福建省閩清高級中學(xué)　(350800)

黃如炎

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優(yōu)選直線方程，減少解題長度

福建省閩清高級中學(xué)(350800)

黃如炎

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高中平面解析幾何的核心問題，是高考的重點(diǎn)，熱點(diǎn)和難點(diǎn)．對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，教師們投入了成倍課時，設(shè)計了復(fù)習(xí)專題，強(qiáng)化了考試練習(xí)．學(xué)生們傾注了大量學(xué)時，經(jīng)歷了艱難思路，進(jìn)行了繁雜運(yùn)算，但教學(xué)效果卻大失所望．主要原因是缺乏算理，導(dǎo)致大運(yùn)算量使解題半途而廢．除了數(shù)形結(jié)合，回歸定義，設(shè)而不求，代標(biāo)相減等方法可減少運(yùn)算量外，還有影響運(yùn)算量的一個很重要因素卻被人們忽視了．在研究直線和圓錐曲線位置關(guān)系時，圓錐曲線方程相對確定，但直線方程的選擇是多樣的，若能根據(jù)題情選取最優(yōu)直線方程，則可大大簡化運(yùn)算求解過程．

1.優(yōu)選直線y=kx+b

例1已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．

(Ⅰ)證明：直線OM斜率與l斜率乘積為定值．

對(Ⅰ)易證kOM·k=-9,(Ⅱ)解答如下．

解法1:(標(biāo)準(zhǔn)解答)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0,y0)．四邊形OAPB為平行四邊形等價于AB、OP互相平分，即AB、OP中點(diǎn)重合，∴x1+x2=x0(1).

2.優(yōu)選直線x=ky+b

在研究直線l與圓錐曲線位置關(guān)系時，若圓錐曲線方程中含x的項(xiàng)比含y的項(xiàng)簡單(x只含一次項(xiàng)或x2系數(shù)比y2系數(shù)簡單),則應(yīng)選擇直線方程為x=ky+b.

圖1

(1)求橢圓M的方程；

(2)若直線l與圓O相切，且與橢圓M相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

(2016年福建省高中畢業(yè)班質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)第20題)

3.優(yōu)選直線y=k(x-x0)+y0

在研究過點(diǎn)(x0,y0)的直線l與拋物線x2=2py位置關(guān)系時，當(dāng)l不垂直坐標(biāo)軸時，可設(shè)l：y=k(x-x0)+y0，也可設(shè)l：x=k(y-y0)+x0．為避免直線方程代入拋物線方程時出現(xiàn)的平方運(yùn)算，l方程應(yīng)優(yōu)選為y=k(x-x0)+y0．

在研究過點(diǎn)A(0,y0)的直線l與圓錐曲線位置關(guān)系時，當(dāng)l不垂直坐標(biāo)軸時，可設(shè)l：y-y0=k(x-0)，即l：y=kx+y0，也可設(shè)l：x-0=k(y-y0)，即x=ky-ky0．顯然y=kx+y0優(yōu)于x=ky-ky0(y=kx+y0中僅一個含字母k的項(xiàng)，x=ky-ky0中有二個含k的項(xiàng))．

4.優(yōu)選直線x=k(y-y0)+x0

在研究過點(diǎn)(x0,y0)的直線l與拋物線y2=2px位置關(guān)系時，l方程應(yīng)優(yōu)選為x=k(y-y0)+x0．在研究過點(diǎn)(x0,0)的直線l與圓錐曲線位置關(guān)系時，l方程應(yīng)優(yōu)選為x=ky+x0．

例3已知點(diǎn)A(-4,0)，直線l：x=-1與x軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之比為2．

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)C與x軸交于E、F兩點(diǎn)，P是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在C上，直線PE、PF分別與C交于另一點(diǎn)S、T，證明：A、S、T三點(diǎn)共線．

(2016年福建省高中畢業(yè)班質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)第(20)題)

對(1)易求C的方程為x2+y2=4,(2)解答如下．

解法2:(優(yōu)選直線)設(shè)E(-2,0)，F(xiàn)(2,0)，P(-1,y0)，S(x1,y1)，T(x2,y2)．設(shè)直線PE方程為y=y0(x+2)時，方程中有二個含字母y0的項(xiàng)．

可見在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，為減少運(yùn)算量和解題長度，在選擇直線方程時，應(yīng)盡可能減少方程的字母和項(xiàng)數(shù)．在直線方程的字母和項(xiàng)數(shù)相近情況下，如果圓錐曲線方程中含x的項(xiàng)比含y的項(xiàng)簡單，則應(yīng)選擇直線方程為x=ky+b或x=k(y-y0)+x0的形式．否則，選擇直線方程為y=kx+b或y=k(x-x0)+y0的形式．