鮑和云，周興軍，朱如鵬，陸鳳霞

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考慮柔性齒圈的節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪均載特性分析

鮑和云，周興軍，朱如鵬，陸鳳霞

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京，210016)

建立一種考慮摩擦力、時變嚙合剛度及阻尼、綜合嚙合誤差及內(nèi)齒圈柔性的節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪平移?扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型。推導(dǎo)系統(tǒng)多自由度的動力學(xué)微分方程組并采用四階?五階Runge-Kutta法求解方程，得到系統(tǒng)的振動響應(yīng)。分析柔性齒圈、摩擦力以及節(jié)點(diǎn)外系數(shù)對系統(tǒng)均載特性的影響。研究結(jié)果表明：表面摩擦力是系統(tǒng)內(nèi)部激勵源，會加劇系統(tǒng)振動，而對于節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪，在嚙合過程中摩擦力不換向，改善系統(tǒng)的振動。行星齒輪系統(tǒng)采用具有一定柔性的齒圈會提高系統(tǒng)內(nèi)嚙合載荷分配的均勻性，對于節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪而言，均載系數(shù)隨著節(jié)點(diǎn)外系數(shù)的變化呈現(xiàn)“U”型變化趨勢。

柔性齒圈；節(jié)點(diǎn)外嚙合；行星齒輪；摩擦力；均載

節(jié)點(diǎn)外嚙合指齒輪嚙合時節(jié)點(diǎn)位于實際嚙合線一側(cè)的狀態(tài)。按節(jié)點(diǎn)與實際嚙合線位置關(guān)系可分為節(jié)點(diǎn)前與節(jié)點(diǎn)后嚙合2種。目前，節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪已用于航空齒輪傳動等系統(tǒng)中。當(dāng)前已有一些學(xué)者分別對節(jié)點(diǎn)外嚙合以及行星齒輪動力學(xué)進(jìn)行了研究。在節(jié)點(diǎn)外嚙合研究方面，高明等[1]定義了節(jié)點(diǎn)外系數(shù)，通過優(yōu)化算例提出了節(jié)點(diǎn)外嚙合理論的應(yīng)用可行性；李鵬 等[2]給出了少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪副節(jié)點(diǎn)外嚙合的判定公式及具體的計算方法；孫永正等[3]根據(jù)節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪傳動的嚙合特點(diǎn)，提出了一種更為合理且精度較高的平均摩擦因數(shù)計算方法。在考慮柔性齒圈的行星齒輪動力學(xué)方面，張俊等[4]采用有限段單元的離散化建模方法，將連續(xù)體的柔性齒圈離散成由等效虛擬彈簧連接的剛性齒圈段；方宗德等[5]在考慮內(nèi)齒圈柔性影響的時候，將齒圈質(zhì)量集中在齒圈和齒式聯(lián)軸器上，中間加以虛擬扭轉(zhuǎn)彈簧連接；WU等[6?7]研究了考慮齒圈彈性，行星輪沿齒圈均勻分布和非均勻分布時的行星輪系模態(tài)特性。在此，本文作者研究了節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副的動力學(xué)及均載特性，并考慮摩擦力和柔性齒圈等對節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副均載特性的影響，為節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副的設(shè)計與應(yīng)用提供一定的理論基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)計算模型

內(nèi)齒輪因體積較大，采用薄輻結(jié)構(gòu)，有較大的扭轉(zhuǎn)柔度，因此將其質(zhì)量集中在齒圈和齒式聯(lián)軸器上，中間加以虛擬扭轉(zhuǎn)彈簧k0連接，圖1所示為節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪減速器的傳動簡圖[5]。

圖1 節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪減速器傳動簡圖

采用集中質(zhì)量法建立模型，并建立以下的假設(shè)：

1) 各行星輪具有相同的物理和幾何參數(shù)；

2) 各齒輪均為漸開線直齒圓柱齒輪，支承簡化為彈簧，除內(nèi)齒圈外各構(gòu)件均看作剛體；

3) 系統(tǒng)各構(gòu)件的運(yùn)動保持在同一平面內(nèi)；

4) 忽略齒側(cè)間隙引起的非線性影響。

建立2K?H型行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪平移?扭轉(zhuǎn)耦合模型

平移?扭轉(zhuǎn)耦合模型考慮了齒輪的平移振動和扭轉(zhuǎn)振動，顯著地增加了系統(tǒng)的自由度，因此為了方程建立和求解的方便，建立為靜坐標(biāo)系，原點(diǎn)在行星架的回轉(zhuǎn)中心，Oxy為動坐標(biāo)系，原點(diǎn)在各行星輪理論中心O，坐標(biāo)軸分別與坐標(biāo)軸平行。

該模型共有39個自由度，分別為太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈的橫向平移位移、縱向平移位移以及各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移。

2 動態(tài)嚙合力及摩擦力的計算

在齒輪副連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，隨著嚙合齒對數(shù)變化，齒輪副嚙合剛度會發(fā)生周期性的變化，假定單對齒嚙合剛度在嚙合過程中不變，可將嚙合剛度簡化成矩形波形式變化[8]，如圖3所示。

圖3 矩形波近似直齒輪時變嚙合剛度

對于一般齒輪副而言，其重合度介于1和2之間，因此考慮動態(tài)嚙合力時分2對嚙合輪齒來研究，可得齒輪副各對齒嚙合力為

式中：和分別表示外嚙合對和內(nèi)嚙合對；和分別為外嚙合線和內(nèi)嚙合線上相對位移；為嚙合剛度；為嚙合阻尼，下標(biāo)1和2分別表示第1對齒和第2對齒。

根據(jù)行星齒輪傳動系統(tǒng)中外、內(nèi)嚙合副嚙合線方向的相對位置關(guān)系，并考慮齒輪副嚙合誤差，可得各齒輪副之間的相對位移如下[4]：

1) 太陽輪和第個行星輪相對位移沿嚙合線方向投影為

2) 內(nèi)齒輪和第個行星輪相對位移沿嚙合線方向投影為

3) 行星架相對于第個行星輪沿行星架方向投影為

式中：φ為第個行星輪的理論中心到行星架理論中心的連線OO與坐標(biāo)軸正方向的夾角；α和α分別為外、內(nèi)嚙合角；φ=φ?α，φ=φ+α；e()和e()分別為外、內(nèi)嚙合線上的誤差激勵，考慮偏心誤差以及基節(jié)和齒形誤差的影響，并假設(shè)綜合嚙合誤差按正弦函數(shù)變化，可得e()=Esin(ωt+φ)[9]，ω為嚙合頻率，E為齒輪副的綜合嚙合誤差幅值，φ為嚙合初相位。

對于節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副來說，實際嚙合線段位于節(jié)點(diǎn)一側(cè)，齒面摩擦力在嚙合過程中不換向，為探究其對動態(tài)響應(yīng)的影響，故在研究行星輪系動力學(xué)特性的時候，需考慮摩擦力的影響。

根據(jù)庫侖定律，齒面摩擦力[10]，其中：為摩擦力的方向系數(shù)，其值為±1或0；為摩擦因數(shù)；為嚙合力。

摩擦力方向系數(shù)是用來判斷摩擦力在嚙合過程中方向是否改變的系數(shù)，一般而言，若嚙合經(jīng)過節(jié)點(diǎn)，則摩擦力方向發(fā)生改變，具體來說，有如下判斷公式[11]：

式中：l()和l()分別代表嚙合齒輪副的主、從動輪第對摩擦力臂，由于本文研究的齒輪副重合度均在1和2之間，所以一般取值為1或2；Ω為從、主動輪在行星輪系中相對速度Ω與Ω的比值，關(guān)系式如下：Ω=|Ω/Ω|。

在齒輪副嚙合過程中，摩擦因數(shù)隨著參與嚙合部分的不同而變化，但變化幅值不大，故在本文中將摩擦因數(shù)作為定值，取平均摩擦因數(shù)m=0.05[11]來計算。

3 系統(tǒng)運(yùn)動微分方程

依據(jù)牛頓第二定律建立各構(gòu)件運(yùn)動方程。令m為各構(gòu)件的質(zhì)量，M為其等效質(zhì)量，其中M=I/r(I為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量；r為基圓半徑)，k和k為各構(gòu)件的平移支撐剛度，k為扭轉(zhuǎn)剛度，c和c為平移支撐阻尼，c為扭轉(zhuǎn)阻尼，T為施加在構(gòu)件上外載荷，為摩擦力方向系數(shù)，為摩擦力，為摩擦力臂，則系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為

系統(tǒng)坐標(biāo)中包含了剛體位移，方程有不定解，因此需要消除剛體位移[12]。引入相鄰質(zhì)量塊之間的相對位移，定義相對位移坐標(biāo)如下：

其中：

；

將式(7)代入式(3)，得內(nèi)嚙合相對位移坐標(biāo)

利用數(shù)值法求解上述動力學(xué)微分方程時，方程各系數(shù)數(shù)量級差異較大，導(dǎo)致結(jié)果無法收斂，得不到理想計算結(jié)果，故需對方程進(jìn)行量綱一化。為此，引進(jìn)位移標(biāo)尺b(取b=1×10?5 m)和時間標(biāo)尺ω(，為太陽輪和行星輪嚙合剛度的平均值)，使得位移(量綱一的量)，時間(量綱一的量)[13]。

4 求解結(jié)果及分析

通過優(yōu)化，可得某2K?H型節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪減速器的參數(shù)如表1所示。

表1 節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)

將式(6)中阻尼及嚙合誤差均取為0，得到系統(tǒng)的靜變形方程

由此可求得系統(tǒng)靜變形為

采用四階?五階Runge-Kutta算法，初值選擇為系統(tǒng)靜變形，對上述方程進(jìn)行求解。為消除系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，從系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時開始取值。

圖4和圖5所示分別為有摩擦和無摩擦?xí)r太陽輪與第1個行星輪、內(nèi)齒圈與第1個行星輪在嚙合線上的相對位移在時域內(nèi)的響應(yīng)。從圖4和圖5可知：由于內(nèi)嚙合采用了柔性齒圈，扭轉(zhuǎn)剛度相對較小，因此相比外嚙合相對位移δ1，內(nèi)嚙合相對位移δ1幅值更大。另一方面，當(dāng)摩擦因數(shù)從0變?yōu)?.05時，外嚙合響應(yīng)幅值變大，表明摩擦力是系統(tǒng)內(nèi)部激勵源，會加劇系統(tǒng)振動；而內(nèi)嚙合響應(yīng)幅值減小，這是由于內(nèi)嚙合采用了節(jié)點(diǎn)外嚙合，摩擦力在嚙合過程中不換向，改善了系統(tǒng)的振動。

μm: 1—0; 2—0.05。

μm: 1—0; 2—0.05。

行星齒輪傳動系統(tǒng)載荷分配的均勻性用均載系數(shù)表示，均載系數(shù)越大，則傳動載荷分配越不均勻。為了消除瞬時動載的影響，首先計算每一齒頻周期內(nèi)的均載系數(shù)[15]。

式中：為行星輪數(shù)；為1個周期內(nèi)的嚙頻周期數(shù)；P和P分別為對應(yīng)的外、內(nèi)嚙合動載荷。

再定義一個系統(tǒng)周期內(nèi)均載系數(shù)為：

針對上述參數(shù)的行星傳動系統(tǒng)，通過改變內(nèi)齒圈聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度k0，改變內(nèi)齒圈的柔性，得到不同的均載系數(shù)，從而可得內(nèi)、外嚙合均載系數(shù)隨k0變化趨勢如圖6所示。

1—bsp；2—brp。

從圖6可知：對于外嚙合而言，由于改變的是內(nèi)齒圈聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度，所以對其均載系數(shù)影響不大，而對內(nèi)嚙合而言，隨著內(nèi)齒圈聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度k0的增大，內(nèi)嚙合均載系數(shù)b也不斷增大，載荷分配越不均勻，但當(dāng)k0達(dá)到1.0×106時，其均載系數(shù)變化趨勢漸趨穩(wěn)定。因此，對于行星齒輪傳動系統(tǒng)而言，采用具有一定柔性的齒圈可提高其內(nèi)嚙合載荷分配的均勻性。

分別計算m0和m0.05時內(nèi)、外嚙合副的均載系數(shù)，結(jié)果如表2所示。

表2 節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪傳動系統(tǒng)均載參數(shù)

由表2可得：當(dāng)摩擦因數(shù)從0變?yōu)?.05時，由于外嚙合齒輪副摩擦力經(jīng)過節(jié)點(diǎn)時換向，引起激勵，所以其均載系數(shù)增大；而內(nèi)嚙合為節(jié)點(diǎn)外嚙合，齒面摩擦力沒有換向過程，其均載系數(shù)反而有所減小。

節(jié)點(diǎn)外系數(shù)表示節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副節(jié)點(diǎn)遠(yuǎn)離實際嚙合線的程度，變化范圍為0~1，節(jié)點(diǎn)外系數(shù)越大，節(jié)點(diǎn)外嚙合程度越大，即實際嚙合線離節(jié)點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)；反之表示節(jié)點(diǎn)外嚙合程度越小，即實際嚙合線離節(jié)點(diǎn)的距離越近。對于本文研究的內(nèi)嚙合副為節(jié)點(diǎn)后嚙合而言，其計算表達(dá)式為[3]

式中：a3為內(nèi)齒圈齒頂圓半徑；為內(nèi)齒圈節(jié)圓半徑；3為內(nèi)齒圈模數(shù)。

改變內(nèi)嚙合副的節(jié)點(diǎn)外系數(shù)，得到內(nèi)嚙合均載系數(shù)隨節(jié)點(diǎn)外系數(shù)的變化趨勢如圖7所示。

圖7 內(nèi)嚙合均載系數(shù)隨節(jié)點(diǎn)外系數(shù)的變化趨勢

由圖7可得：隨著節(jié)點(diǎn)外系數(shù)的增大，內(nèi)嚙合均載系數(shù)先逐漸減小，當(dāng)節(jié)點(diǎn)外系數(shù)達(dá)到0.2附近時，內(nèi)嚙合均載系數(shù)達(dá)到最小值，再隨著節(jié)點(diǎn)外系數(shù)的增大，內(nèi)嚙合均載系數(shù)又逐漸增大。

5 結(jié)論

1) 建立了一種考慮摩擦力、時變嚙合剛度及阻尼、綜合嚙合誤差及內(nèi)齒圈柔性的節(jié)點(diǎn)外嚙合行星齒輪平移?扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，運(yùn)用變步長積分法求解了動力學(xué)非線性方程組，得到了系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

2) 摩擦力會作為內(nèi)部激勵源加劇系統(tǒng)的振動，但節(jié)點(diǎn)外嚙合齒輪副在考慮摩擦力時，由于摩擦力不換向，系統(tǒng)振動幅值會降低，且均載性能得到改善。

3) 采用具有一定柔性的齒圈會提高系統(tǒng)內(nèi)嚙合載荷分配的均勻性。

4) 隨著節(jié)點(diǎn)外系數(shù)在0~1之間改變，內(nèi)嚙合均載系數(shù)呈現(xiàn)“U”型變化趨勢，當(dāng)節(jié)點(diǎn)外系數(shù)取0.2附近時，內(nèi)嚙合均載效果最好。

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Load sharing analysis of planetary gear train with meshing beyond pitch point considering flexible deformable ring

BAO Heyun, ZHOU Xingjun, ZHU Rupeng, LU Fengxia

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

A planetary gear translational-rotational dynamics model with meshing beyond pitch point in consideration of sliding friction, time-varying mesh stiffness and damp, integrated mesh errors and flexible ring was established. The motion differential equations with multiple degrees of freedom were derived and the equations were solved by using the ode45 Runge-Kutta method. The response of the system in time domain was obtained. The impacts of flexible ring gear, coefficients of friction and coefficients of beyond pitch point on dynamics load sharing characteristic were analyzed. The results show that friction is the internal excitation source and it will increase the vibration of the system. For planetary gear train with meshing beyond pitch point, friction will reduce the vibration because it will not change direction during meshing. The planetary gear system improves the load sharing by using flexible deformable ring with meshing beyond pitch point, and the trend of the coefficient of load sharing present “U” type.

flexible deformable ring; meshing beyond pitch point; planetary gear; friction; load sharing

10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.014

TH132.413

A

1672?7207(2016)09?3005?06

2015?06?04；

2015?09?14

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305196)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目(NZ2014201) (Project(51305196) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(NZ2014201) supported by the Fundamental Research Foundation for the Central Universities)

鮑和云，博士，副教授，從事機(jī)械CAD及自動化研究；E-mail: siyanger@163.com

(編輯 趙俊)