李紹林，何應(yīng)輝，劉　偉

（紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自 661199）

具有輸出耦合的Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出反饋牽制控制

李紹林，何應(yīng)輝，劉偉

（紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，云南蒙自 661199）

文章應(yīng)用自適應(yīng)控制技術(shù)并結(jié)合牽制控制的思想，在節(jié)點(diǎn)部分輸出狀態(tài)的情況下討論具有輸出耦合的無向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題。通過對網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)引入控制器，設(shè)計(jì)輸出反饋增益的在線自適應(yīng)更新協(xié)議，無向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)能實(shí)現(xiàn)全局漸近輸出同步。最后，利用無標(biāo)度BA網(wǎng)絡(luò)作為數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所提出理論結(jié)果的有效性。

同步；自適應(yīng)更新協(xié)議；牽制控制；Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；輸出耦合

0　引言

Lur'e系統(tǒng)是一類非常典型的非線性系統(tǒng)，通常它由一個(gè)線性系統(tǒng)和一個(gè)滿足扇區(qū)條件的非線性反饋系統(tǒng)所構(gòu)成，一些常見的非線性系統(tǒng)如Chua系統(tǒng)、Goodwin模型及超混沌系統(tǒng)等都可以歸結(jié)為Lur'e的類型. 在理論上，Lur'e系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題一直是研究的熱點(diǎn)之一并產(chǎn)生了一些比較有影響力的結(jié)果［1-3］. Lur'e系統(tǒng)的同步問題也廣泛應(yīng)用于諸如保密通信等工程技術(shù)領(lǐng)域［4-5］.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)由大量節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系所構(gòu)成的系統(tǒng)，它在自然和人類日常生活中常用來作為如生物網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)和物流網(wǎng)等的數(shù)學(xué)模型. 同步現(xiàn)象是動(dòng)態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為之一，已經(jīng)得到國內(nèi)外不同學(xué)科領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注和研究［6-8］. 由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性之一就是節(jié)點(diǎn)數(shù)目比較多，為網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制行為既不合理而且也難以實(shí)現(xiàn). 牽制控制［9-12］被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究中，其特點(diǎn)在僅控制網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)的同步，因此是一種較為有效而且低成本控制方法.

在大多數(shù)已有的文獻(xiàn)中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù)往往是基于節(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)（full states）所給出的.但由于測量手段和觀測設(shè)備等人為因素的限制，獲取節(jié)點(diǎn)的全部狀態(tài)是不容易實(shí)現(xiàn)的. 在此情況下，僅利用節(jié)點(diǎn)的部分輸出狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出同步［13-15］的控制方法已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注和研究.在文獻(xiàn)［16］中，Liu等人基于輸出反饋控制策略研究了一個(gè)Lur'e動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步問題，利用LMIs的形式給出了有向和無向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù). 我們在此基礎(chǔ)上，考慮了無向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)輸出牽制同步問題并設(shè)計(jì)了牽制控制器增益的自適應(yīng)更新協(xié)議，該協(xié)議只依賴于牽制節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)誤差從而便于實(shí)際應(yīng)用. 數(shù)值仿真的結(jié)果表明所設(shè)計(jì)自適應(yīng)牽制控制器的有效性，特別指出在網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)連通和Lur'e系統(tǒng)可檢測的條件下，即使只采用一個(gè)控制器也能實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)同步.

1　預(yù)備知識與模型描述

1.1符號說明

在本文中，我們使用如下的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號.R 代表實(shí)數(shù)集，Rn表示n 維的實(shí)歐式空間.記Rm×n為所有m 行n 列的實(shí)矩陣的全體，In表示n階的單位矩陣.對于n 階方陣A∈Rn×n記號AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，A-1表示矩陣A 的逆矩陣.對于一個(gè)實(shí)對稱矩陣B ，分別記λmax（B）與λmin（B）為矩陣B的最大與最小特征值，記號B＞0（B＜0）表示對稱矩陣B 是正定（負(fù)定）矩陣.記號diag（d1，d2，…，dn）表示主對角元素為d1，d2，…，dn的對角矩陣.記號?表示矩陣運(yùn)算的Kronecker積.

1.2圖論知識

無向網(wǎng)絡(luò)中的信息交換可以用一個(gè)加權(quán)圖g=｛V，E，W｝來表示，這里V=｛1，2，…，N｝是網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的集合；邊集E?V×V ，無序自然數(shù)對（i，j）∈E 表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i 與節(jié)點(diǎn)j能夠進(jìn)行信息交換，否則（i，j）?E 表示節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)j無法進(jìn)行信息交換；加權(quán)聯(lián)接矩陣W 中的元素ij用于衡量節(jié)點(diǎn)i 與節(jié)點(diǎn)j 之間的通信質(zhì)量，定義為

這里，不允許節(jié)點(diǎn)到它自身的通信（即不存在自環(huán)的情形），因此，對應(yīng)于加權(quán)聯(lián)接矩陣的Laplacian矩陣定義為

1.3基本引理

下面的引理是本文進(jìn)行理論證明所需要的，在此先作一個(gè)簡要的陳述.

引理1［17］設(shè)是實(shí)對稱矩陣，那么任取則有

引理2［18］設(shè)矩陣，則下列線性矩陣不等式（LMI）

成立，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件其中一個(gè)成立：

引理3［19］如果是不可約矩陣，滿足如下條件：

引理4［20］對于具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣及數(shù)，有如下關(guān)于Kronecker積的等式成立：

1.4模型描述

對于Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1），考慮其孤立節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為

定義 Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（1）與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步，是指在任意初始條件下都成立

當(dāng)系統(tǒng)（1）本身無法實(shí)現(xiàn)與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步時(shí)，對系統(tǒng)施加控制是一種最為常用的手段. 為此，對系統(tǒng)（1）引入控制輸入，即考慮如下的受控系統(tǒng)：

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的數(shù)目往往是非常多，受控制成本的限制，對每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都施加控制是不現(xiàn)實(shí)和無法實(shí)施的，為此我們引入牽制控制（Pinning Control）的策略，也就是說在網(wǎng)絡(luò)中一小部分節(jié)點(diǎn)上施加控制. 記

分別為全部和牽制的節(jié)點(diǎn)集合. 在本文中，我們設(shè)計(jì)如下的牽制時(shí)變輸出反饋控制器

這里，特別指出正定矩陣P將用于受控系統(tǒng)（3）中輸出反饋增益矩陣Γ的設(shè)計(jì).

此外，由（2），（3）和（4）式可得如下的同步誤差系統(tǒng)

根據(jù)以上討論，受控系統(tǒng)（3）與孤立節(jié)點(diǎn)（2）全局漸近同步問題可轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)（8）在平凡零解的全局漸近穩(wěn)定問題.

2　牽制策略下無向Lur'e網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步協(xié)議

利用上述正定矩陣P ，構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

則有

綜上所述，誤差系統(tǒng)（10）能實(shí)現(xiàn)全局漸近穩(wěn)定，從而受控系統(tǒng)（3）在所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)更新協(xié)議（9）下與孤立節(jié)點(diǎn)（2）達(dá)到全局漸近同步，控制器的時(shí)變反饋增益將漸近穩(wěn)定于某一確定數(shù)值，定理得證.

3　數(shù)值仿真

在本節(jié)中，通過設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例來說明所提出理論結(jié)果的有效性?？紤]如下由100個(gè)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成，形如（3）式的一個(gè)Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型：

圖1　單個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)的混沌狀態(tài)

圖2　由100個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

圖3　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖4　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖5　網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)誤差ei1（t ）

圖6　隨機(jī)選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的控制器增益ei1（t ）

4　結(jié)論

在本文中，我們考慮了無向Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)輸出同步問題. 根據(jù)牽制控制的思想，僅將控制器配置在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)中的一小部分上以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出同步. 在實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)同步的過程中，我們利用牽制時(shí)變輸出反饋控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的反饋控制器并設(shè)計(jì)了相應(yīng)反饋增益的在線自適應(yīng)更新協(xié)議，由系統(tǒng)同步誤差所決定的反饋控制增益可以有效地避免人為選取，從而能達(dá)到有效地降低控制成本. 通過Lyapunov函數(shù)方法和LaSalle不變集原理，我們從理論上嚴(yán)格證明了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)方案的合理性，在無標(biāo)度BA網(wǎng)絡(luò)上數(shù)值仿真則說明了理論結(jié)果有效性.在自然環(huán)境下，時(shí)滯以及噪聲的干擾對于一個(gè)網(wǎng)絡(luò)來說是不可避免的，在Lur'e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中考慮上述因素所帶來的影響則會是一個(gè)非常有意義的研究主題，這也是我們將來致力于考慮的研究內(nèi)容.

［1］Park P. A revisited Popov criterion for nonlinear Lur'e systems with sector-restrictions［J］.International Journal of Control，1997，68（3）： 461-470.

［2］魯仁全，蘇宏業(yè)，褚健.一類Lur'e系統(tǒng)新的絕對穩(wěn)定性與絕對二次鎮(zhèn)定條件［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2004，38（2）：129-134.

［3］孫繼濤，吳啟迪.Lur'e系統(tǒng)穩(wěn)定與同步的脈沖控制［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25（3）：291-296.

［4］張靜.不確定時(shí)滯Lur'e控制系統(tǒng)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定和觀測器設(shè)計(jì)［D］.遼寧：東北大學(xué)，2012.

［5］J.Lu，J.Cao and Ho D W C. Adaptive stabilization and synchronization for chaotic Lur'e systems with time-varying delay［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I： Regular Papers，2008，55（5）：1347-1356.

［6］J. Lü，G. Chen. A time-varying complex dynamical network model and its controlled synchronization criteria［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50（6）： 841-846.

［7］J. Zhou，J. Lu J，J. Lü. Pinning adaptive synchronization of a general complex dynamical network［J］.Automatica，2008，44（4）：996-1003.

［8］鄭海青，井元偉，劉曉平.一類具有多種耦合時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步［J］.控制與決策，2010，25（11）：1719-1722.

［9］W.Yu，G. Chen G，J. Lü. On pinning synchronization of complex dynamical networks［J］.Automatica，2009，45（2）：429-435.

［10］R. Cheng，M. Peng，W. Yu. Pinning synchronization of delayed complex dynamical networks with nonlinear coupling［J］. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2014，413： 426-431.

［11］宋海裕，俞立，胡鴻翔.牽制控制下的的多多智能體系統(tǒng)群一致性［J］.控制理論與應(yīng)用，2012，6：11.

［12］鞏長忠，張瑜.基于牽制控制的變時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步［J］.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，35（4）：336-341.

［13］N.Chopra.Output synchronization on strongly connected graphs［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2012，57（11）：2896-2901.

［14］J.Wang，H.Wu.Local and global exponential output synchronization of complex delayed dynamical networks［J］. Nonlinear Dynamics，2012，67（1）：497-504.

［15］H.Yu，P.Antsaklis.Output synchronization of networked passive systems with event-driven communication［J］.Automatic Control，IEEE Transactions on，2014，59（3）：750-756.

［16］F.Liu，Q.Song and J.Cao，et al.Pinning Lur'e Complex Networks via Output Feedback Control［J］.Mathematical Problems in Engineering，2014.

［17］R.Horn，C.Johnson.Matrix analysis［M］.England：Cambridge university press，2012.

［18］S.Boyd，El Ghaoui，E.Feron and V.Balakrishnan.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory［M］.SIAM，1994.

［19］T.Chen，X.Liu and W.Lu.Pinning Complex Networks by a Single Controller［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Regular Papers，2007，54（6）：1317-1326.

［20］R.Horn，R.Johnson.Matrix analysis［M］.England：Cambridge University Press，UK，2012.

［責(zé)任編輯 張燦邦］

Pinning Control for Lur'e Complex Network with Output Coupling via Adaptive Output Feedback Technique

LI Shao-lin，HE Ying-hui，LIU Wei
（Department of Mathematics and Applied Mathematics，Honghe University，Mengzi 661199，Yunnan，China）

Using adaptive technique and pinning control，the synchronization of undirected Lur'e network with output coupling is investigated，in which only part of nodes' states are known. For the purpose of synchronize all nodes to homogeneous state，an adaptive online update protocol that is dependent on output feedback is designed and applied to a fraction of nodes in Lur'e complex network. Finally，based on scale-free BA network，a numerical simulation is provided to demonstrate the effectiveness of the theoretical result.

Synchronization； Adaptive update protocol； Pinning control； Lur'e complex network； Output coupling

O29

A

1008-9128（2016）05-0060-06

10.13963/j.cnki.hhuxb.2016.05.017

2015-09-10

紅河學(xué)院校級科研基金項(xiàng)目（XJ15SX03）

李紹林（1977-），男，云南石屏人，副教授，碩士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。