耿曉妮，吳健榮

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

集值模糊測度的正則性

耿曉妮，吳健榮*

（蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

在集值模糊測度空間上，給出了集值模糊測度正則性的定義，討論了有關(guān)正則性的部分性質(zhì)，并證明了上自連續(xù)的集值模糊測度必為正則的這一重要結(jié)論。

集值模糊測度；上自連續(xù)；正則性

文中涉及的集值模糊測度概念實(shí)際上是集值測度與模糊測度的結(jié)合。集值測度作為集值分析的重要組成部分，于1964年由Vind[1]在一篇關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的文章中首先引進(jìn)，隨后開始快速發(fā)展并在經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制理論、最優(yōu)化理論等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。而模糊測度則是于1974年由Sugeno[2]提出的一類非可加測度。借助集函數(shù)的上（下）自連續(xù)、自連續(xù)等重要概念，1984年王震源[3]將經(jīng)典測度論中的一些重要結(jié)論推廣到了模糊測度論中，極大地推動了模糊測度的研究。

伴隨著集值測度與模糊測度的蓬勃發(fā)展，集值模糊測度的概念被提出并受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-9]。如，2009年，Alina Gavrilut[4]利用集合的閔可夫斯基加法，在Banach空間X的非空閉子集類上，利用Hausdorff度量定義了一種集值模糊測度，并初步討論了它的正則性與非原子性。2011年，吳健榮，柳海燕[5]延續(xù)了Alina Gavrilut在Hausdorff意義下建立的集值模糊測度空間的研究，并討論了集值模糊測度的自連續(xù)性。

在文中筆者將延續(xù)Alina Gavrilut關(guān)于集值模糊測度空間正則性的研究，在集值模糊測度空間中，證明上自連續(xù)的集值模糊測度π具有正則性。

在文中，X總表示一個(gè)實(shí)Banach空間，Pbf（X）表示X上所有非空有界閉子集構(gòu)成的集類。

設(shè)x∈X，A，B∈Pbf（X），稱為x到A的距離。記

稱為A，B間的Hausdorff距離。

設(shè){An}?Pbf（X），A∈Pbf（X），若?ε＞0，?N，當(dāng)n＞N時(shí)，均有δ（An，A）＜ε，則稱集合列{An}依Hausdorff距離收斂到集合A，記為。

1　預(yù)備知識

定義1[4]設(shè)（Ω，∑）為任意可測空間，集值映射π：∑→Pbf（X）滿足以下四個(gè)條件：

（2）單調(diào)性：若?A，B∈∑，且A?B，則有π（A）?π（B）；

2　正則性

定義3（1）對A∈∑，稱A關(guān)于π是內(nèi)正則的，若?ε＞0，都有X中的閉集F∈，使得F?A且δ（π（A-F），{}）＜ε。

（2）對A∈∑，稱A關(guān)于π是外正則的，若?ε＞0，都有X中的開集G∈，使得A?G且δ（π（G-A），{}）＜ε。

（3）對A∈∑，稱A關(guān)于π是正則的，如果A關(guān)于π既是內(nèi)正則的又是外正則的。

若對任意A∈∑，都有A關(guān)于π是正則的，則稱集值模糊測度π是正則的。

注由定義可知：所有開集都是外正則的；所有閉集都是內(nèi)正則的。

定理4設(shè)（Ω，∑，π）是上自連續(xù)的集值模糊測度空間，則集值模糊測度π是正則的充分必要條件為：對任意的A∈∑，?ε＞0，都有X中的閉集F∈和開集G∈，使得F?A?G且δ（π（G-F），{}）＜ε。

證明必要性：如果π是正則的，則π既是內(nèi)正則的又是外正則的。由定理3，?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)?A，B∈∑，δ（π（A），{}）＜δ且δ（π（B），{}）＜δ時(shí)，有δ（π（A∪B），{}）＜ε。對上述δ＞0，有X中的閉集F∈和開集G∈，使得F?A，A?G且δ（π（A-F），{}）＜δ，δ（π（G-A），{}）＜δ。于是

充分性可由定義1（2）集值模糊測度的單調(diào)性直接得出。

為了證明集值模糊測度π的正則性，先討論有關(guān)正則性的部分性質(zhì)。

命題1設(shè)（Ω，∑，π）是上自連續(xù)的集值模糊測度空間，則：

（1）可數(shù)個(gè)外正則集的并集仍為外正則集；

（2）可數(shù)個(gè)外正則集的交集仍為外正則集。

證明（1）設(shè){An}（n≥1）是一列外正則集。

?ε＞0，由于A1是外正則的，存在G1∈，使得A1?G1且δ（π（G1-A1），{0}）＜ε/22。對于A2，存在G2k∈，使得A2?G2k且δ（π（G2k-A2），{}）＜1/k，k=1，2，…。于是當(dāng)k→∞時(shí)，有π（G2k-A2）→{}。由于π是上自連續(xù)的，所以存在k0，使得當(dāng)k≥k0時(shí)，

?ε＞0，由定理3，?δ＞0，當(dāng)?A，B∈∑，δ（π（A），{}）＜δ且δ（π（B），{}）＜δ時(shí)，有δ（π（A∪B），{}）＜ε。對上述δ＞0，存在充分大的m使得。同時(shí)由于是外正則的，所以存在G∈，使得且，{}）＜δ。于是

引理1對A∈∑，則有：

（1）A關(guān)于π是外正則的充要條件為A的補(bǔ)集Ac是內(nèi)正則的；

（2）A關(guān)于π是正則的充要條件為A的補(bǔ)集Ac是正則的。

證明（2）由（1）直接得到，因此，只要證明（1）。為此設(shè)A是外正則的，則?ε＞0，?G∈A，使得A?G且δ（π（G-A），{}）＜ε。則Gc∈，Gc?Ac，且δ（π（Ac-Gc），{}）=δ（π（G-A），{}）＜ε。由定義可知Ac是內(nèi)正則的。同理，若Ac是內(nèi)正則的，?ε＞0，?F∈，使得F?Ac且δ（π（Ac-F），{}）＜ε。則Fc∈，A?Fc，且δ（π（Fc-A），{}）＜ε由定義可知A是外正則的。

由命題1及引理1即得以下命題：

命題2設(shè)（Ω，∑，π）是上自連續(xù)的集值模糊測度空間，則：

（1）可數(shù)個(gè)內(nèi)正則集的交集仍為內(nèi)正則集，

（2）可數(shù)個(gè)內(nèi)正則集的并集仍為內(nèi)正則集。

定理5（正則性定理）設(shè)（Ω，∑，π）是上自連續(xù)的集值模糊測度空間，那么π具有正則性。

證明因?yàn)椤茷閄的開集生成的σ-代數(shù)，為證明該定理，只要證明:（1）X中任意一列開集的并集是正則的；（2）X中任意一列開集的交集是正則的；（3）X的兩個(gè)開集之差是正則的。

為證（1）和（2），首先注意到開集都是外正則的。而對于Banach空間X，其任意開集可以表達(dá)為X中可數(shù)個(gè)閉集的并，而閉集都是內(nèi)正則的，再由命題2知X中的開集也是內(nèi)正則的，所以X中任意一個(gè)開集都是正則的，再由命題1及命題2知（1）和（2）成立。

為證（3），任取開集A和B，則A和B都是正則的。由引理1（2）知Bc正則。從而A-B=A∩Bc也正則，即（3）成立。

3　結(jié)語

文中在文獻(xiàn)[4]所定義的集值模糊測度空間上定義了集值模糊測度的正則性。應(yīng)用一些引理得到了有關(guān)正則性的一些性質(zhì)，如可數(shù)個(gè)外正則集的交集、并集仍是外正則集，可數(shù)個(gè)內(nèi)正則集的交集、并集仍是內(nèi)正則集。從而利用這些性質(zhì)證明了上自連續(xù)的集值模糊測度必是正則的。

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[2]SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo：Tokyo Institute of Technology，1974.

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[7]肖依，王貴君.集值模糊測度空間上可測函數(shù)列的收斂性[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，27（3）：346-350.

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The regularity of set-valued fuzzy measures

GENG Xiaoni，WU Jianrong
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

This paper defined the regularity of set-valued fuzzy measure in the set-valued fuzzy measure space, discussed some properties of the regularity and proved that the set-valued fuzzy measure of the autocontinuity from above must be regular.

set-valued fuzzy measure；autocontinuous from above；regularity

O159MR（2000）Subject Classification：28C15；28E10

A

1672－0687（2016）01－0023－04

責(zé)任編輯：謝金春

2013－11－18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371013）

耿曉妮（1990-），女，遼寧沈陽人，碩士研究生，研究方向：模糊分析。*

吳健榮（1963-），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E－mail：jrwu@mail.usts.edu.cn。