侯沐朗

(北京市第四中學(xué)，北京　100120)

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【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

模塊化多級(jí)水火箭設(shè)計(jì)與模擬

侯沐朗

(北京市第四中學(xué)，北京100120)

研究了利用現(xiàn)有容器實(shí)現(xiàn)多級(jí)水火箭的設(shè)計(jì)方案，分析了捆綁式二級(jí)水火箭的設(shè)計(jì)思路。第一級(jí)由三個(gè)耐壓儲(chǔ)水罐組成，第二級(jí)有一個(gè)耐壓儲(chǔ)水罐；重點(diǎn)分析了火箭噴水推進(jìn)階段的數(shù)學(xué)物理模型，空氣阻力對(duì)系統(tǒng)的影響，最優(yōu)儲(chǔ)水量，多罐壓力平衡等關(guān)鍵問(wèn)題。利用計(jì)算機(jī)對(duì)火箭整個(gè)飛行過(guò)程進(jìn)行了理論計(jì)算和描述，為在簡(jiǎn)陋條件下自行研制各種結(jié)構(gòu)的水火箭提供了思路。

多級(jí)水火箭；多罐壓力平衡；火箭分離；最優(yōu)水量

水火箭結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，原材料普通且廉價(jià)，并且在制作過(guò)程中能夠應(yīng)用現(xiàn)代火箭的一些基本理論知識(shí)，宜于廣大中小學(xué)生實(shí)踐制作。簡(jiǎn)單的水火箭結(jié)構(gòu)以單級(jí)為主，上升高度受到了水量、容積等多方面限制。

捆綁式多級(jí)水火箭的第一級(jí)由三個(gè)儲(chǔ)水罐組成，第二級(jí)為單獨(dú)的儲(chǔ)水罐。本文分析了水火箭飛行過(guò)程數(shù)學(xué)模型，以及一定容積的最優(yōu)儲(chǔ)水量，提出了一種簡(jiǎn)單易行的多罐壓力平衡解決方案。文章用具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，優(yōu)化了整體設(shè)計(jì)，制作了實(shí)體水火箭并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

1　多級(jí)水火箭結(jié)構(gòu)

多級(jí)水火箭的第一級(jí)選取三個(gè)容量為2.13L的廢舊飲料瓶。其材質(zhì)為PC(聚碳酸酯)，瓶壁厚度為0.22mm，實(shí)測(cè)耐壓強(qiáng)度約為9個(gè)大氣壓。三個(gè)一級(jí)儲(chǔ)水容器通過(guò)橡膠繃帶捆綁固定。為了防止火箭飛行過(guò)程中由于三個(gè)儲(chǔ)水容器的推力不一致導(dǎo)致飛行姿態(tài)紊亂，要保證水火箭第一級(jí)三個(gè)儲(chǔ)水容器內(nèi)壓一致。設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單的連通器，如圖1所示。連通器的三個(gè)端口分別置于三個(gè)容器的頂部，與各個(gè)瓶?jī)?nèi)空氣容腔相連通，保證其壓力平衡。并且，由連通器的總端口負(fù)責(zé)火箭初始階段的加壓操作。

第二級(jí)水火箭的結(jié)構(gòu)與材料與第一級(jí)水火箭完全一致，這樣做的目的是減少工作量，使水火箭模塊化。將第二級(jí)火箭的結(jié)構(gòu)放置在第一級(jí)上部，由分離裝置固定，分離裝置由電磁繼電器等元器件組成。多級(jí)水火箭的整體結(jié)構(gòu)如圖2所示。在第二級(jí)火箭的結(jié)構(gòu)的瓶臂上，固定著水火箭控制系統(tǒng)，系統(tǒng)電路示意圖見(jiàn)圖3。電路的核心由AT89C52單片機(jī)構(gòu)成，板上集成了多種傳感器負(fù)責(zé)采集實(shí)際飛行過(guò)程中的物理參數(shù)，如：氣壓傳感器(型號(hào)：BMP085)、加速度傳感器(型號(hào)：ADXL345)和磁場(chǎng)傳感器(型號(hào)：HMC5883L)?？刂齐娐愤€負(fù)責(zé)水火箭點(diǎn)火以及水火箭分離的操作，是整個(gè)水火箭的核心部件。

2　基本理論與實(shí)驗(yàn)

2.1推進(jìn)階段

水火箭的唯一動(dòng)力是依靠瓶?jī)?nèi)高壓推射出水，根據(jù)牛頓第三定律，推射出的水反作用于水火箭，從而推動(dòng)水火箭上升。由于水火箭儲(chǔ)水瓶?jī)?nèi)壓很高(7～9大氣壓)，而且由于結(jié)構(gòu)原因，存儲(chǔ)的水量不多，每個(gè)儲(chǔ)水瓶一般不超過(guò)2L，因此水會(huì)在瞬間噴射完畢。

根據(jù)tsiolkovsky火箭方程[1]，對(duì)于單個(gè)火箭儲(chǔ)水容器有：

(1)

其中，F(xiàn)T為噴水過(guò)程中的推力，ve為水噴射的瞬時(shí)速度，m為噴射出水的質(zhì)量，t為時(shí)間。物體的質(zhì)量與其密度與體積有關(guān)，因此：

(2)

ρw為液體質(zhì)量，V為液體體積，因此可以得到：

(3)

AN為噴嘴的橫截面積。根據(jù)式(3)，將水的質(zhì)量變化率轉(zhuǎn)換成了橫截面與噴速的乘積形式。

水火箭噴嘴的水流速可以用伯努利方程描述[2-3]。伯努利方程假定水不能壓縮并且無(wú)粘性。根據(jù)伯努利方程有：

(4)

其中，P為儲(chǔ)水容器的瞬時(shí)內(nèi)壓(Pa)，Patm為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(Pa)[4]，vi為容器內(nèi)水相對(duì)與火箭的速度(默認(rèn)為0)(m/s)，g為重力加速度(N/kg)，y為水在容器內(nèi)的高度(m)。通過(guò)伯努利方程可以求出水噴速與容器內(nèi)壓的瞬時(shí)關(guān)系：

(5)

水火箭在推進(jìn)階段水在不斷的流失，因此空氣的體積也會(huì)隨著水的減少而不斷的增加?？諝獾捏w積增大必然導(dǎo)致瓶?jī)?nèi)氣壓變化，這個(gè)變化關(guān)系可以用理想氣體恒溫膨脹方程[5]來(lái)表示。應(yīng)用此公式的前提是氣體的溫度不變。氣體體積與壓強(qiáng)的關(guān)系可以用如下公式表示：

(6)

其中，P0為初始瓶?jī)?nèi)氣壓(Pa)，V0為初始?xì)怏w體積(m3)，ΔV為體積的變化量，r為絕熱系數(shù)[6](常數(shù))，空氣的絕熱系數(shù)為1.4。

整體上，火箭所受的矢量力為：

(7)

(8)

mr是火箭的質(zhì)量(kg)，mw是火箭現(xiàn)有的水質(zhì)量(kg)，F(xiàn)為火箭受力之和(N)，F(xiàn)g為火箭所受重力(N)，重力貫穿整個(gè)飛行過(guò)程。

由于整個(gè)推進(jìn)階段各個(gè)關(guān)鍵量如水量、瓶?jī)?nèi)壓、水的噴射速度都在不斷變化，因此根據(jù)公式得到的結(jié)果誤差較大。在計(jì)算推進(jìn)階段的各項(xiàng)指標(biāo)時(shí)，先需要確定火箭的基本參數(shù)，如：液體密度、液體重量、瓶?jī)?nèi)壓、瓶質(zhì)量、噴嘴直徑等參數(shù)。然后根據(jù)公式上述公式，求出初始噴速、初始推力等初始量，最后根據(jù)上述初始量一步一步模擬整個(gè)推進(jìn)過(guò)程。

2.2慣性階段

推進(jìn)階段完成后，由于此時(shí)只剩下部分氣體的推進(jìn)動(dòng)力，氣體動(dòng)力較小。為了計(jì)算方便，在此可將其忽略。此時(shí)火箭所受的外力只有重力與空氣阻力[7-8]，重力為：

(9)

空氣阻力為：

(10)

空氣阻力的大小與物體速度的平方成正比。Cp為空氣阻力系數(shù)(常數(shù))，與物體外形相關(guān)，文中取0.35[9]；ρa(bǔ)為空氣密度(kg/m3)；Af為迎風(fēng)面積(m2)。

根據(jù)簡(jiǎn)單的力學(xué)公式就能求得飛行過(guò)程中的加速度a與飛行速度vn：

(11)

(12)

根據(jù)上述飛行過(guò)程中的加速度a與飛行速度vn兩個(gè)值與時(shí)間就可以確定飛行高度H。

由于此時(shí)火箭的上升完全是憑借推進(jìn)階段結(jié)束后的速度上升，其上升的最高點(diǎn)即上升速度為零的時(shí)刻。第一級(jí)水火箭體之高度與時(shí)間的曲線呈開(kāi)口向下的拋物線狀。通常情況下，分離在水火箭第一級(jí)產(chǎn)生的初始速度耗盡時(shí)刻，也就是第一級(jí)水火箭達(dá)到的最高處。根據(jù)實(shí)際操作情況，分離發(fā)生在第一級(jí)水火箭推進(jìn)階段完畢的一秒鐘以后。之所以選擇這個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，一方面是此時(shí)空氣阻力下降，水火箭的上升速度也下降；另一方面是由于第一級(jí)水火箭儲(chǔ)水容器中剩余的壓縮空氣仍有壓力，能起到助推作用。

第一級(jí)與第二級(jí)水火箭分離后，二級(jí)水火箭的飛行過(guò)程也分為推進(jìn)階段與慣性階段，只是第二級(jí)水火箭的初速度與飛行高度均不為零，分析過(guò)程與對(duì)第一級(jí)水火箭的分析完全一致。

圖1　壓力均衡連通器

1.火箭控制系統(tǒng); 2.一、二級(jí)火箭分離器; 3.二級(jí)火箭發(fā)射裝置; 4.一級(jí)火箭壓力平衡及加壓裝置; 5.水; 6.一級(jí)火箭噴口; 7．一級(jí)火箭同步發(fā)射裝置; 8.空氣容腔

圖2多級(jí)水火箭的整體結(jié)構(gòu)示意圖

2.3最優(yōu)填水量

水火箭第二級(jí)的質(zhì)量與第一級(jí)的水量是影響水火箭飛行高度的關(guān)鍵參數(shù)。水火箭第二級(jí)質(zhì)量越小越好，這樣第一級(jí)的推力能夠使水火箭產(chǎn)生較大的加速度，但是質(zhì)量過(guò)小，制造成本大。另一方面，水火箭儲(chǔ)水容器水量的確定更為重要[10]。若裝載的水過(guò)少，噴射時(shí)間太短，水火箭的推進(jìn)階段時(shí)間過(guò)短，無(wú)法達(dá)到一定的速度，因此后續(xù)階段飛行高度會(huì)下降；若裝載的水過(guò)多，總體質(zhì)量增大，加速度會(huì)變小，也會(huì)影響到飛行高度。因此，需要找到一個(gè)合理的水量與容積的比值。

圖3　控制電路示意框圖

水火箭的整個(gè)飛行過(guò)程在前面已作分析，在優(yōu)化求解參數(shù)時(shí)，先將需要的參數(shù)值設(shè)置為一定范圍。設(shè)msi為第二級(jí)水火箭的質(zhì)量，其取值范圍為[0.05 kg,1.45 kg]，設(shè)mwi為第一級(jí)水火箭填充的水質(zhì)量，其取值范圍為[0.05,1.45]kg；由于有兩個(gè)變量，采用網(wǎng)格搜索法[11]，求出水火箭的最終高度，取最高點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于水火箭最高點(diǎn)的第二級(jí)水火箭的質(zhì)量和第一級(jí)水火箭填充的水質(zhì)量，即為最優(yōu)參數(shù)。其結(jié)果如圖4所示。

圖4　二級(jí)水火箭質(zhì)量與一級(jí)火箭填充水量對(duì)飛行高度的影響

圖4中Z軸是飛行高度，是所需要最大化的目標(biāo)量?？梢院苊黠@的觀察到，二級(jí)水火箭的質(zhì)量越小越好，而填充的水量需要保持在一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?，過(guò)多過(guò)少都不能達(dá)到最優(yōu)。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，與二級(jí)火箭質(zhì)量多少無(wú)關(guān)，第一級(jí)水火箭的最優(yōu)填充水量與第一級(jí)水火箭能容納的最大水量之比為0.433。

2.4實(shí)驗(yàn)及其分析

具體水火箭實(shí)驗(yàn)的各項(xiàng)參數(shù)見(jiàn)表1與表2。

各項(xiàng)參數(shù)確定后，可根據(jù)2.1與2.2節(jié)中的各項(xiàng)公式通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬火箭的飛行過(guò)程。設(shè)時(shí)間增量Δt=0.001 s。

一級(jí)水火箭推進(jìn)階段之火箭速度曲線如圖5所示。從圖5可以看出整個(gè)過(guò)程的時(shí)間很短，在0.43 s時(shí)間內(nèi)水火箭從零加速到22.34 m/s的速度。

表1　第一級(jí)水火箭基本參數(shù)

表2　第二級(jí)水火箭基本參數(shù)

圖5　一級(jí)水火箭推進(jìn)階段速度曲線

第一級(jí)水火箭推進(jìn)階段其余參數(shù)，如第一級(jí)水火箭噴水速度、總體受力見(jiàn)圖6和圖7。通過(guò)模擬可知，第一級(jí)火箭推進(jìn)階段最大受力為262.80 N，上升高度為4.8 m。

圖6　一級(jí)水火箭推進(jìn)階段噴水速度曲線

圖7　一級(jí)水火箭推進(jìn)受力曲線

第一級(jí)水火箭推升階段完畢后，水火箭上升一秒鐘時(shí)間，一二級(jí)水火箭開(kāi)始分離，此時(shí)受重力與空氣阻力影響。分離時(shí)，第二級(jí)的初始速度為：11.62 m/s，分離高度為：21.68 m。分離前水火箭速度與高度數(shù)據(jù)曲線如圖8所示。

第二級(jí)水火箭分離后，分離運(yùn)動(dòng)量成了第二級(jí)火箭的初始量，其推進(jìn)階段和慣性運(yùn)動(dòng)階段運(yùn)動(dòng)參數(shù)的確定與第一級(jí)火箭的確定方法一致。水火箭總體運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖9所示。從圖9可以發(fā)現(xiàn)，第一級(jí)水火箭推進(jìn)階段，分離階段，第二級(jí)水火箭推進(jìn)階段，第二級(jí)水火箭慣性飛行階段在圖中都有明顯的區(qū)分節(jié)點(diǎn)?？傮w上水火箭在空中最大飛行速度為74.79 m/s，總體上升高度理論上能夠達(dá)到136.5 m。

圖8　水火箭分離前速度與高度曲線

圖9　水火箭全過(guò)程速度與飛行高度曲線

將水火箭第一級(jí)與第二級(jí)的水相加，然后平均分配到一級(jí)火箭的三個(gè)桶中。按照表1與表2的數(shù)據(jù)，第一級(jí)水火箭每個(gè)模塊中水量為1.227 kg，第二級(jí)水火箭水量為零，動(dòng)力全部由第一級(jí)水火箭提供，第一級(jí)和第二級(jí)水火箭整個(gè)飛行過(guò)程不分離，其他參數(shù)不變。將數(shù)據(jù)代入模型擬，結(jié)果如圖10?？梢钥吹?，整個(gè)火箭飛行時(shí)間為3.335 s，飛行高度為48.07 m。采用二級(jí)結(jié)構(gòu)的水火箭飛行高度是一級(jí)水火箭飛行高度的2.84倍。

圖10　同等質(zhì)量的推進(jìn)液體情況下一級(jí)火箭飛行情況

3　結(jié)論

水火箭的制作簡(jiǎn)單易行，適合人們鍛煉動(dòng)手能力與理論水平，并且能夠引導(dǎo)初高中學(xué)生對(duì)航天科學(xué)的興趣。文章為了分析方便，忽略了液體推進(jìn)完畢后瓶?jī)?nèi)剩余氣壓的影響，在計(jì)算實(shí)際的水火箭飛行過(guò)程時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的偏差。

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(責(zé)任編輯楊繼森)

DesignandSimulationofModularMultistageWaterrocket

HOUMu-lang

(BeijingNo.4MiddleSchool,Beijing100120,China)

Basedontheexistingcontainerdesignscheme,howtorealizemulti-stagewaterrocketwasanalyzed,andthebundledsecondarywaterrocketdesignideaswasresearched.Thefirststagewasconsistofthreepressurewatertankcomposition,andthesecondstageisapressurewatertank;thispaperfocusedontheanalysisoftherocketjetpropulsionphaseofthemathematicalandphysicalmodel,theinfluenceoftheairresistanceofthesystem,theoptimalwaterstorage,themultitankpressurebalanceandotherkeyissues.Atthesametime,usingthecomputerwecalculatedanddescribedthewholeflightprocessoftherocket,anditprovidespracticalideasformiddleschoolstudentstodevelopvariousstructuresofwaterrockets.

multistagewaterrocket;multitankpressurebalance;rocketseparation;optimalwaterquantity

2016-05-05；

2016-05-20

侯沐朗(1999—)，男，主要從事航空航天技術(shù)研究。

10.11809/scbgxb2016.09.042

format:HOUMu-lang.DesignandSimulationofModularMultistageWaterrocket[J].JournalofOrdnanceEquipmentEngineering,2016(9):188-192.

V19

A

2096-2304(2016)09-0188-05

本文引用格式：侯沐朗.模塊化多級(jí)水火箭設(shè)計(jì)與模擬[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(9):188-192.