錢 偉，蔣鵬沖，車 凱

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基于Wirtinger不等式的時變時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

錢 偉，蔣鵬沖，車 凱

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作 454000)

針對廣域電力系統(tǒng)中量測時滯對系統(tǒng)運行產(chǎn)生的嚴(yán)重影響，研究此類系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造新型的泛函。在導(dǎo)數(shù)解析過程中對積分項進行分段處理，避免了縮放性誤差，再采用Wirtinger不等式來減小系統(tǒng)保守性。同時考慮了系統(tǒng)狀態(tài)變量積分的影響，得到了保守性較低的保證時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)，并進一步推廣到電力系統(tǒng)受到擾動時的情形。通過典型二階系統(tǒng)、單機無窮大系統(tǒng)與四機十一節(jié)點系統(tǒng)進行仿真分析，驗證了該方法的有效性。

電力系統(tǒng)；時變時滯；線性矩陣不等式；時滯裕度；Wirtinger不等式；穩(wěn)定性判據(jù)

0 引言

隨著基于相量測量單元(PMU)的廣域測量技術(shù)在電力系統(tǒng)中的迅速發(fā)展，大規(guī)模的電力系統(tǒng)并網(wǎng)連接逐漸成為趨勢[1]。并網(wǎng)電力系統(tǒng)在實現(xiàn)電力的區(qū)域間輸送、推動經(jīng)濟發(fā)展的同時，由于其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、運行方式頻繁變換，使系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行問題更為突出[2-4]。

廣域電力系統(tǒng)中，在對系統(tǒng)進行全面監(jiān)測時需要進行實時的數(shù)據(jù)交換。特別是傳輸距離較遠(yuǎn)的系統(tǒng)在數(shù)據(jù)傳輸過程中產(chǎn)生不可忽略的通信時滯，其對電網(wǎng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此研究時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)和尋求有效的穩(wěn)定控制手段具有十分重要的現(xiàn)實意義[5-6]。

目前對于電力系統(tǒng)時滯穩(wěn)定性研究方法主要有頻域分析法與時域分析法[7]。頻域法雖然可以在理論上得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，但計算較為復(fù)雜，在多機復(fù)雜系統(tǒng)中求解速度較慢[8]，而且難以處理如文獻[9]考慮電力系統(tǒng)中的運行狀態(tài)及參數(shù)發(fā)生跳變時的問題。時域法在處理含有不確定項、參數(shù)變動和時變時滯系統(tǒng)具有優(yōu)勢，目前已成為電力系統(tǒng)時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主流方法[10-11]。其中L-K泛函法為一種的主要方法，但該方法本身具有一定的保守性，如何降低時滯穩(wěn)定判據(jù)的保守性成為近年來研究的焦點[12]。文獻[10]構(gòu)造一種L-K泛函，在泛函推導(dǎo)過程中引入一些必要的松散項來減少判據(jù)的保守性，并推廣到含有擾動的電力系統(tǒng)中。文獻[11]采用改進自由權(quán)矩陣方法進行穩(wěn)定性判據(jù)，結(jié)果降低保守性的同時由于自由變量的引入降低了計算效率。文獻[8]在文獻[11]的基礎(chǔ)上利用gevp方法計算出時滯穩(wěn)定上限。文獻[12]引入較少的自由變量提高了運算效率，卻忽略了時變時滯可微性及時滯導(dǎo)數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

基于以上分析，本文采用L-K泛函法進一步研究時滯影響下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，通過構(gòu)造新型泛函，考慮電力系統(tǒng)狀態(tài)變量積分的影響。并且在對泛函求導(dǎo)產(chǎn)生積分項的處理中，先進行分段處理，再運用Wirtinger不等式，降低了判據(jù)的保守性。并在此基礎(chǔ)上運用Schur補定理給出在不確定擾動下時滯電力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。最后，通過仿真分析驗證本文方法的有效性。

1 時滯電力系統(tǒng)模型

在電力系統(tǒng)模型中，對發(fā)電機的動態(tài)模型采用三階微分方程可表示為

其中：

式中各參數(shù)意義見文獻[13]。

為維護電力系統(tǒng)的可靠性，采用AVR勵磁控制時，由于時滯環(huán)節(jié)的存在其勵磁系統(tǒng)動態(tài)方程為

由式(1)、式(2)可以得到含時滯電力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

(3)

對于式(3)在平衡點線性化可以得到

在實際電力系統(tǒng)中，系統(tǒng)參數(shù)存在很多不確定擾動，故以上模型難以滿足實際的應(yīng)用需要。以下為含有參數(shù)擾動的電力系統(tǒng)模型：

下面是本文推導(dǎo)中運用的一些引理：

引理1[14]：對于任意的實對稱矩陣和標(biāo)量且及相量值函數(shù)，使下面積分有意義，則有下述矩陣不等式成立：

引理2[15]：存在任意正整數(shù)，變量，，矩陣，，對于

2 時滯電力系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

首先對于無擾動電力系統(tǒng)(4)構(gòu)造如下泛函。

(7)

(8)

在此先對式(9)、式(10)中非積分項進行化簡可得

(11)

其中：

(12)

式中：

因此，由式(11)與式(13)可以得到

注2：判據(jù)的推導(dǎo)過程中對于積分項的處理運用引理1 Wirtinger不等式進行變換，得出的穩(wěn)定性判據(jù)不僅與狀態(tài)變量和有關(guān)，還考慮了的影響，降低了判據(jù)的保守性。

注3：Wirtinger不等式與文獻[16]引用的Jensen不等式相比較為在不等式右側(cè)多一正定項，其放縮程度更小，減小了判據(jù)推導(dǎo)中因不等式的引用而產(chǎn)生的保守性。

其中：

對于含有擾動的電力系統(tǒng)模型(5)時，與無擾動的情況比較只需讓與分別用和替換可得

式中：

運用引理3 可得

其他參數(shù)與定理一等同。

3 算例分析

3.1 典型二階系統(tǒng)

為驗證本文方法在保守性上的優(yōu)越性，首先我們在典型二階系統(tǒng)進行比較分析，其中：

由于定理一為由線性矩陣不等式形式給出的，可通過線性矩陣不等式工具箱進行求解。如表1給出了不同大小下的運算結(jié)果，從中可以看出，本文方法所計算的最大時滯高于其他文獻。在=0時，文獻[17]的結(jié)果與本文方法一樣，但該方法僅對定時滯有效。

表1對于不同值所求的最大時滯值

Table 1 Maximal time delay for different m

3.2 單機無窮大系統(tǒng)

驗證本文方法在電力系統(tǒng)中的有效性，選用單機無窮大系統(tǒng)如圖1，具體參數(shù)見文獻[20]，其中矩陣參數(shù),具體數(shù)值如下：

BMI、TG、FBG、FCP 是 T2DM 并發(fā) NAFLD 的高危因素（OR＞1），HDL-C、AST、ALT、GGT、2 hCP 與 T2DM并發(fā)NAFLD無明確相關(guān)性（OR＜1）。見表2。

圖1單機無窮大系統(tǒng)

借助Matlab中的線性矩陣不等式(LMI)工具箱，可以得到系統(tǒng)在無擾動時的穩(wěn)定裕度為65.4 ms，如圖2 給出了當(dāng)時滯為66 ms時發(fā)電機功角與角速度變化情況。從圖中可以看出此時單機系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖2 h=66 ms時系統(tǒng)的仿真結(jié)果

對于電機勵磁系統(tǒng)存在擾動時，假設(shè)勵磁放大系數(shù)擾動為隨機的，則考慮擾動影響后的實際放大系數(shù)為

當(dāng)研究勵磁擾動對單機無窮大系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響時，矩陣的取值為

借助Matlab中的線性矩陣不等式(LMI)工具箱，求出不同勵磁擾動下的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并與文獻[10]與文獻[12]的結(jié)果進行比較分析。

從表2中的數(shù)據(jù)及圖3中可以得到，隨著勵磁放大系數(shù)中擾動項的增大，單機系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度有所減小。但與文獻[10]和文獻[12]相比，在相同擾動大小時，本文采用的方法所得到的時滯裕度更大，證明了本文采用的穩(wěn)定性判據(jù)的保守性較小。

表2不同值的時滯穩(wěn)定裕度

Table 2 Comparison of stability with different r

圖3 3種方法穩(wěn)定運行裕度

3.3 4機11節(jié)點算例分析

為進一步驗證本文方法的有效性，采用如圖4的4機11節(jié)點系統(tǒng)進行分析。

圖4 4機11節(jié)點系統(tǒng)

由表3可以看出，本文所采用的方法求得的最大時滯均大于其他文獻，即驗證了本文方法的有效性，也說明了該方法在多機系統(tǒng)中的可行性。

表3 不同方法求得的時滯上界

4 結(jié)論

針對時滯對電力系統(tǒng)的嚴(yán)重影響，本文研究了時變時滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?；贚yapunov理論，通過構(gòu)造新的L-K泛函，在泛函導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)過程中引用Wirtinger不等式，得到了保守性較小的時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。通過算例分析驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。然而采用Lyapunov理論在泛函構(gòu)造與導(dǎo)數(shù)解析過程中不可避免的存在一定的保守性，如何降低判據(jù)保守性的問題今后還需進一步研究。

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(編輯 周金梅)

Stability analysis for power system with time-delay based on Wirtinger inequality

QIAN Wei, JIANG Pengchong, CHE Kai

(School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China)

In view of the effect of time-delay to the system operation in the Wide Area Power System (WAPS), the stability of WAPS with time-delay is studied. Firstly, the new functional is constructed based on the Lyapunov stability theory. Secondly, this paper splits the integral into two integrals to avoid the scaling error and uses Wirtinger inequality to reduce conservative in the derivation, then considers the integration impact of the system state. The stability criterion with less conservative for time-delay power system is obtained and extended to the system with parameter changes. Finally, the effectiveness of the method is verified by simulation of the typical second-order system, the single machine system and two-area four-generator power system.

This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 61573130 and No. 61104119) and Program for Science & Technology Innovation Talents in Universities of Henan Province (No. 13HASTIT044).

power system; time-varying delay; linear matrix inequality (LMI); delay matrix; Wirtinger inequality; stability criterion

10.7667/PSPC152019

2015-11-18；

2016-01-09

錢 偉(1978-)，男，通信作者，博士，教授，研究方向為魯棒控制、智能控制等；E-mail:qwei@hpu.edu.cn

蔣鵬沖(1991-)，男，碩士研究生，主要從事電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制方面的研究；E-mail: jiangpengchongaaa@ 163.com

車 凱(1992-)，男，碩士研究生，主要從事信息處理與網(wǎng)絡(luò)控制的研究。E-mail: ck15239008609@163.com

國家自然科學(xué)基金項目(61573130，61104119)；河南省高校科技創(chuàng)新人才支持計劃(13HASTIT044)；河南省高校青年骨干教師資助計劃(2011GGJS-054)