江西省九江第一中學(xué)　(332000)

楊艷萍

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猜想·論證
——一類圓錐曲線問題的處理與分析

江西省九江第一中學(xué)(332000)

楊艷萍

圓錐曲線中求范圍、定點、定值的問題，由于其難度大、計算復(fù)雜等特征，一直是高中生學(xué)習(xí)的一個難點.很多時候?qū)W生有想法，能夠設(shè)計出有效解題方案，但在繁雜的計算過程中卻因筆誤、計算失誤等原因?qū)е聛G分嚴(yán)重.如果通過對題目條件的解讀，能夠利用特例或運動極限觀快速猜測出答案，則為構(gòu)建解題思路和解題技巧提供了方向，還可以及時發(fā)現(xiàn)并糾正計算過程中的種種失誤、有效減少出錯，從而提高解題的準(zhǔn)確率.

1.用特例或運動極限觀解答圓錐曲線中求范圍、定點、定值問題的基本思路

(1)利用特例解答圓錐曲線中求范圍、定點、定值問題

基本思路：特例?猜測結(jié)果?檢驗結(jié)果?得出結(jié)論;

(2)利用運動極限觀解答圓錐曲線定點、定值問題

基本思路：極限位置?猜測定點(值)?檢驗定點(值)?得出結(jié)論.

2.用特例或運動極限觀解答圓錐曲線中求范圍、定點、定值問題的優(yōu)點

(1)由特例或極限位置能夠快速猜測到結(jié)果，提高學(xué)生解答本題的自信心；

(2)檢驗結(jié)果時，發(fā)現(xiàn)與猜測結(jié)果不吻合，可以立刻重新計算或重新思考，有效杜絕因筆誤、計算失誤而導(dǎo)致的丟分，從而提高準(zhǔn)確率.

一、利用特例解答圓錐曲線定點、定值問題

例1(2016高考全國卷)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

圖1

圖2

(取特例)②，如圖2，直線l與x軸重合;易得|MN|=2a=4，|PQ|=

圖3

(1)求橢圓E的方程；

(2)(分析)常規(guī)方法解答此題，學(xué)生無從下手，很茫然，不知道怎樣將P，Q兩點關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式；如果取直線l的特例，猜測出點Q的坐標(biāo)，將抽象的點Q轉(zhuǎn)化為具體的點Q再進行證明，學(xué)生就有一種撥開云霧見青天的感覺.

(取特例)①當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于A、B兩點.

(猜測定點)所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標(biāo)只可能為Q(0,2).

圖4

(檢驗定點)下面證明：

當(dāng)直線l的斜率不存在時，由特例可知，結(jié)論成立.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；

圖5

圖6

二、利用運動極限觀解答圓錐曲線定點、定值問題

圖7

例5已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)．

(1)求頂點C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E為何種圓錐曲線；

-mx2+y2=1(m≠0).

當(dāng)m<-1時,軌跡E表示焦點在y軸上的橢圓，且除去(0,1),(0,-1)兩點；

當(dāng)m=-1時,軌跡E表示以(0,0)為圓心半徑是1的圓，且除去(0,1),(0,-1)兩點；

當(dāng)-1

當(dāng)m>0時,軌跡E表示焦點在y軸上的雙曲線，且除去(0,1),(0,-1)兩點.

圖8

(猜測定點)直線MQ與x軸的交點為定點(2,0).

圖9

(得出結(jié)論)直線MQ過定點(2,0).