陳冰瑾，劉全慧

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所，湖南 長(zhǎng)沙　410082)

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含時(shí)微擾論中的一個(gè)基本定理及其在分析非周期含時(shí)項(xiàng)的作用

陳冰瑾，劉全慧

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所，湖南 長(zhǎng)沙410082)

文獻(xiàn)常常在一般意義下認(rèn)為含時(shí)微擾論僅僅在短時(shí)間內(nèi)成立，其實(shí)是不對(duì)的，其錯(cuò)誤在于把一些非周期時(shí)間項(xiàng)直接計(jì)算對(duì)概率的貢獻(xiàn)所致.本文首先介紹了含時(shí)微擾論中的一個(gè)基本定理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)很多非周期含時(shí)項(xiàng)，其實(shí)是相位因子的微擾展開(kāi)的結(jié)果.

量子力學(xué)；含時(shí)微擾論；相因子

含時(shí)微擾論中有如下基本問(wèn)題：設(shè)系統(tǒng)在初始時(shí)刻處在原來(lái)未擾動(dòng)系統(tǒng)某一個(gè)能量本征態(tài)上，初始時(shí)引入微擾，問(wèn)這個(gè)系統(tǒng)處在這個(gè)本征態(tài)上狀態(tài)的改變.

本文從基本而簡(jiǎn)單的角度討論這個(gè)問(wèn)題.發(fā)現(xiàn)對(duì)于一大類(lèi)系統(tǒng)，時(shí)間的影響本質(zhì)來(lái)之相位，“擾動(dòng)的效果依賴(lài)于(微擾)強(qiáng)度和延續(xù)時(shí)間的乘積”之類(lèi)的觀點(diǎn)來(lái)自于我們?cè)诮铺幚聿划?dāng)導(dǎo)致的錯(cuò)覺(jué).

接下來(lái)的第1節(jié)討論含時(shí)微擾論的一個(gè)基本定理，第2節(jié)利用該定理討論了一個(gè)典型的二能級(jí)系統(tǒng)，第3節(jié)討論和結(jié)論.

1　含時(shí)微擾論的一個(gè)基本定理

考慮含有小擾動(dòng)項(xiàng)的哈密頓量H=H0+H′(t)，其中H0不含時(shí)間，而含時(shí)部分H′(t)為小量.零級(jí)近似哈密頓量H0可以嚴(yán)格處理，其本征函數(shù)集構(gòu)成Hilbert空間的一組完備基：

H0φm=Emφm

(1)

含時(shí)薛定諤方程：

(2)

的解ψ(t)可以用H0給出的完備集{φm}展開(kāi)：

(3)

展開(kāi)系數(shù)cm(t)其實(shí)就是在H0表象中的概率幅.

薛定諤方程(2)可以改寫(xiě)為另外一種形式：

(4)

其中

(5)

方程(4)往往無(wú)法嚴(yán)格求解，需要求助于微擾近似方法.微擾近似的含義是cn(t)可以逐級(jí)展開(kāi)：

(6)

(7)

這個(gè)方程的零級(jí)解即初始條件ψ(0)：

(8)

需要處理的一個(gè)典型問(wèn)題是，初始時(shí)刻系統(tǒng)處于H0的某個(gè)定態(tài)，例如

(9)

然后再看t≥0加入微擾后系統(tǒng)躍遷到其他態(tài)的概率幅cm(t)(m≠n).準(zhǔn)確到一級(jí)近似，有

(10)

此式又稱(chēng)為躍遷概率幅，它表示從初態(tài)φn到末態(tài)φm(m≠n)的概率幅的主要部分.

對(duì)這一典型問(wèn)題，有如下基本定理.

定理：t時(shí)刻系統(tǒng)處于初始能量本征態(tài)φn上概率幅相位因子，其主要貢獻(xiàn)來(lái)自第1、2級(jí)修正.

證明：

注意到態(tài)矢量的歸一化條件：

1=〈ψ(t)|ψ(t)〉=

(11)

由于式(10)中的矩陣元〈n|H′|m〉中的非對(duì)角部分不可能全都為零，即cm(t) (m≠n)不可能全都為零.于是有

(12)

即

(13)

注意這個(gè)結(jié)果可以從兩個(gè)角度來(lái)分析.第一，問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不是展開(kāi)到二級(jí)，而是說(shuō)cn(t)的主要部分一定來(lái)自二級(jí)修正.第二，從展開(kāi)到二級(jí)的角度看，相位必須也要展開(kāi)到二級(jí)，也就是

(14)

證畢.

下面給出兩個(gè)推論.

推論一：t時(shí)刻系統(tǒng)處于初始定態(tài)的一級(jí)修正只可能是一個(gè)相位因子，其明顯形式是

(15)

其中

(16)

推論二：一般而言，如果在全部時(shí)間范圍內(nèi)總是滿(mǎn)足

(17)

則|cn(t)|在全部時(shí)間范圍內(nèi)都不會(huì)發(fā)散.

這個(gè)推論看似平庸，其實(shí)極不平凡.關(guān)鍵是，如果全部時(shí)間范圍內(nèi)，式(17)成立，則cn(t)中的非周期貢獻(xiàn)要么本質(zhì)來(lái)自周期性要么是來(lái)自相因子.可參考后面[式(24)]對(duì)含時(shí)項(xiàng)ωt的處理.

(18)

也就是

(19)

2　對(duì)含時(shí)微擾論的一個(gè)典型問(wèn)題的討論

國(guó)內(nèi)的量子力學(xué)教科書(shū)常編有如下一道習(xí)題或者其變形[4-8]，這道題目也經(jīng)常出現(xiàn)在高校和科研院的碩博研究生的《量子力學(xué)》考題中.

下面利用含時(shí)微擾論的標(biāo)準(zhǔn)理論計(jì)算試求t時(shí)刻系統(tǒng)依然處在基態(tài)上的概率，準(zhǔn)確到第二級(jí)近似.

零級(jí)近似哈密頓量H0的本征函數(shù)可以記為

(20)

它張開(kāi)了一個(gè)完備的Hilbert空間，在這個(gè)空間中，可以在任意精度上，求得這個(gè)問(wèn)題的解.ω≡(E2-E1)/h.

利用微擾法，很容易得一級(jí)近似的解為

(21)

所以，系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的概率(準(zhǔn)確到一級(jí)近似)是

(22)

從式(19)可知，c1(t)不會(huì)出現(xiàn)和時(shí)間的整數(shù)冪增長(zhǎng)的項(xiàng).可是，微擾論的一般理論給出的c1(t)的二級(jí)近似是

(23)

最后得到c1(t)(準(zhǔn)確到二級(jí)近似)

(24)

(25)

和式(19)相比較，完全符合基本定理.

下面和嚴(yán)格結(jié)果比較.

嚴(yán)格結(jié)果是[4-8]

(26)

(27)

由于只對(duì)處在基態(tài)上的二級(jí)近似感興趣，故需要對(duì)Ω展開(kāi)到二級(jí)近似：

(28)

(29)

(30)

得二級(jí)近似，

(31)

(32)

3　討論和結(jié)論

設(shè)一個(gè)系統(tǒng)沒(méi)有簡(jiǎn)并，在初始時(shí)刻處在原來(lái)未擾動(dòng)系統(tǒng)某一個(gè)能量本征態(tài)上，初始時(shí)引入微擾.如果微擾不大，系統(tǒng)在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)躍遷到其他態(tài)的概率還是周期性的.系統(tǒng)會(huì)處在原來(lái)的能量本征態(tài)，和初始態(tài)的主要差別應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在相位因子上.

為了證明這一點(diǎn)，本文首先證明了一個(gè)定理，然后發(fā)現(xiàn)了文獻(xiàn)中普遍忽視了非周期時(shí)間項(xiàng)本質(zhì)來(lái)自相位，“擾動(dòng)的效果依賴(lài)于(微擾)強(qiáng)度和延續(xù)時(shí)間的乘積”之類(lèi)的觀點(diǎn)的確來(lái)自于我們?cè)诮铺幚韺?dǎo)致的錯(cuò)覺(jué).

注意到這個(gè)含時(shí)因子exp(i(γ/(hω)2ωt)其實(shí)導(dǎo)致了對(duì)能級(jí)的改變即重整化.這個(gè)重整化過(guò)程的一般性方法應(yīng)該是微擾論中的Poincaré-Lindstedt方法.[9]在今后的研究中，我們將更深入研究這個(gè)問(wèn)題.

有文獻(xiàn)注意到含時(shí)相因子的一級(jí)修正，但是幾乎沒(méi)有文獻(xiàn)注意到相因子中的二級(jí)修正.也有文獻(xiàn)[10]分析了簡(jiǎn)并系統(tǒng)中，非周期時(shí)間項(xiàng)對(duì)概率的非周期貢獻(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題不在本文的主題之內(nèi).

還有一些問(wèn)題值得進(jìn)一步研究，這些問(wèn)題包括：?jiǎn)栴}更一般的討論，周期性擾動(dòng)，非簡(jiǎn)并系統(tǒng)等等.

[1]BallentineLE.QuantumMechanicsAModernDevelopment[M].Singapore：WorldScientific, 1998:354.

[2]Cohen-TannoudjiC,DiuBLaloeF.QuantumMechanics(Volume2)[M]，NewYork：JohnWiley，1977:1290.

[3]張永德.量子力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2006：336.

[4]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷Ⅰ) [M].5版.北京：科學(xué)出版社，2013：410, 習(xí)題12.4.

[5]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程[M].3版.北京：科學(xué)出版社，2014：226, 習(xí)題11.3.

[6]錢(qián)伯初.量子力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：295, 習(xí)題11.3.

[7]錢(qián)伯初，曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析 [M].3版.北京：科學(xué)出版社 2008：382, 習(xí)題13.4.

[8]張鵬飛，阮圖南，朱棟培，等.量子力學(xué)習(xí)題指導(dǎo)[M].中國(guó)科技大學(xué)出版社，2009：235，習(xí)題11.3.

[9]https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Lindstedt_method

[10]SakuraiJJ,NapolitanoJ.ModernQuantumMechanics(SecondEdition) [M].NewYork：AddisonWesley, 2011:360.

Afundamentaltheoremintime-dependentquantumtheoryanditsapplicationtoanalysisofnon-periodicalterms

CHENBing-jin，LIUQuan-hui

(InstituteofTheoreticalPhysics,SchoolofPhysicsandMicroelectronicScience,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

Textbooksonquantummechanicsusuallyassertthatperturbationtheoryholdstrueonlyforsufficientshorttime.Thismistakeresultsfromdirectcontributionofthenon-periodicaltimetermintoprobabilities.Wefirstintroduceafundamentaltheoreminthetime-dependentquantumtheory,thenpointoutthatthenon-periodicaltimetermsareinfactperturbationexpansionsoftime-dependentphasefactor.

quantummechanics;time-dependentquantumtheory;phasefactor

2015-11-16；

2016-01-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助課題(11175063)；湖南大學(xué)教改基金資助課題

陳冰瑾(1992—)，女，山東青島人，電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)士，湖南大學(xué)理論物理研究所研究助理.

O413.1

A

1000- 0712(2016)08- 0014- 04