福建省泉州市第七中學(xué)　(362000)

楊建益　黃永生

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一道省質(zhì)檢試題的探究與推廣

福建省泉州市第七中學(xué)(362000)

楊建益黃永生

1　問題呈現(xiàn)

(2016年福建省質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)20題)已知點(diǎn)

A(-4,0),直線l:x=-1與x軸交于點(diǎn)B,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之比為2.

(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(Ⅱ)設(shè)C與x軸交于E,F兩點(diǎn)，P是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在C上，直線PE,PF分別與C交于另一點(diǎn)S,T，證明：A,S,T三點(diǎn)共線.

2　問題分析與解答

試題考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，直接利用已知條件中的等量關(guān)系，將其代數(shù)化，并化簡(jiǎn)，便可解決(Ⅰ).本題(Ⅱ)中，證明三點(diǎn)共線問題，可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的斜率相等加以解決.

圖1

解:(Ⅰ)x2+y2=4.過程略.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知曲線C的方程為x2+y2=4，如圖1，令y=0得x=±2，不妨設(shè)

E(-2,0),F(2,0)．設(shè)

P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2)，則直線PE的方程為y=y0(x+2)，由

評(píng)析:解析幾何的核心問題是用代數(shù)的方法來解決幾何問題.本題的幾何關(guān)系為“A,S,T三點(diǎn)共線”,代數(shù)化為“kAS=kAT”.由于A為定點(diǎn)，因此本題的第(Ⅱ)問可重新表述為：“設(shè)C與x軸交于E,F兩點(diǎn)，P是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在C上，直線PE,PF分別與C交于另一點(diǎn)S,T，證明：直線ST過定點(diǎn)A.”

3　問題思考

根據(jù)命題的重新表述，注意到直線l:x=-1與A(-4,0)的特殊性，引發(fā)下列思考：

(1)直線l:x=n(n≠0)，則滿足題目條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是什么？

(2)該命題的逆命題是否成立？

(3)其他的曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)是否有相應(yīng)的命題成立？

4　問題探究

將(1)代入(2)，化簡(jiǎn)得

所以，點(diǎn)P的軌跡為定直線x=n.

對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線也有相似的如下結(jié)論：

結(jié)論5已知拋物線C:y2=2px的頂點(diǎn)為O，P是直線l:x=n(n≠0)上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在C上，直線PO與C交于點(diǎn)S，過點(diǎn)P作與x軸平行的直線交C于點(diǎn)T，則直線ST過點(diǎn)A(-n,0).

上面三個(gè)結(jié)論的證明與結(jié)論1證明類似，這里提供結(jié)論3的一種簡(jiǎn)證方法.

通過進(jìn)一步探究，以上三個(gè)結(jié)論的逆命題也成立，即:

結(jié)論8已知拋物線C:y2=2px的頂點(diǎn)為O，過A(-n,0)(n≠0)的直線與拋物線C交于S,T兩點(diǎn)，過點(diǎn)T作與x軸平行的直線與直線SO的交點(diǎn)為點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡為定直線x=n.

限于篇幅，結(jié)論6,7,8證明從略.

[1]黃永生,楊丹.2015年高考福建文科數(shù)學(xué)卷第19題(Ⅱ)的探究與推廣[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(2):11-12.