蒲軍*，劉傳喜，尚根華.中國(guó)石化石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京海淀 000832.中國(guó)科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所，河北廊坊 065007

3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京石景山 100190

基于流線(xiàn)積分法的注水井網(wǎng)非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量模型

蒲軍1，2，3*，劉傳喜1，尚根華11.中國(guó)石化石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京海淀 100083
2.中國(guó)科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所，河北廊坊 065007

3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京石景山 100190

低滲透油藏注水開(kāi)發(fā)通常表現(xiàn)為油水兩相非達(dá)西滲流，基于達(dá)西定律推導(dǎo)的計(jì)算方法不再適用。根據(jù)流線(xiàn)積分法基本原理，考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響，推導(dǎo)了單根流管中油水前緣突破前后的產(chǎn)量計(jì)算公式，然后引入面積井網(wǎng)注水開(kāi)發(fā)過(guò)程中啟動(dòng)角的計(jì)算方法，最終通過(guò)建立數(shù)值積分可以得到不同井網(wǎng)形式下的非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算模型。對(duì)比了模型計(jì)算結(jié)果與油田實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，證實(shí)了模型的可靠性，能夠滿(mǎn)足油田現(xiàn)場(chǎng)產(chǎn)量預(yù)測(cè)的要求。運(yùn)用該模型計(jì)算并探討了啟動(dòng)壓力梯度、井網(wǎng)形式及生產(chǎn)壓差對(duì)油井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)啟動(dòng)壓力梯度對(duì)油井生產(chǎn)影響大，在開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)過(guò)程中不能忽略；五點(diǎn)井網(wǎng)產(chǎn)量高、遞減慢，在條件允許的情況下應(yīng)該盡量采用五點(diǎn)井網(wǎng)；合理提高生產(chǎn)壓差能夠提高采油速度，縮短油田開(kāi)發(fā)周期，開(kāi)發(fā)效果好。

低滲透油藏；啟動(dòng)壓力梯度；非達(dá)西滲流；流線(xiàn)積分法；啟動(dòng)角

蒲軍，劉傳喜，尚根華.基于流線(xiàn)積分法的注水井網(wǎng)非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量模型[J].西南石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，38(5)：97106.

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引言

采用面積井網(wǎng)向儲(chǔ)層注水可以有效保持油層壓力，提高油藏采油速度和采收率，是開(kāi)發(fā)低滲透油藏的重要手段[1]。但低滲透油藏孔喉微細(xì)，比表面積大，注水過(guò)程中油水兩相分別與巖石壁面發(fā)生物理化學(xué)作用而被束縛在孔喉表面形成吸附層，存在附加啟動(dòng)壓力梯度[2—6]。而目前油田注水開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)中應(yīng)用的油藏工程方法是建立在達(dá)西滲流理論基礎(chǔ)之上的，低滲透油藏并不適用[7—8]。因此，建立一套針對(duì)低滲透油藏注水開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)的計(jì)算方法十分必要。

20世紀(jì)末以來(lái)，國(guó)內(nèi)很多高校和科研機(jī)構(gòu)都開(kāi)始深入研究低滲透油藏油水兩相滲流規(guī)律。西南石油大學(xué)，中國(guó)石油大學(xué)，中科院滲流所，中國(guó)石油，中國(guó)石化等都開(kāi)展了相關(guān)室內(nèi)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究，取得了一定成果[9—13]。大慶油田的計(jì)秉玉等還運(yùn)用流線(xiàn)積分法推導(dǎo)了單相滲流條件下的低滲透油藏面積井網(wǎng)產(chǎn)量計(jì)算公式[1—4]，但基于該原理的油水兩相滲流條件下的產(chǎn)量計(jì)算方法還未有見(jiàn)研究。本文在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，建立了基于流線(xiàn)積分法的低滲透油藏面積井網(wǎng)注水開(kāi)發(fā)產(chǎn)量數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用該模型計(jì)算分析了啟動(dòng)壓力梯度、井網(wǎng)形式、井距、生產(chǎn)壓差對(duì)油井產(chǎn)量的影響，為低滲透油田注水開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。

1 建模思路與基本假設(shè)

流體在地層中的流動(dòng)可以看作是流體沿著無(wú)限根微小流管(圖1)從水井流向油井，油井的產(chǎn)量等于所有指向油井的流管產(chǎn)量之和。因此，本文的主要建模思路是以微觀流管為計(jì)算單元，首先推導(dǎo)出單根流管的水驅(qū)產(chǎn)量計(jì)算公式；然后引入低滲透油藏油水兩相滲流過(guò)程中啟動(dòng)角的計(jì)算方法；最終建立數(shù)值積分得到所有流管產(chǎn)量之和，即為油井產(chǎn)量。

圖1 流管示意圖Fig.1Sketch map of flow tube

假設(shè)地層等厚均質(zhì)，滲流流體為油相和水相，地層與油水相均不可壓縮。

2 單根流管產(chǎn)量

2.1 油井見(jiàn)水時(shí)間

取流管中軸線(xiàn)為x軸，修正Buckley-Leverett方程，可以得到流管內(nèi)等含水飽和度面移動(dòng)方程

取油水前緣含水飽和度為Swf，且從t=0時(shí)開(kāi)始注水，流管內(nèi)油水井距為L(zhǎng)，井半徑為rw，代入式(1)并積分，有

上式可以解出油井見(jiàn)水時(shí)間tf。

2.2 油井見(jiàn)水前產(chǎn)量

當(dāng)t≤tf時(shí)，油井未見(jiàn)水，流管可以油水前緣為界劃分為油水兩相滲流區(qū)和純油相滲流區(qū)。設(shè)油水前緣位置為ξ，對(duì)式(1)積分，得到

可以解出ξ，ξ是時(shí)間t的函數(shù)。

(1)當(dāng)rw＜x≤ξ時(shí)，油水兩相滲流區(qū)

此時(shí)油相和水相的啟動(dòng)壓力梯度均為含水飽和度的函數(shù)，分別設(shè)為λ(p1)、λ(w1)。油相運(yùn)動(dòng)方程為[]

由于

上式在(rw，ξ]區(qū)間內(nèi)積分，得到

(2)當(dāng)ξ＜x≤L時(shí)，純油相滲流區(qū)

設(shè)束縛水飽和度下的油相啟動(dòng)壓力梯度為λ(2)，有運(yùn)動(dòng)方程

上式在(ξ，L]區(qū)間內(nèi)積分變化，得到

由于

并令油水綜合啟動(dòng)壓力梯度為λ(1)，計(jì)算公式如下

將式(7)、(9)、(11)代入式(10)，變化后可得

其中

因此，有

此外，含油率fp(Sw)與可動(dòng)油飽和度Z有如下關(guān)系[15]

因?yàn)?/p>

有

因此

根據(jù)式(1)，對(duì)任意含水飽和度面有

將式(22)代入式(16)，可以建立積分式與坐標(biāo)x的關(guān)系如下

因此

將式(22)代入式(25)，確定Sw與x的關(guān)系

通過(guò)室內(nèi)實(shí)驗(yàn)或油田現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試可以得到λ(1)與Sw的關(guān)系，并結(jié)合式(26)，可以確定λ(1)與x的函數(shù)，記為λ(1)(x)，具體的表達(dá)式與測(cè)試結(jié)果有關(guān)。

將式(23)和λ(1)(x)代入式(12)，可以得到油井見(jiàn)水前流管產(chǎn)量為

2.3 油井見(jiàn)水后產(chǎn)量

當(dāng)t＞tf時(shí)，油井已見(jiàn)水，整根流管成為一個(gè)油

水兩相滲流區(qū)。此時(shí)，流管產(chǎn)油量為流管油水總流由前面的推導(dǎo)過(guò)程可知，兩相滲流區(qū)的總流量量與油井井壁含油率的乘積計(jì)算公式為

上式在[rw，L]區(qū)間內(nèi)積分變化后可以得到

根據(jù)前面的推導(dǎo)，上式可以變成

將式(22)代入式(17)，并取x=L，可以計(jì)算得到油井井壁處的含油率fp(pil-well)(Sw)，表達(dá)式如下

將式(31)和式(32)代入式(28)，可以得到油井見(jiàn)水后的流管產(chǎn)量為

最后得到的單根流管的產(chǎn)量計(jì)算公式為

3 啟動(dòng)角計(jì)算

低滲透油藏普遍存在啟動(dòng)壓力梯度，在一定井網(wǎng)井距和生產(chǎn)壓差下，單元內(nèi)的流體不一定都能流動(dòng)，表現(xiàn)為存在啟動(dòng)角(圖2)。

圖2 計(jì)算單元示意圖Fig.2Sketch map of calculation unit

根據(jù)圖2建立幾何關(guān)系如下

由式(35)和式(36)可以得到

且波及外邊界ABC處于臨界狀態(tài)，流速υ=0，于是有

α1、β1的值隨不同井網(wǎng)形式而變化，將式(40)代入式(39)并解三角函數(shù)方程，可以得到啟動(dòng)角α0。

4 油井產(chǎn)量計(jì)算

綜上所有計(jì)算過(guò)程，單根流管產(chǎn)量計(jì)算得到了微元，啟動(dòng)角計(jì)算確定了區(qū)間，這樣可以通過(guò)建立數(shù)值積分得到不同面積井網(wǎng)注水開(kāi)發(fā)方式下的非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量。主要計(jì)算過(guò)程如下：

(1)根據(jù)油田現(xiàn)場(chǎng)及室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測(cè)試資料確定參數(shù)pe、pw、rw、K、φ、μw、μp、λ(2)。

(2)根據(jù)公式(2)確定油井見(jiàn)水時(shí)間tf。

(3)根據(jù)式(3)確定油水前緣位置ξ。

(4)根據(jù)油田現(xiàn)場(chǎng)或室內(nèi)啟動(dòng)壓力梯度測(cè)試結(jié)果確定λ(1)與Sw的關(guān)系，結(jié)合式(26)最后得到λ(1)(x)。

(5)根據(jù)式(13)～式(15)，以油水相滲曲線(xiàn)為基礎(chǔ)，擬合得到p與Z的二次多項(xiàng)式，可以確定常數(shù)A、B、C。

(6)根據(jù)式(17)，以油水相滲曲線(xiàn)為基礎(chǔ)，擬合得到fp(Sw)與Z的冪函數(shù)關(guān)系式，確定常數(shù)a、b。

(9)將步驟(1)～(8)得到的參數(shù)代入公式(34)中，可以得到單根流管產(chǎn)量。

(10)建立數(shù)值∑n積分，得到不同面積注水井網(wǎng)非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量

i=1p

常見(jiàn)井網(wǎng)關(guān)鍵參數(shù)見(jiàn)表1。四點(diǎn)法井組：m=6；五點(diǎn)法井組：m=8；反九點(diǎn)法井組：m=4(邊井)，m=8(角井)；平面線(xiàn)性流：m=1；平面徑向流：m=1。

表1 常見(jiàn)井網(wǎng)關(guān)鍵參數(shù)表Tab.1The key parameters of some well patterns

5 計(jì)算與分析

以研究區(qū)某區(qū)塊為例進(jìn)行計(jì)算，該區(qū)塊基本參數(shù)見(jiàn)表2。對(duì)該區(qū)塊進(jìn)行取芯，并在室內(nèi)測(cè)試了其相滲曲線(xiàn)和綜合啟動(dòng)壓力梯度曲線(xiàn)，結(jié)果分別見(jiàn)圖3和圖4。

表2 某區(qū)塊基本參數(shù)Tab.2Parameters of a certain block

圖3 某區(qū)塊相滲曲線(xiàn)Fig.3Relative permeability curves of a certain block

圖4 油水兩相滲流的綜合啟動(dòng)壓力梯度曲線(xiàn)Fig.4Relationship between startup pressure gradient and water saturation

5.1 模型誤差分析

篩選了該區(qū)塊資料齊全、可對(duì)比分析的油水井組，采用非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量模型進(jìn)行了計(jì)算(定壓生產(chǎn))，并將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)動(dòng)態(tài)進(jìn)行了歸一化處理，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 油水兩相滲流結(jié)果對(duì)比Tab.3Comparison of calculation result and real production performance under oil-water two-phase flow

由以上結(jié)果可以看出，采用基于流線(xiàn)積分法的非穩(wěn)態(tài)模型計(jì)算得到的油水兩相非達(dá)西滲流條件下的產(chǎn)油量結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)結(jié)果的誤差是變化的，低含水期的計(jì)算誤差低于中高含水期，這說(shuō)明接近單相滲流時(shí)該模型的計(jì)算結(jié)果更精確。但模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際生產(chǎn)結(jié)果的誤差平均值僅為1.11%，完全能夠滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)產(chǎn)量預(yù)測(cè)的要求。

5.2 啟動(dòng)壓力梯度對(duì)產(chǎn)量的影響

假設(shè)油水井距為200 m，生產(chǎn)壓差為25 MPa，計(jì)算并繪制了四點(diǎn)法、五點(diǎn)法井網(wǎng)油井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)曲線(xiàn)，并取λ(1)=0，λ(2)=0為計(jì)算特例，對(duì)比分析了啟動(dòng)壓力梯度對(duì)油井日產(chǎn)油量的影響，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5、圖6。

圖5 四點(diǎn)井網(wǎng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5Comparison of calculation results of 4-spot well pattern

圖6 五點(diǎn)井網(wǎng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6Comparison of calculation results of 5-spot well pattern

由以上結(jié)果可以看出：在低滲透油藏中，不考慮啟動(dòng)壓力梯度的計(jì)算結(jié)果明顯大于考慮啟動(dòng)壓力梯度的計(jì)算結(jié)果；且考慮啟動(dòng)壓力梯度后，油井產(chǎn)量遞減更快。這說(shuō)明啟動(dòng)壓力梯度對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響大，低滲透油藏在進(jìn)行開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)及開(kāi)發(fā)方案制定時(shí)必須考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響。

5.3 井網(wǎng)對(duì)產(chǎn)量的影響

假設(shè)油水井距為200 m，生產(chǎn)壓差25 MPa，計(jì)算對(duì)比了四點(diǎn)井網(wǎng)、五點(diǎn)井網(wǎng)、反九點(diǎn)井網(wǎng)邊井與角井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)(圖7)，探討了井網(wǎng)形式對(duì)產(chǎn)量的影響。由圖7可以看出，在相同的生產(chǎn)條件下，五點(diǎn)井網(wǎng)產(chǎn)量最高。因此，對(duì)于新區(qū)井網(wǎng)部署和注水開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)時(shí)，如果條件允許，則應(yīng)首先考慮采用五點(diǎn)井網(wǎng)。

圖7 不同井網(wǎng)形式對(duì)產(chǎn)量的影響對(duì)比Fig.7Comparison of calculation results of different well patterns

以五點(diǎn)井網(wǎng)為例，假設(shè)生產(chǎn)壓差為25 MPa，計(jì)算對(duì)比了50，100，150，200及300 m井距條件下的油井日產(chǎn)量(圖8)，分析了井距對(duì)產(chǎn)量的影響。由圖8可以看出，井距越小，油井產(chǎn)量越高，但遞減越快，生產(chǎn)成本越高。因此，油田現(xiàn)場(chǎng)不能僅靠減小井距來(lái)提高產(chǎn)量，應(yīng)該綜合考慮油井產(chǎn)能、井控儲(chǔ)量及經(jīng)濟(jì)界限等因素的影響，才能確定合理的井距。

圖8 井距對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.8Comparison of calculation results of different well spacing under 5-spot well pattern

5.4 生產(chǎn)壓差對(duì)產(chǎn)量的影響

仍然以五點(diǎn)井網(wǎng)為例，假設(shè)井距為200 m，計(jì)算對(duì)比了10，15，20及25 MPa生產(chǎn)壓差條件下的油井日產(chǎn)量(圖9)，研究了生產(chǎn)壓差對(duì)產(chǎn)量的影響。由圖9可以看出，生產(chǎn)壓差越大，油井產(chǎn)量越大，提高生產(chǎn)壓差可以提高采油速度，縮短油田開(kāi)發(fā)周期，因此，合理提高生產(chǎn)壓差是油田增產(chǎn)的有效措施。

圖9 生產(chǎn)壓差對(duì)產(chǎn)量的影響Fig.9Comparison of calculation results of different production pressure differential under 5-spot well pattern

6 結(jié)論

(1)根據(jù)流線(xiàn)積分法基本原理推導(dǎo)了面積井網(wǎng)注水開(kāi)發(fā)非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算模型，并通過(guò)與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，證明了模型的可靠性，能夠滿(mǎn)足油田現(xiàn)場(chǎng)產(chǎn)量預(yù)測(cè)的要求。

(2)通過(guò)計(jì)算分析了啟動(dòng)壓力梯度對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響，指出在低滲透油藏開(kāi)發(fā)指標(biāo)預(yù)測(cè)及開(kāi)發(fā)方案制定的過(guò)程中必須考慮啟動(dòng)壓力梯度。

(3)探討了井網(wǎng)形式及井距對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響，指出在條件允許的情況下應(yīng)該盡量采用五點(diǎn)井網(wǎng)，但合理井距需要綜合考慮多種因素的影響才能確定。

(4)研究了生產(chǎn)壓差與油井日產(chǎn)量的關(guān)系，指出合理提高生產(chǎn)壓差能夠提高采油速度，縮短油田開(kāi)發(fā)周期，取得較好的開(kāi)發(fā)效果。

符號(hào)說(shuō)明

K—地層滲透率，mD；

K—rp油相相對(duì)滲透率，無(wú)因次；Krw水相相對(duì)滲透率，無(wú)因次；φ孔隙度，無(wú)因次；

p—e注水井井底流壓，MPa；

p—w采油井井底流壓，MPa；

p—油水前緣壓力，MPa；

μ—p油黏度，mPa·s；

μ—w水黏度，mPa·s；

λ—(p1)兩相滲流區(qū)油相啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；

λ—(w1)兩相滲流區(qū)水相啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；

λ—(1)兩相滲流區(qū)綜合啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；

λ—(2)單相滲流區(qū)啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；

S—w含水飽和度，無(wú)因次；

S—wf前緣含水飽和度，無(wú)因次；

S—pr殘余油飽和度，無(wú)因次；

Z—可動(dòng)油飽和度，無(wú)因次；

A—(x)流管截面積，m2；

t—流動(dòng)時(shí)間，s；

f—w(Sw)含水率，無(wú)因次；

f—p(Sw)含油率，無(wú)因次；

f—(pil-well)(Sw)油井井壁含油率，無(wú)因次；

p—fw'(Sw)含水率導(dǎo)數(shù)，無(wú)因次；f'(S)含油率導(dǎo)數(shù)，無(wú)因次；

pw

f—w'(Swf)油水前緣含水率導(dǎo)數(shù)，無(wú)因次；rw井半徑，m；

L—流管中軸線(xiàn)長(zhǎng)度，m；

l—油水井距，m；

ξ—油水前緣位置，m；

t—f油井見(jiàn)水時(shí)間，s；

q—w流管內(nèi)水流量，m3/s；

q—p流管內(nèi)油流量，m3/s；

q—(t)流管內(nèi)總流量，m3/s；

h—地層厚度，m；

d—平面線(xiàn)性流井排長(zhǎng)度，m；

m—井網(wǎng)系數(shù)，無(wú)因次；

a、b、A、B、C 相滲常數(shù)，無(wú)因次；

α0、β0—啟動(dòng)區(qū)域夾角，rad；

α1、β1—計(jì)算單元夾角，rad；

α、β—流管中軸線(xiàn)與油水井連線(xiàn)夾角，rad；Δα流管夾角，rad；

Qp—油井產(chǎn)量，m3/s。

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蒲軍，1982年生，男，漢族，四川南充人，工程師，碩士，主要從事低滲透及致密砂巖油藏開(kāi)發(fā)方面的研究。E-mail：pujun830@sohu.com

劉傳喜，1964年生，男，漢族，重慶銅梁人，教授級(jí)高級(jí)工程師，碩士，主要從事油氣藏開(kāi)發(fā)機(jī)理、生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析、開(kāi)發(fā)方案及戰(zhàn)略規(guī)劃等方面的研究。E-mail：lcx5189.syky@sinopec.com

尚根華，1964年生，男，漢族，河北行唐人，高級(jí)工程師，博士，主要從事提高采收率、核磁共振、油氣藏模擬和縫洞油藏不確定性及優(yōu)化等方面的研究。E-mail：shanggh.syky@sinopec.com

編輯：張?jiān)圃?/p>

編輯部網(wǎng)址：http：//zk.swpuxb.com

Non-steady Water-flooding Production Model of Areal Well Pattern Based on Flow Line Integral Method

PU Jun1，2，3*，LIU Chuanxi1，SHANG Genhua1
1.SINOPEC Petroleum Exploration and Production Research Institute，Haidian，Beijing 100083，China 2.Institute of Porous Flow and Fluid Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Langfang，Hebei 065007，China 3.University of Chinese Academy of Sciences，Shijingshan，Beijing 100190，China

The development of low-permeability reservoirs displays non-Darcy flow in the process of water-flooding，which makes the calculation methods based on Darcy's law not applicable.Based on the flow line integral method and considering the threshold pressure gradient，the production calculation formulas of the flow tube before and after water break-through were derived，then the calculation method of startup angle in the water-flooding development of areal well pattern was introduced，and finally the non-steady water-flooding production model of low-permeability reservoirs was established through numerical integration.This model could be used to predict the production of oil wells，and the reliability of the model was approved by comparison between calculation and realproduction.Applying the model to a certain block，we analyzed the effect of threshold pressure gradient，areal well pattern and production pressure drop in oil production.The results show that the threshold pressure gradienthad great influence on the production ofoil well，so it could not be ignored when predicting the development index；the production of five-spot well pattern was larger than others while its decrease was slow，so the five-spot well pattern is suggested in the oilfield；and the increase in production pressure drop could enhance the rate of production and shorten the development cycle of oilfields.

low-permeability reservoir；threshold pressure gradient；non-Darcy flow；flow line integral method；startup angle

10.11885/j.issn.16745086.2014.10.15.01

16745086(2016)05009710

TE348

A

http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1718.TE.20161010.1146.012.html

20141015

時(shí)間：20161010

蒲軍，E-mail：pujun830@sohu.com