北京市第十二中學(xué)　(100071)

劉　剛　趙　毅

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2016年高考江蘇卷數(shù)學(xué)14題的探究與啟示

北京市第十二中學(xué)(100071)

劉剛趙毅

1　試題

(2016年高考江蘇，14)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是．

試題以人教社B版教材154頁(yè)第7題“在斜ΔABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanB·tanC．”為依托，考查了三角形中在給定限制條件下代數(shù)式最值的問(wèn)題．試題思維量大，起點(diǎn)高，起到了填空壓軸題的作用，有利于區(qū)分學(xué)生的能力和水平，是一道回歸課本的好題．

2　錯(cuò)解及錯(cuò)因

錯(cuò)解:在銳角三角形ABC中，因?yàn)閠anAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，且tanA+tanB+tanC≥

3　解法探究

思路一:利用tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC求解.

上文已經(jīng)論述了未經(jīng)許可演繹作品可依法取得完整著作權(quán)，但依然有學(xué)者從“應(yīng)然”的角度認(rèn)為，未經(jīng)許可演繹作品取得了著作權(quán)后會(huì)有損原作品著作權(quán)人的利益，即便授予了著作權(quán)也應(yīng)當(dāng)從權(quán)能上予以限制。這都是因?yàn)槠洳⑽凑J(rèn)識(shí)到，著作權(quán)在行使方式上，在性質(zhì)上與物權(quán)法具有區(qū)別。因此，此處將首先探討著作權(quán)與物權(quán)所不同的一個(gè)特有性質(zhì)，然后依據(jù)該性質(zhì)來(lái)對(duì)著作權(quán)的行使方式進(jìn)行分析，最后對(duì)部分學(xué)者所表現(xiàn)出的擔(dān)憂(yōu)予以回應(yīng)。

點(diǎn)評(píng):解法通過(guò)配湊，利用柯西不等式求最值，有一定的技巧性，對(duì)于搞競(jìng)賽的學(xué)生有優(yōu)勢(shì)．

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)法是解決最值問(wèn)題的萬(wàn)能方法，容易操作，是一種不錯(cuò)的選擇．上述解法還不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)進(jìn)一步討論函數(shù)的單調(diào)性，但從考試的角度，尤其作為客觀(guān)題，這樣處理顯然能節(jié)約很多時(shí)間．

思路二：消掉角B,C進(jìn)行求解

解法3：利用二次函數(shù)

解法4：利用輔助角公式

點(diǎn)評(píng):解法通過(guò)降冪，使分子、分母變?yōu)橐淮问?，通過(guò)設(shè)參，把分式變?yōu)檎叫问?，然后運(yùn)用輔助角公式進(jìn)行解決，這是求最值的一種常用方法．

4　變式

(1)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanA+tanB+tanC的最小值；

(2)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanA(tanB+tanC)的最小值；

(3)在銳角三角形ABC中，若sinA=λsinBsinC(λ>0)，求tanAtanBtanC的最小值；

(4)在銳角三角形ABC中，若sinA=4cosBcosC，求tanAtanBtanC的最小值；

(5)在銳角三角形ABC中，若sinA=4cosBcosC，求tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值．

解:(1)8；

(2)由sinA=2sinBsinC，得tanB+tanC=2tanBtanC，所以tanA(tanB+tanC)=2tanAtanB·tanC，所以最小值是16；

(3)4λ；

(4)因?yàn)閟inA=4cosBcosC，所以sin(B+C)=4cosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=4cosBcosC，兩邊同除以cosBcosC，得tanB+tanC=4．因?yàn)閠anAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+4=

5　啟示

教材是集體智慧的結(jié)晶，教材中的例習(xí)題具有示范性和典型性，是引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本理論分析與解決問(wèn)題的重要參考資料．通過(guò)例習(xí)題的解決能使學(xué)生搞清基本概念，啟發(fā)學(xué)有所用，用有所疑，疑有所思，從而將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．所以在復(fù)習(xí)中，要認(rèn)真研究每一道例習(xí)題，挖掘題目?jī)?nèi)涵，提倡一題多解、一題多變，形成網(wǎng)絡(luò)，這樣就能少走彎路，復(fù)習(xí)才會(huì)有實(shí)效．