安徽省合肥市第一中學(xué)

李涵秋　　(郵編：230601)

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一道平面幾何題的探究歷程

安徽省合肥市第一中學(xué)

李涵秋(郵編：230601)

學(xué)習(xí)是一個不斷探索的過程.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要的目的是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅要理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)因素與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，還應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)屬于自己的數(shù)學(xué)思維方法，比如抽象性的數(shù)學(xué)思維方法、建構(gòu)性的數(shù)學(xué)思維方法等.更重要的是要鍛煉自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的思維品質(zhì).筆者以下面一道平面幾何題的探究過程為例，談?wù)剶?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的問題探究，供大家借鑒與思考.

1　問題呈現(xiàn)

1.1原題

如圖1，矩形ABCD中，P、Q分別在邊BC和AD上，且BP=DQ，連接AP、CQ分別交對角線BD于E、F，連接EQ、FP，判斷四邊形EPFQ的形狀，并證明.

圖1

解 四邊形EPFQ的形狀是平行四邊形，理由如下：

證明∵BP=DQ，四邊形ABCD為矩形，

∴AQ=CP且AQ∥CP.

∴ 四邊形APCQ為平行四邊形，

∴AP∥CQ，

易證△DFQ≌△BEP，

∴FQ=EP，

∴FQPE，

故四邊形EPFQ為平行四邊形.

1.2問題發(fā)現(xiàn)

(1)知識點分析：本題主要運用了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定以及三角形全等的知識.解決此題的方法有很多，上面只是提供了一種證明思路.

(2)拓展區(qū)分析：本題值得思考的地方有很多，比如原題中證明的平行四邊形會不會是特殊的平行四邊形，如菱形、矩形、正方形等？如果是特殊的平行四邊形，原題中提供條件顯然不夠，那么成立的條件是什么？這個問題值得探究與思考.

2　拓展探究

2.1探究一

(1)問題提出

圖2

如圖2，矩形ABCD中，設(shè)AB=a，BC=b(a

(2)問題分析

菱形是對稱圖形.由于線段AB小于線段AD，也就保證了菱形存在的必然性.在原題已經(jīng)證明的平行四邊形的基礎(chǔ)上，若平行四邊形QEPF是菱形，則線段PQ與線段EF一定垂直平分，此時，EQ=EP，∠FEQ=∠FEP.所以，線段BP和線段BQ的長度一定相等.連接線段BQ，即可以運用勾股定理找到x與a、b之間的關(guān)系.

(3)問題解決

圖3

解析如圖3，若四邊形PEQF是菱形，可知點P和點Q關(guān)于直線BD對稱，所以BQ=BP=x，

2.2探究二

(1)問題提出

圖4

如圖4，矩形ABCD中，AB=a，BC=b(a

(2)問題分析

借助幾何畫板軟件驗證是否存在：

圖5

圖6

(3)問題解決

根據(jù)上面幾何畫板軟件測量工具，發(fā)現(xiàn)四邊形EPFQ是否會是矩形，與矩形ABCD中AB和CD的長度有關(guān)，也就是說與寬長之比有關(guān).那么寬長之比滿足什么條件時，四邊形EPFQ可以是矩形？

①如圖4，若四邊形EPFQ是矩形，

則∠ABP=∠EPF=∠QFP=90°.

易證△ABP∽△PFC,

化簡得：x3+bx2-b2x+a2b=0.

也就是說，當(dāng)a,b滿足什么條件時，這個一元三次方程有解？有解則矩形存在，若無解，則矩形不存在.

由盛金公式：

一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0,(a,b,c,d∈R且a≠0)

總判別式△=B2-4AC.

由△=B2-4AC

=(-b3-9a2b)2-4×4b2(b4-3a2b2)

=81a4+66a2b2-15b4

=3(27a2-5b2)(a2+b2).

圖7

由盛金定理得：

只有當(dāng)△=B2-4AC=3(27a2-5b2)(a2+b2)<0成立，并有三個實數(shù)解.

②借助幾何畫板可以驗證得出該結(jié)論的正確性，如圖(7)(8)(9)所示：

圖8

圖9

原題是初中平面幾何中的一道幾何證明題，難度不大，考查基本的四邊形、平行四邊形、矩形以及三角形全等等知識.學(xué)習(xí)的最終目的是運用已有知識去發(fā)現(xiàn)探究更多的未知領(lǐng)域.這就需要我們能發(fā)現(xiàn)問題并主動提出問題，進(jìn)而分析問題并解決問題.

1邵泉成.高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思維方法探究[J].成才之路, 2015(13):72-73

2王永. 論中學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)[J].魅力中國, 2010(32):178-178

2016-06-26)