江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)　(215004)

周　磊

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例談由動點(diǎn)軌跡形成區(qū)域的面積求法

江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)(215004)

周磊

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常遇到一類以動點(diǎn)軌跡構(gòu)成區(qū)域的面積為背景的填空題，這種題型設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，容易給學(xué)生造成思維障礙．因此，加強(qiáng)對這類題型的思路探究，可以開闊學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的分析思維，提高學(xué)生解決問題的能力．本文中，筆者將擷取相關(guān)例題細(xì)細(xì)品評，利用Geogebra軟件展示分析過程，與讀者交流.

探究1基于坐標(biāo)變換背景下的區(qū)域形成

例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為.

圖1

分析:首先利用換元法設(shè)出區(qū)域B內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)區(qū)域A內(nèi)點(diǎn)的約束條件求出區(qū)域B內(nèi)點(diǎn)的約束條件，然后畫出可行域，最后由三角形面積公式求出答案.

例2直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集A={(x,y)|x2+y2≤1}，B={(x,y)|x≤4,y≥0,3x-4y≥0}，求點(diǎn)集Q={(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}所表示的區(qū)域的面積.

圖2

解:由x=x1+x2，y=y1+y2，得x1=x-x2，y1=y-y2.∵(x1,y1)∈A，把x1=x-x2，y1=y-y2，代入x2+y2≤1.∴(x-x2)2+(y-y2)2≤1，點(diǎn)集Q所表示的區(qū)域是以集合B={(x,y)|x≤4,y≥0,3x-4y≥0}的區(qū)域的邊界為圓心、半徑為1的圓內(nèi)部分，如圖2所示，其面積為5+6+4+3+π=18+π.

圖3

探究2基于函數(shù)圖像變換背景下的區(qū)域形成

圖4

例4已知函數(shù)f(x)=x2-2x，則滿足條件

例5已知a,b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax+b|x-1|(x∈R)，若a,b∈(-2,2)，且函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)存在最大值，試在平面直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)，求出動點(diǎn)(a,b)運(yùn)動區(qū)域的面積.

分析:先化簡函數(shù)，若a,b∈(-2,2)，且函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)存在最大值，則需

圖5

解:f(x)=

例6已知函數(shù)f(x)=|x2-2|，若f(a)≥f(b)，且0≤a≤b，則滿足條件的點(diǎn)(a,b)所圍成的面積為.

圖6

探究3：基于幾何圖形運(yùn)動背景下的區(qū)域形成

例7如圖7放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB=90°，AC=2)沿x軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)A(x，y)的軌跡方程是y=f(x)，則f(x)在其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為.

圖7

圖8

圖9

例9已知集合A={(x,y)|y=x2+2bx+1}，B={(x,y)|y=2a(x+b)}，其中a,b為負(fù)實(shí)數(shù)，且A∩B=?，則集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=1}對應(yīng)圖形的面積為.

首先，以{(a,b)|a2+b2<1,a,b<0}區(qū)域邊界上的點(diǎn)為圓心，畫出一些圓，得出所求區(qū)域的外圍邊界；再以內(nèi)部一些點(diǎn)為圓心，同樣可畫出部分圓；最后發(fā)現(xiàn)所有區(qū)域中圓軌跡如圖10所示.

圖10 圖11

結(jié)語

本文中，筆者利用GeoGebra軟件研究了一類關(guān)于動點(diǎn)軌跡構(gòu)成的區(qū)域面積問題，這種基于代數(shù)背景的幾何問題，在解題時(shí)，對抽象思維要求較高，會給學(xué)生的解題思維造成障礙.基于上述考慮，筆者利用GeoGebra教學(xué)軟件，可以很直觀、動態(tài)地展示形成的幾何圖形；更為重要的一方面在于，筆者基于該軟件將此類問題分布轉(zhuǎn)化，分析問題時(shí)，可以培養(yǎng)學(xué)生借助尺規(guī)作圖，提升動手能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，從而分析如何優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程，探索數(shù)學(xué)教學(xué)新模式.