蔣玲玲 郁 軍

（1.貴陽市第一實驗小學(xué)，貴州 貴陽 550081；2.南明區(qū)教師學(xué)習(xí)與資源中心， 貴州 貴陽 550000）

“用數(shù)對確定位置”學(xué)習(xí)體驗案例

蔣玲玲1郁 軍2

（1.貴陽市第一實驗小學(xué)，貴州 貴陽 550081；2.南明區(qū)教師學(xué)習(xí)與資源中心， 貴州 貴陽 550000）

教師引導(dǎo)學(xué)生在生活的情境中認(rèn)識列、行的含義，并利用行列確定位置，進(jìn)而抽象出用有序數(shù)對描述平面上點的位置。學(xué)生在逐次“數(shù)學(xué)化”的活動過程中，體驗數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)推理與運用的意識。

數(shù)學(xué)化；數(shù)形結(jié)合；學(xué)習(xí)體驗

一、教學(xué)設(shè)計

1.課時目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生在教室座位的情境中認(rèn)識列、行的含義，知道確定第幾列、第幾行的規(guī)則，會用數(shù)對表示具體情境中的物體的位置，進(jìn)而用有序數(shù)對描述方格圖上（平面上）點的位置。

（2）引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)對與生活實際的聯(lián)系，在逐次“數(shù)學(xué)化”的抽象過程中，逐步掌握用數(shù)對確定位置的方法，初步體驗數(shù)形結(jié)合的思想。

核心素養(yǎng)：數(shù)形結(jié)合思想，有序數(shù)對與位置（點）的一一對應(yīng)。

2.重、難點與核心問題

重點：根據(jù)具體情境，應(yīng)用數(shù)對確定點的位置。

難點：理解位置（點）與數(shù)對表示的有序性、對應(yīng)性。

核心問題：怎樣在平面上確定點的位置？

3.設(shè)計思路

用教室座位圖作學(xué)習(xí)情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)主題（為什么要學(xué)習(xí)確定位置？）——新課教學(xué)（怎樣確定位置？）——列、行的認(rèn)識（已有經(jīng)驗的提升）——引導(dǎo)學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中體驗數(shù)對形成過程（初次數(shù)學(xué)化）：制造設(shè)計符號的需要；在交流中統(tǒng)一確定位置的符號——數(shù)對；初步練習(xí)用數(shù)對確定位置——多層練習(xí)，鞏固運用新知識，實現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”（二次數(shù)學(xué)化）——座位里的數(shù)對、拓展延伸。

二、教學(xué)過程

1.片段一：情境激趣引入——用課件展示教室座位圖

師（出示座位圖）：這是五年級某一個班的座位圖，他們的班長叫小軍，你知道他是哪一個嗎？

生：不知道！

師：那我就給點提示吧。他呀，在第4組。

生：第4組第3個。

師：猜對了！他就在第4組第3個（見圖1），

圖1

這個位置還可以怎么說？

生1：第3排第4個。

生2：第3排倒數(shù)第3個。

師：光說第幾組或第幾排能確定小軍位置嗎？

生：不能。還得說清楚是在第幾組第幾個，或者第幾排第幾個。

師：對！既然第幾組第幾個或者第幾排第幾個就能確定小軍位置了，那我們還研究什么呢？怎樣才能更準(zhǔn)確、簡明地說出小軍的位置呢？今天我們就一起來探究一下“確定位置”。

評析：在讓學(xué)生用以前學(xué)過的知識猜班長小軍的位置時，不僅能喚起以前所學(xué)習(xí)的知識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，也在讓學(xué)生用以前知識描述位置時，感受學(xué)生說法很多，容易產(chǎn)生誤導(dǎo)，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)規(guī)范語言的需要。但老師過渡有點快，沒有讓學(xué)生感受到為什么還要研究的原因，而是老師直接說“由于說法太多，容易產(chǎn)生誤導(dǎo)”。

2.片段二：對已有知識提升——理解確定座位以及點的位置的方法

師：（PPT顯示字幕）在今天的確定位置中，會用到兩個新的名詞，引出：什么叫列？什么叫行？【板書：列 行】

生：豎排就叫做列?！景鍟贺Q列】橫排就叫做行?！景鍟簷M行】

師:你能用手勢比劃比劃嗎？（學(xué)生指教室座位）其實，豎排（手勢）就是我們以前說的——小組，【板書：（組）】橫排（手勢）就是我們以前說的——一排。【板書：（排）】

師：接著看，我們做出了一個什么約定？你認(rèn)為怎么確定第幾列和第幾行？（學(xué)生邊描述，邊比劃。）

評析：通過學(xué)生獨自閱讀，根據(jù)二年級學(xué)習(xí)確定第幾組，第幾排的知識，進(jìn)行知識遷移，逐步理解確定第幾列和第幾行的數(shù)的順序。這樣做，一方面培養(yǎng)了學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力，另一方面，在學(xué)生描述與比劃中，培養(yǎng)了學(xué)生的表達(dá)能力與豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，加深對規(guī)則的理解。

師：我們來試一試！請同學(xué)們注意觀察。第4列同學(xué)請起立；再請第3行同學(xué)起立。

師：誰站了兩次。為什么他站了兩次？

生：因為他既在第4列，又在第3行。

師：既在第4列，又在第3行的這個人有幾個？

生：一個。

師：對！只有他一個。你看，抓住列數(shù)和行數(shù)就能準(zhǔn)確確定位置，而且這個交叉點的位置是唯一的！

師：約定：先說列數(shù)，再說行數(shù)，他的位置就應(yīng)該說成是——

生：第4列第3行。

師：你能用這樣的說法來描述自己的位置嗎？比如，我的位置在第4列第3行。誰來試試？

評析：請第4列和第3行同學(xué)起立，一方面鞏固前一環(huán)節(jié)確定位置的方法，另一方面讓學(xué)生理解抓住列數(shù)和行數(shù)即能確定交叉點的位置，體會位置的唯一性，同時也為后面把座位抽象成點的確定位置的方法做準(zhǔn)備。

3.片段三：初次數(shù)學(xué)化——探索表示方法，寫出“數(shù)對”

師：剛才說的這些點的位置，你能快速的記錄下來嗎？（學(xué)生拿出答題單，準(zhǔn)備聽寫。）

師：停！怎么了？

生：寫不下來，太快了。

師：你能不能找出一種更簡單的方法來表示剛才我說的位置呢？我們就以第4列第3行為例，抓住其中重要的信息（4列和3行），請你想出一種更簡單的方法來表示它！設(shè)計設(shè)計，寫在答題單上。

師：我們來看看，這里我收集了幾位同學(xué)設(shè)計的方法，這些方法是否合理呢，我們一起來探討一下！

評析：在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生設(shè)計的方法多種多樣，教師選擇3種有代表性的進(jìn)行展示交流，指出第三種方法和數(shù)學(xué)家設(shè)計的是一樣的，最終指出“數(shù)對”這一概念。教師沒有直接告訴學(xué)生“數(shù)對”這一符號表示，而是充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，在設(shè)計方法與比較交流過程中，理解符號設(shè)計的重要性與合理性，增強(qiáng)了學(xué)生思考的學(xué)習(xí)體驗。

4.片段四：二次數(shù)學(xué)化——數(shù)對體驗與平面直角坐標(biāo)介紹

師：現(xiàn)在，老師要考考大家的反應(yīng)能力！我直接報數(shù)對，請符合要求的同學(xué)迅速起立。數(shù)對（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）。

師：奇怪了，怎么就齊刷刷地站起來一隊同學(xué)呢？

生：因為他們都是第3列的同學(xué)。

師：如果讓你來說幾個數(shù)對，你能讓一隊同學(xué)都站起來嗎？誰來試試？

生：（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）。

師：真不錯！說幾個數(shù)對，站起來一隊同學(xué)。但我覺得這還不算什么！要是我說，我只給一個數(shù)對，就可以請一隊同學(xué)站起來，信嗎？

生：信。

師：咱們試一試？【板書數(shù)對：（4，y）】符合要求的同學(xué)請站起來。

師：奇怪，我上面寫數(shù)對（4，2）了沒？那你干嘛站起來？

生：y是未知數(shù)，（4，y）可以表示第4列的所有同學(xué)。

師：4已經(jīng)確定了是第4列的同學(xué)，而y是未知數(shù)，它表示任何一行，（4，y）可以表示第4列的所有的位置？瞧！老師厲害吧，出一個數(shù)對，就能請一隊同學(xué)站起來。你能試一試嗎？

生1：(5,y)。（交流體驗。）

生2：(6,y)。（交流體驗。）

師：剛才這兩個數(shù)對都可能讓一列同學(xué)站起來，那能請一行同學(xué)站起來嗎？誰來試試？師（板書數(shù)對）：你為什么站起來？

生:(x,3)。（交流體驗。）

師：說一個數(shù)對，能讓一隊同學(xué)站起來嗎？可能讓全班都站起來嗎？

生：（x,y）。

師：為什么這個數(shù)對能讓全班都站起來？

生1：因為x和y都是未知數(shù)，所以可能表示全班同學(xué)的位置。

生2：因為x表示所有可能的列數(shù)，y表示所有可能的行數(shù)。

師：x表示所有的列數(shù)，y表示所有的行數(shù)，它們可以任意組合，所以能代表班上任何一個同學(xué)的位置！

師：字母表示任何數(shù)，（板書數(shù)對：（x，x））也能讓全班站起來嘍！你怎么看？

生：不能表示全班同學(xué)的座位。它只表示列數(shù)和行數(shù)相同的座位。

師:當(dāng)x等于1時，是數(shù)對（1,1）（板書）誰站起來？當(dāng)x等于2呢？當(dāng)x等于3呢等于4？等于5？不是說字母可以表示任何數(shù)嗎？怎么不全班都站起來呢？

評析：學(xué)生的活動興趣很高，極大多數(shù)同學(xué)都能參與有效的活動中，在站立、爭論、疑、論駁中，充分體會字母表示的數(shù)對的含義，再一次將學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和學(xué)習(xí)體驗感推向高潮。但是，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)五年級的學(xué)生對于用數(shù)對（x,y）表示全班同學(xué)的位置，理解上存在一定的困難，因此，這個地方最好留給學(xué)生課后去思考。

師：其實，除了教室里同學(xué)們的座位可以用數(shù)對來表示，平面圖上的點也可以用數(shù)對來表示。

師：老師把之前的點子圖給它加上橫線和豎線還有必要的數(shù)字，請看，變成了什么？

生1：棋盤。

生2：方格圖。

師：變化后，你們覺得有什么優(yōu)點？

生1：這樣表示更簡單了。

生2：這樣比剛才更清楚了。

師：指著原點：這個位置在哪里？

生：第0列第0行。

師：用數(shù)對怎么表示？

生：（0,0）。

師：班長小軍的位置用數(shù)對表示是（4，3）。你能在方格中找到他的位置嗎？（任意指幾個點）那這一個點的位置用數(shù)對表示為？

師：判斷很準(zhǔn)確！接著來看一看！（課件出示動態(tài)演示縮放圖，突出點的位置，第二象限）如果這個點在這兒（見圖2），你還能用數(shù)對表示它的位置嗎？

圖1

生1：加方格。

生2：加數(shù)字。

師：怎么加？加什么數(shù)字？

生：負(fù)數(shù)。

師：太棒了！往相反方向添加了負(fù)數(shù)，再沿著原來方格的邊線，反向延長，現(xiàn)在你能用數(shù)對表示這個點的位置嗎？（見圖3）

圖3

生：（-4,3）。

師：負(fù)數(shù)都派上用場了，可別小看這一個小小的突破。有了負(fù)數(shù)的加盟，我們還能用數(shù)對來表示這個點的位置嗎？怎么辦？

生：加數(shù)字和方格。

評析：這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，為接下來展示平面直角坐標(biāo)做準(zhǔn)備，也讓學(xué)生對這一概念有了初步了認(rèn)識。教學(xué)完后反思，對于小學(xué)五年級的學(xué)生來說，是否講到第二象限就夠了，至于第三象限和第四象限點的位置的問題，應(yīng)該留給學(xué)生下去思考。

5.片段五：人文拓展——發(fā)明者笛卡兒的介紹，其他領(lǐng)域的運用

師：這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用什么方法確定位置？

生：用數(shù)對的方法確定位置。

師：學(xué)習(xí)數(shù)對，我不得不提到一個人，著名數(shù)學(xué)家——笛卡爾。

師：笛卡兒這種獻(xiàn)身數(shù)學(xué)的決心和毅力是值得我們每個人學(xué)習(xí)的。其實，在剛才的學(xué)習(xí)過程中，我已經(jīng)看到了同學(xué)們探究知識的欲望和精神，希望大家能把對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度和熱情繼續(xù)保持下去！你們能做到嗎？

師：確定位置的學(xué)習(xí)，對今天的社會進(jìn)步又有哪些作用呢？（多領(lǐng)域的應(yīng)用：經(jīng)緯線的介紹與馬航失聯(lián)事件的說明，見圖4）希望學(xué)生能把知識學(xué)以致用，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活。

圖4

評析：通過笛卡兒故事的介紹，讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)文化的熏陶，進(jìn)而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心。另外，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)不僅局限于書本，應(yīng)該將學(xué)習(xí)的知識與實際生活相聯(lián)系，學(xué)以致用，哪怕是讓學(xué)生知道和體會其學(xué)習(xí)的用途。

三、學(xué)習(xí)體驗

1.創(chuàng)設(shè)簡明數(shù)學(xué)情境，增強(qiáng)“數(shù)對”學(xué)習(xí)體驗

本節(jié)課緊緊圍繞學(xué)生的座位情境進(jìn)行教學(xué)，從一開始找小軍座位，描述自己在班級中的位置——抽象到點的位置——用數(shù)對說位置——考考學(xué)生反應(yīng)能力等過程，學(xué)生一直沉浸在列數(shù)與行數(shù)確定置的方法體驗與抽象思維的形成上，最終掌握用數(shù)對確定位置這樣一種簡單有效的方法。在情境中，結(jié)合找座位，說座位，快速站立，不斷鞏固確定位置的相關(guān)知識與方法，讓學(xué)生在“動手”與“動腦”相結(jié)合的學(xué)習(xí)活動中，獲得較為深刻的學(xué)習(xí)體驗。[1]正如學(xué)生所言：“今天我們學(xué)習(xí)用數(shù)對表示自己的位置，可以讓一行或一列同學(xué)站起來，更神奇的是還可以讓全班都站起來，給我的印象太深了”。

2.設(shè)計簡潔“數(shù)對符號”，交流學(xué)習(xí)體驗

數(shù)對的引入，老師沒有直接告訴，而是提出制造一種符號使用的需要：“怎樣才能快速地記錄這些位置呢？”在認(rèn)知沖突中，讓學(xué)生感受“符號化”的作用，從而更加感受數(shù)學(xué)符號的簡潔和魅力。在展示學(xué)生設(shè)計的表示位置的方法（4列3行，4-3,4L3h等）中，讓學(xué)生相互交流、探討方法的合理性，最終使學(xué)生發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一的數(shù)對符號表示、設(shè)計簡潔數(shù)對符號表示的需要。學(xué)生在交流的學(xué)習(xí)體驗中，加深了用數(shù)對確定位置的學(xué)習(xí)體驗。

正如學(xué)生所說：“這節(jié)課十分有趣，我知道了數(shù)對可以簡便地寫出準(zhǔn)確的位置?！薄奥爩懙臅r候，我以為老師說的很慢，結(jié)果說的很快，當(dāng)老師說完我才寫好6個字。自己在設(shè)計的時候想如果用p4p3會認(rèn)為是做第幾頁，最后我想先寫一個小括號再寫4和3，中間打一個點，可能會被認(rèn)為是一個小數(shù)。最后老師教了我們一種，我覺得這種既簡單，又好記。”

3.“數(shù)形結(jié)合”思想體驗，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

從“初次數(shù)學(xué)化”到“二次數(shù)學(xué)化”，讓學(xué)生感受逐步進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過程；緊緊圍繞確定位置的方法——“找列數(shù)與行數(shù)”，從“座位圖”到“點子圖”再到“方格圖”，最后到解決“方格外的點”的位置。這樣把一個個難題拋給學(xué)生，有的學(xué)生可能會在教師的引導(dǎo)下想到負(fù)數(shù)的概念，進(jìn)而解決平面上點的位置的表示方法。[2]這是一種大膽的教學(xué)想法與嘗試，從教學(xué)過程中學(xué)生的表現(xiàn)以及學(xué)生課后的學(xué)習(xí)心得發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能通過這樣的設(shè)計獲得“數(shù)形結(jié)合”的思想體驗。正如學(xué)生所言：“在確定位置這堂課中，我學(xué)到了許多，怎樣確定位置以及數(shù)對的讀法、用法等。老師還給我們說了數(shù)對的來歷，以及那位科學(xué)家發(fā)現(xiàn)研究數(shù)對的過程。是啊！生活就是需要發(fā)現(xiàn)與觀察，這樣才能不斷的創(chuàng)新、發(fā)展?！笨梢姟笆谥贼~不如授之以漁”。

[1]呂傳漢，汪秉彝.論中小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（02）：74-79.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬譯，上海:上海教育出版社，1995.

責(zé)任編輯：熊顯萍

Learning Experience Case on Applying Coordinate to Determine Position

JIANG Ling-ling1YU Jun2
（1.Experimental Primary School of Guiyang，Guiyang，Guizhou 550001,China; 2.The Teacher Study College of Nanming Township,Guiyang，Guizhou 550000,China）

From process of using the column and line to determine the location in real life，the students inquiry the ways on applying coordinate to determine position the location of points.The students development and application of mathematical reasoning in Mathematic thing.

Mathematic thing;Number and shape;Learning experience

1009—0673（2016）03—0109—05

G623.5

A

2016—04—15

蔣玲玲（1987— ），女，貴州貴陽人，貴陽市第一實驗小學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。