周江霖+黃文蝶

摘 要 正確引導(dǎo)學(xué)生如何正確理解和掌握獨(dú)立性的概念是概率論教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，教學(xué)最終目的是使學(xué)生理解并且能正確使用獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。

關(guān)鍵詞 兩事件的獨(dú)立性 互斥

中圖分類號(hào)：G633.951 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

事件的獨(dú)立性是概率論中非常重要的概念之一，概率論中很多問題的前提都涉及到事件的獨(dú)立性，因此要求學(xué)生正確理解事件獨(dú)立性的定義，會(huì)區(qū)分獨(dú)立和互斥這兩個(gè)概念，掌握并運(yùn)用事件的獨(dú)立性進(jìn)行概率的計(jì)算方法。在講解獨(dú)立性盡量讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成及公式的探究、應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比、歸納的能力，并滲透逆向思維的數(shù)學(xué)思想方法。提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力與探究問題的能力。下面介紹一下本堂課的教學(xué)步驟。

步驟一： 學(xué)生的學(xué)習(xí)是建立在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的，所以從學(xué)生已學(xué)知識(shí)出發(fā)，既可以加深對(duì)學(xué)過知識(shí)的理解，又可以為學(xué)習(xí)新知識(shí)埋下伏筆。所以通過回顧上節(jié)課的學(xué)習(xí)的條件概率，引入本節(jié)課獨(dú)立性的定義。在條件概率中，我們講到，一般情況下，條件概率P（B|A）≠P（B），即A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率是有影響的；但我們可否設(shè)想一下，在什么情況下，這二者相等呢，首先來看一個(gè)例子：例1：3張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)有放回的抽取，事件A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，事件B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”。則問事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？顯然，由于是有放回抽取，事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，于是有P（B|A）≠P（B）。

步驟二：從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程可知，弄清數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和前提，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知研究能力。通過步驟一中的例子，可以讓學(xué)生感受到如果事件A，B有P（B|A）≠P（B），則認(rèn)為A與B相互獨(dú)立的；也就是B的發(fā)生的可能性大小不會(huì)受到A事件的影響。由于A作為條件，所以在條件概率中要求P（A）>0。

下面我們給出獨(dú)立性的定義

定義1：如果兩事件A，B中任一事件發(fā)生的可能性（或概率）都不受到另外一事件發(fā)生與否的影響，即P（B|A）=P（B），P（A|B）=P（A），則稱事件A與B是相互獨(dú)立的。

定義2：如果事件A與B滿足P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B相互獨(dú)立。

注示：定義1是事件獨(dú)立性的一個(gè)直觀定義，對(duì)于定義1要注意使用時(shí)候一定有P（A）>0這個(gè)條件，不能遺漏，還要注意在定義1中，是一個(gè)事件發(fā)生的概率（而不是發(fā)生與否）不會(huì)受到另外一個(gè)事件發(fā)生與否的影響，注意前面“概率”二字。所以相比較，定義2使用更方便，定義2不需要考慮這一點(diǎn)。

有了獨(dú)立的概念之后，許多學(xué)生容易混淆獨(dú)立和互斥，認(rèn)為兩事件獨(dú)立，則兩事件就互斥。其實(shí)這完全是兩個(gè)概念，他們之間沒有直接的聯(lián)系。兩個(gè)事件互斥是從事件運(yùn)算的角度來解釋P（A∩B）=0，即A與B沒有相同的樣本點(diǎn)。而獨(dú)立性是從概率的角度來刻畫的，是P（AB）=P（A）P（B），這二者不能混淆，教學(xué)中抽取例子說明獨(dú)立不一定互斥，互斥不一定獨(dú)立。

步驟三： 三個(gè)事件的獨(dú)立

設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，如果同時(shí)滿足下面四個(gè)等式

P（AB）=P（A）P（B）

P（AC）=P（A）P（C）

P（BC）=P（B）P（C）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

則稱事件A，B，C相互獨(dú)立。

注示：三個(gè)事件相互獨(dú)立的直觀解釋：其中一個(gè)事件發(fā)生的概率不會(huì)受到另外一個(gè)事件或者其他兩個(gè)事件發(fā)生與否的影響。三個(gè)事件相互獨(dú)立中一定要滿足四個(gè)等式，缺一不可（特別很多學(xué)生認(rèn)為前三個(gè)等式就足夠說明三事件相互獨(dú)立，這是錯(cuò)誤的思想，課堂上可以舉例說明）。有了三事件的相互獨(dú)立，就很容易推廣到多個(gè)事件的相互獨(dú)立，這里就不再解釋。認(rèn)識(shí)到三個(gè)事件的獨(dú)立后，很容易從三個(gè)事件的獨(dú)立推廣到多個(gè)事件的獨(dú)立，從而學(xué)生也能學(xué)會(huì)舉一反三。有了這個(gè)概念之后，我們可以給出一個(gè)具體的例子。古人云：“三個(gè)臭皮匠頂一個(gè)諸葛亮”。今天我們就從概率的角度來分析一下，是否有道理。已知諸葛亮解決問題的概率為0.8，臭皮匠甲解決問題的概率為0.5，臭皮匠乙解決問題的概率為0.45，臭皮匠丙解決問題的概率為0.4，且每個(gè)人必須獨(dú)立解題，現(xiàn)在請(qǐng)問三個(gè)臭皮匠真的能頂上一個(gè)諸葛亮嗎？分析此題，其實(shí)考察的就是三個(gè)事件的獨(dú)立性。利用三個(gè)事件的獨(dú)立性，我們很容易求出三個(gè)臭皮匠中至少有一個(gè)人解答出此題的概率為0.835，顯然應(yīng)了古人的那句話，三個(gè)臭皮匠能賽過一個(gè)諸葛亮。講完此例題后，我們還可以假設(shè)如果在三個(gè)臭皮匠中制定一個(gè)規(guī)則，什么規(guī)則呢，就是少數(shù)服從多數(shù)，這意味著只有至少兩個(gè)臭皮匠解答出問題，臭皮匠這個(gè)團(tuán)隊(duì)才會(huì)勝利。那么按照這個(gè)規(guī)則，不防讓學(xué)生試著計(jì)算臭皮匠團(tuán)隊(duì)獲勝的概率是多少。提高了知識(shí)的趣味性，也吸引了學(xué)生的興趣。

步驟四：獨(dú)立性的性質(zhì)

在A，B；A，B；A，B；A，B這四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，剩余的其余三對(duì)也獨(dú)立。這個(gè)可以用兩事件獨(dú)立性定義2證明。這個(gè)性質(zhì)也可以通過事件獨(dú)立的定義，從直觀上去理解。 這個(gè)性質(zhì)在很多計(jì)算中得到應(yīng)用，需要學(xué)生完全掌握，熟練應(yīng)用。

結(jié)束語

獨(dú)立性是概率中一個(gè)非常重要的概念，但在實(shí)際生活中，常常不是要我們?nèi)プC明事件是否獨(dú)立，而是根據(jù)實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)去判定獨(dú)立，然后利用獨(dú)立的性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算。希望每位老師能抓住重點(diǎn)，分析難點(diǎn)，讓每位學(xué)生能準(zhǔn)確理解和運(yùn)用獨(dú)立性。

參考文獻(xiàn)

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