ, j＝φ＋(–1)D(＝1，2，…，；＝1，2，…，)．其中和分別為第個壓電片的機械夾角及其相角，和分別為相鄰分組對應(yīng)壓電片之間的機械夾角及激勵相位差．假定機械夾角與相角滿足(為整數(shù)，表示時空相位比)．假定壓電片對應(yīng)圓心角為，定子支撐為，其與徑向的夾角為．定子厚度、高度、剛度、中性圓半徑、截面積分別為、、、和()．

（a）定子

（b）坐標系

圖1?分組激振超聲定子及坐標系

Fig.1 Ultrasonic stator with grouped excitations and coordinates

1.2?數(shù)學(xué)建模

本文采用能量方法建模．在計算能量時，忽略壓電片影響，僅考慮定子動能、定子勢能和壓電片彎曲能量．定子上坐標為()質(zhì)點的切向位移[7]為

???(1)

定子勢能可寫為

定子動能為

???(3)

彈性支撐勢能為

???(4)

壓電片產(chǎn)生的彎矩[10]為

???(5)

其中

???(6)

彎矩做功為

???(7)

根據(jù)哈密頓原理有

???(8)

代入式(2)～式(4)和式(7)，整理后可得動力學(xué)方程．引入無量綱運算()、和，改寫方程，并將、和分別用、和代替，可得無量綱受迫振動方程為

???(9)

2?模型求解

采用一項伽遼金離散式(9)，可得

???(10)

???(11)

與式(11)對應(yīng)的自由振動方程為

???(12)

假設(shè)

???(13)

經(jīng)求解可得正則振型

???(14)

其中

引入正則變換

并將其代入式(11)可得

???(15)

假設(shè)

???(16)

將式(16)代入式(15)可得

???(17)

經(jīng)逆變換可得

???(18)

分析式(18)可知，若波數(shù)、諧波階次、時空相位及壓電片分組數(shù)滿足一定條件，則定子將產(chǎn)生不同的響應(yīng)．根據(jù)式(18)及不同的參數(shù)組合條件，可得如下3種典型響應(yīng).

???(19)

其中

顯然，此時激起正向行波響應(yīng)．

???(20)

其中

在該激振條件下，定子的響應(yīng)為反向行波．

???(21)

在該激振條件下，響應(yīng)為駐波．

3?仿真計算及驗證

本文揭示了分組對稱激勵方式與響應(yīng)之間的映射關(guān)系．本節(jié)以螺母型超聲電機定子[11]為例，對上述解析結(jié)論進行對比驗證，并給出仿真計算．表1為該電機的基本參數(shù)，其中徑厚比滿足薄環(huán)條件．圖2為3種典型激振方式．需要指出的是，盡管上述參數(shù)與文獻[11]可能不同，但不影響本文驗證．

表1?基本參數(shù)

Tab.1?Specifications

（a）方案A(＝2)??（b）方案B(＝3)?（c）方案C(＝3)

圖2?3種典型激振方案

Fig.2?Three typical excitation patterns

文獻[11]采用了駐波疊加方法分析了超聲定子的振動特性，給出了可生成行波的激振信號序列．本文采用嚴格的數(shù)學(xué)分析得到了定子的振動響應(yīng)．考慮超聲電機的容性效應(yīng)[12]，僅取第1階諧波激勵對圖2所示3種激振方案進行振動預(yù)測．經(jīng)分析可得分組數(shù)、組內(nèi)壓電片個數(shù)、組內(nèi)相鄰壓電片機械夾角及相位差之間的關(guān)系，如表2所述．

表2?參數(shù)組合

Tab.2?Parameter combinations

3個方案的參數(shù)組合分別為{，，，，}＝{2，4，1，2，2}、{3，4，1，1，2}和{3，4，1，1，2}．簡單分析可知，均有為整數(shù)，且不為整數(shù)，根據(jù)式(19)可知，3個方案均可激起正向行波．進一步分析可知，對于不同的激勵相位，響應(yīng)的差別僅體現(xiàn)于系數(shù)．因此本節(jié)僅用該值來衡量激振效果．經(jīng)計算，3個方案的系數(shù)取值分別為2、和．顯然，在相同波數(shù)下，方案C的激振效果最顯著．圖3為方案B和C對應(yīng)不同激振頻率的切向及徑向響應(yīng)，圖中尖峰位置對應(yīng)固有頻率．顯然，方案C的激振效果總體上優(yōu)于方案B，與上述解析預(yù)測一致．因此驗證了式(19)所得結(jié)論的正確性．

（a）切向響應(yīng)

（b）徑向響應(yīng)

圖3?方案B與C激振幅值比較

Fig.3?Comparison between amplitudes of cases B and C

圖4～圖6為激振頻率為110的切向及徑向時域響應(yīng)，為了清晰地顯示波動效果，本文給出了均勻分布于定子的16個位置的時域響應(yīng)．由于參數(shù)組合滿足第1種典型響應(yīng)的條件，3個方案均激起正向行波，其中圖4對應(yīng)傳統(tǒng)的時空相位，而圖5和圖6的時空相位均為90°，并且方案C的振幅最大．因此，圖4～圖6所示與式(19)所預(yù)測的響應(yīng)一致，證明了本文揭示的激振相位的正確性及其激振效果．

（a）切向響應(yīng)

（b）徑向響應(yīng)

圖4?方案A定子時域響應(yīng)(＝2，Dy＝p)

Fig.4?Stator time dormain reponse of case A(＝2，Dy＝p)

（a）切向響應(yīng)

（b）徑向響應(yīng)

圖5?方案B定子時域響應(yīng)(＝3，Dy＝p/4)

Fig.5?Stator time dormain reponse of case B(＝3，Dy＝p/4)

（a）切向響應(yīng)

（b）徑向響應(yīng)

圖6?方案C定子時域響應(yīng)(＝3，Dy＝3p/4)

Fig.6 Stator time dormain reponse of case C(＝3，Dy＝3p/4)

4?工程應(yīng)用

本文根據(jù)超聲電機的結(jié)構(gòu)及激振的對稱性，以環(huán)形振子為例，采用嚴格的解析方法得到了一般激振條件，同時探討了提高激振效率的激振方式．研究結(jié)果表明，如果工作波數(shù)、組內(nèi)壓電片個數(shù)及時空相位比等基本參數(shù)滿足為整數(shù)，即可激起期望的振動．具體而言，在工程實際中可適當(dāng)組合3個參數(shù)，即可激起前行波(為整數(shù))、后行波(為整數(shù))或駐波(均為整數(shù))．同時，還可以根據(jù)式(18)～式(20)中的系數(shù)～，進一步調(diào)整時空激振相位，以提高驅(qū)動效率．上述條件還表明，多相激振可生成期望的行/駐波，而且不限于傳統(tǒng)的90°時空相位．

5?結(jié)?論

(1) 采用能量方法建立了超聲定子的機電耦聯(lián)動力學(xué)模型，并采用解析方法對其進行求解．

(2) 揭示了壓電片分組對稱方式與振動響應(yīng)之間的映射關(guān)系，給出了行波的一般激振條件．

(3) 為了提高激振效率，給出了可激起較大振幅的時間相位及空間相位的最優(yōu)組合方式．

(4) 與文獻[11]對比證明了所得一般激振方法以及最優(yōu)時空相位激振條件的正確性和有效性．

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(責(zé)任編輯：孫立華)

Elastic Vibration Analysis of Rotary Ultrasonic Motors with Grouping Excitations

Wang Shiyu1,2，Wang Yaoyao1

(1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2．Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control，Tianjin 300072，China)

The vibration excitation of ultrasonic motor is examined in this paper．In order to improve the efficiency of the traditional motor，an elastic dynamic model of stator was developed by using energy method．The effect of grouping symmetric topology on vibration properties was analytically examined．The mapping relationships and conditions between the topology and traveling/standing wave were identified and the general conditions of traveling wave occurrence were obtained．The results imply that desired wave vibration can be aroused by using a suitable parameter combination satisfying the mapping relationships，where the parameters include the working wavenumber，number of piezoelectric patches and grouping pattern．Thus an optimized grouping pattern inducing remarkable amplitude is obtained．The results contribute to improve the excitation pattern and enhance the excitation efficiency of stator.

ultrasonic motor；grouping symmetry；excitation patterns

10.11784/tdxbz201505059

TK421

A

0493-2137(2016)11-1203-06

2015-05-14；

2015-10-16.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175370)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃重點資助項目(13JCZDJC34300).

王世宇（1974—??），男，博士，副教授.

王世宇，wangshiyu@tju.edu.cn.

2015-12-07.

http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20151207.0938.004.html.