李　力，張　銀

(1. 重慶清華中學(xué)，重慶　400054；2. 鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州　450002)

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“甲蟲爬環(huán)”問題的解析

李力1，張銀2

(1. 重慶清華中學(xué)，重慶400054；2. 鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州450002)

比較簡捷、直觀地運用質(zhì)點系動力學(xué)解析“甲蟲爬環(huán)”問題，進(jìn)一步解得甲蟲以及原來與甲蟲相接觸的圓環(huán)上“標(biāo)記點”的軌跡方程，并描繪出不同質(zhì)量比情況下二者的軌跡，標(biāo)記點的運動軌跡是圓內(nèi)旋輪線.

甲蟲爬環(huán)；標(biāo)記點；圓內(nèi)旋輪線

“甲蟲爬環(huán)”情景的諸問題常出現(xiàn)在理論力學(xué)課程里，可集中表述如下：一甲蟲質(zhì)量為m1，在一質(zhì)量為m2、半徑為r的圓環(huán)上爬行.環(huán)放在光滑水平桌面上，甲蟲和圓環(huán)所組成的系統(tǒng)初始是靜止的.問：1)甲蟲在圓環(huán)上爬行一周，環(huán)自身轉(zhuǎn)過多大角度？2)若甲蟲靜止出發(fā)以相對圓環(huán)的恒定速率u沿逆時針爬行，求環(huán)心和甲蟲分別相對于桌面的速度.3)如果把最初靜止時甲蟲與圓環(huán)的接觸點稱作“標(biāo)記點”A，而甲蟲以B點表示，試分別求出標(biāo)記點A和甲蟲B的運動軌跡.

問題1)和問題2)分別來自文獻(xiàn)[1]、[2]，但求解方法各不相同，問題3)則是一個有趣的延伸問題.本文首先用統(tǒng)一的方法求解問題1)、2)，較文獻(xiàn)[1]、[2]直觀簡捷，并進(jìn)一步用復(fù)數(shù)方法研究標(biāo)記點與甲蟲各自的軌跡，用計算機描繪質(zhì)量比不同情況下二者運動的軌跡圖，發(fā)現(xiàn)了標(biāo)記點的運動軌跡是圓內(nèi)旋輪線.

1　轉(zhuǎn)動角度的計算

因系統(tǒng)所受外力為零，則系統(tǒng)動量、角動量均守恒.又系統(tǒng)初始時靜止，可知質(zhì)心C恒不動.最初環(huán)心在O1點，甲蟲和標(biāo)記點在A1點，以C為極點，O1A1為極軸正方向，如圖1所示，有

圖1

(1)

又甲蟲環(huán)心之間距離恒為r，且質(zhì)心C不動，三者恒在一條直線上，從而甲蟲B和環(huán)心O都繞C做圓周運動，半徑分別為r1、r2.設(shè)甲蟲繞C點逆時針轉(zhuǎn)過α角，同時圓環(huán)順時針轉(zhuǎn)過β角，則由系統(tǒng)角動量守恒得

(2)

上式括號內(nèi)是圓環(huán)對C點的角動量，它等于圓環(huán)質(zhì)心對C的角動量加上圓環(huán)相對環(huán)心O的角動量[1].將式(1)代入式(2)后解得

(3)

(4)

當(dāng)甲蟲在圓環(huán)上爬行一周時，有α+β=2π，解得

(5)

如果m1=m2即λ=1，則α=4π/3,β=2π/3，與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果一致.

2　絕對速度的求解

由問題 2)的題意得

(6)

將式(6)與式(3)聯(lián)立解得

(7)

故環(huán)心、甲蟲相對桌面的速度分別為

(8)

且三速度u、V、v平行，這與文獻(xiàn)[2]的結(jié)果一致，但這里的求解過程更加直觀簡捷.

3　運動軌跡的解算

注意到C為坐標(biāo)原點，最初靜止時O1A1為極軸正方向，易知甲蟲B的軌跡為圓，可表示為位置復(fù)數(shù)：

(9)

(10)

從圖1和式(10)可以得到手工描繪A點軌跡的方法：在甲蟲的圓周上任找一點B，對應(yīng)的夾角為α(逆時針)，反向延長CB至O，使CO=r1=r/(1+λ)，然后根據(jù)OA=r且與極軸正方向順時針夾角β=α/(1+λ)，得到A點位置.改變α角，便畫出了A的軌跡.

按照式(9)、式(10)，設(shè)定r=2,α∈[0,+∞)，用計算機軟件繪出質(zhì)量比λ=1、2、3、5、7.5、1/2、1/4、3/4情況下二者的運動軌跡，如圖2—圖9所示,其中圓周是甲蟲B的軌跡.

圖2　λ=1

圖3　λ=2

圖4　λ=3

圖5　λ=5

圖

圖

圖

圖

甲蟲在圓環(huán)上爬行一周，有α+β=2π，這意味著甲蟲和標(biāo)記點再度相遇.根據(jù)式(5)知圓環(huán)標(biāo)記點A旋轉(zhuǎn)的角度β=2π/(2+λ)，這就是每次相遇A需要轉(zhuǎn)過的角度.λ越大，β越小，這是因為環(huán)越重則其運動幅度越弱的緣故.初始時甲蟲和標(biāo)記點都位于圖中橫坐標(biāo)軸的相切點，然后甲蟲逆時針運動，標(biāo)記點順時針方向運動，沿順時針方向二者在兩條軌跡的相切點處逐次相遇.

從這八張圖片來看，標(biāo)記點A的運動軌跡似乎不是普通的平面曲線.實際上，A的軌跡正是“圓內(nèi)旋輪線(內(nèi)擺線)”——半徑為r1的動圓在半徑為(r+r1)的定圓內(nèi)作純滾動時，動圓周上一點的軌跡.為證明此結(jié)論，先把通常直角坐標(biāo)中圓內(nèi)旋輪線的參數(shù)方程[4]化為：

b[(μ-1)cost+cos(μ-1)t]

(11)

b[(μ-1)sint-sin(μ-1)t]

其中a為定圓半徑，b為動圓半徑，t是參變數(shù)，由μ=a/b決定曲線形狀.然后，將前面A點的圖像沿逆時針旋轉(zhuǎn)角度π/(λ+2)，相當(dāng)于對ZA作復(fù)數(shù)乘法：

不難得到旋轉(zhuǎn)后的A點運動軌跡在直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為：

(12)

[1]梁昆淼.力學(xué)(下冊)理論力學(xué)[M].鞠國興,施毅,修訂.4版.北京:高等教育出版社,2012:28-29,24,25.

[2]李書民.經(jīng)典力學(xué)概論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2007: 38-39.

[3]Tristan Needham.復(fù)分析:可視化方法[M].齊民友,譯.北京:人民郵電出版社,2012:17-19.

[4]數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京:人民教育出版社,1979:396,397.

Analysis of beetle and ring problem

LI Li1，ZHANG Yin2

(1. ChongqingQinghua High School，Chongqing 400054, China；2. College of Mathematics and Information Science, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou，Henan 450002, China)

The “beetle and ring problem” is analyzed tersely and intuitively by mass-point set mechanics. The equations of beetle and marked point’s track are solved. Then the movement trajectories with different quality ratio are plotted and trajectory of latter is hypocycloid.

beetle and ring problem；marked point；hypocycloid

2015-10-18；

2015-11-22

李力(1972—)，男，重慶人，重慶清華中學(xué)高級教師、特級教師.

張銀，E-mail:agerchang@hotmail.com

O313.2

A

1000- 0712(2016)08- 0022- 03