吳杰，黃冬冬，陳傳鐘

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）

動(dòng)態(tài)資本注入的最優(yōu)投資策略

吳杰，黃冬冬，陳傳鐘*

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）

企業(yè)在維持原有經(jīng)營(yíng)過(guò)程中，將資金投資到股票市場(chǎng).以盈余用作投資資本，進(jìn)行多階段動(dòng)態(tài)投資.盈余過(guò)程由布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)，效用函數(shù)刻畫(huà)企業(yè)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的態(tài)度.在效用函數(shù)最大的前提下，得到了各投資時(shí)刻的最優(yōu)投資組合.該研究為企業(yè)提供了一種切實(shí)有效的投資策略.

動(dòng)態(tài)投資；布朗運(yùn)動(dòng)；效用函數(shù)；最優(yōu)投資組合

投資組合是現(xiàn)代金融的一個(gè)重要研究方向，投資組合的選擇就是把所有的財(cái)富分配到各資產(chǎn)，用于分散風(fēng)險(xiǎn)、保證收益.Markowitz的均值方差理論提供了單時(shí)期投資組合選擇的基本依據(jù).Merton和Markowitz推導(dǎo)出了單時(shí)期投資組合選擇的解析表達(dá)式.早期對(duì)投資組合的研究主要局限在靜態(tài)投資.1968年，Mossion[1]首次提出多階段投資組合的數(shù)學(xué)模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法將單時(shí)期推廣到多時(shí)期的投資組合模型，但未能找到解析解的表達(dá)方式.此后有許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，Li等[2]用嵌入的方法得出了在自融資前提條件下多階段動(dòng)態(tài)投資的相關(guān)結(jié)果.在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，投資者往往會(huì)根據(jù)實(shí)際的情況，增加投資資金，自融資條件則顯得有些局限性.對(duì)于企業(yè)而言，通過(guò)原有的經(jīng)營(yíng)過(guò)程會(huì)帶來(lái)收益，然而企業(yè)若想獲得更多的收益，則往往需要通過(guò)將部分資金用于投資.此過(guò)程，便需要將資金投資到市場(chǎng)中去.顯然，投資到股票市場(chǎng)是具有一定的風(fēng)險(xiǎn)，在企業(yè)的收益與風(fēng)險(xiǎn)之間需要找到一種平衡，找到一種適合企業(yè)實(shí)際情況的投資組合.基于此，本文主要研究企業(yè)在維持原有經(jīng)營(yíng)過(guò)程中，將基金用于投資到股票市場(chǎng).為了不影響企業(yè)經(jīng)營(yíng)過(guò)程，考慮這樣一種策略：在觀察時(shí)刻，將超過(guò)邊界b的盈余用作投資資本，進(jìn)行多階段動(dòng)態(tài)投資.其特點(diǎn)是在每個(gè)投資時(shí)刻都可能有動(dòng)態(tài)變化的新投資資金加入，資金數(shù)量由企業(yè)原本運(yùn)營(yíng)的過(guò)程所決定，動(dòng)態(tài)投資組合更貼近現(xiàn)實(shí).此策略一方面保證了企業(yè)的正常運(yùn)營(yíng)，另一方面為企業(yè)帶來(lái)了收益.

1　模型

本文考慮公司的盈余過(guò)程為如下的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程刻畫(huà)，其中μ>0，σ>0

記Ti，i=1，2，…，n為觀察時(shí)刻，為一族獨(dú)立且服從均值為λ的指數(shù)分布.對(duì) χi求期望有如下表達(dá)式，

其中Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，當(dāng)b確定時(shí)，可通過(guò)查詢正態(tài)分布表或者數(shù)值計(jì)算去得到相應(yīng)的值.由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)得到的期望有

現(xiàn)考慮這樣一種投資策略，在觀察時(shí)刻Ti，若公司盈余超過(guò)邊界b，則將全部超額收益作為注入投資資本.假設(shè)市場(chǎng)上具有m+1只風(fēng)險(xiǎn)證券，記為證券1，證券2，…，證券，公司可以將資金投資到任何一只風(fēng)險(xiǎn)證券上，且每次交易沒(méi)有交易費(fèi).現(xiàn)記為第j只證券在時(shí)刻的收益率，為時(shí)刻投資到證券j上的資金，Zi為時(shí)刻Ti企業(yè)通過(guò)所擁有的總的財(cái)富，則為時(shí)刻投資到證券m+1上的資金.其中各證券在不同時(shí)刻收益率的期望均為已知.記，則公司通過(guò)多階段動(dòng)態(tài)投資在時(shí)刻所具有的財(cái)富為

下文中所有均需滿足等式（5）.

2　最優(yōu)投資組合

對(duì)于問(wèn)題P1不能直接求解，現(xiàn)引入如下問(wèn)題

其中γ>0，問(wèn)題P1和問(wèn)題P2的等價(jià)性由定理1和2說(shuō)明.記

A1={Φ|Φ為滿足P1的投資組合}；A2={Φ|Φ為滿足P2的投資組合}

定理1對(duì)任意Φ*∈A，存在γ>0使得Φ∈A2.

證明對(duì)效用函數(shù)U，分別對(duì)和求導(dǎo)可得

故效用函數(shù)是關(guān)于D(Zn)單減和E(Zn)單增的函數(shù)，則問(wèn)題的最優(yōu)解一定在空間{E(Zn),D(Zn)}中的均值方差有效前沿中，又在空間{E(Zn),D(Zn)}的每一個(gè)有效前沿都存在支撐，故每個(gè)有效解都可以由問(wèn)題P2的解生成，定理得證.

證明由效用函數(shù)的表達(dá)式可知，對(duì)于問(wèn)題P2，其有效解含參數(shù)γ，即可由形式表示，由定理1可知A?∪λ>0A1，故等價(jià)為如下形式

對(duì)最優(yōu)的γ*有

已知Φ*∈A1，則對(duì)γ*有

故由定理1和定理2可知，對(duì)問(wèn)題P1的求解可轉(zhuǎn)化為對(duì)問(wèn)題P2的求解.然而對(duì)于問(wèn)題的解也是不能直接求得的，需轉(zhuǎn)化為問(wèn)題P3的求解，問(wèn)題P3有如下形式

對(duì)于最優(yōu)的投資組合πn-1有

將等式（9）反代回（8）可得

通過(guò)迭代得到時(shí)刻Tn投資所擁有財(cái)富值的期望和財(cái)富值平方的期望：

前已述及問(wèn)題P1和問(wèn)題P3最優(yōu)投資組合的關(guān)系，也即當(dāng)問(wèn)題P3的最優(yōu)投資組合中的γ和v滿足如下等式時(shí)，為問(wèn)題P1的各時(shí)間段的最優(yōu)投資組合.

將所求得的EZn以及E帶入上式，得到

將等式（1）～（3）和等式（12）一并帶入等式（10），則得到問(wèn)題P1在各時(shí)刻的投資組合.

3　結(jié)論

通過(guò)以上證明求解，得到了在滿足效用函數(shù)U為最大時(shí)，企業(yè)在各時(shí)刻的最優(yōu)投資組合，平衡了企業(yè)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的接受能力和對(duì)收益的需求.本研究解決了企業(yè)在維持正常運(yùn)營(yíng)的過(guò)程中，如何在自身所能承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)前提下，去追求更多利益的問(wèn)題，為企業(yè)提供了一種切實(shí)有效的投資策略.

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責(zé)任編輯：劉紅

The Optimal Investment Strategy with Dynamic Capital

WU Jie，HUANG Dongdong，CHEN Chuanzhong*
（School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

Enterprises in maintaining normal operation invest into the stock market.The surpluses are used as investment capital by multi-stage dynamic investment.The surplus process of the enterprise is depicted by a Brownian motion and the attitude towards risk is depicted by utility function.The optimal investment portfolio at each investment time is obtained un?der the premise that the given utility function is maximum.The research provides a practical and effective investment strate?gy for enterprises.

dynamic investment；Brownian motion；utility function；optimal investment portfolio

O 224

A

1674-4942（2016）01-0017-05

2015-11-21

海南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目（Hsyx2015-39）