江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學　史燕萍

借助信息技術平臺，化解直角坐標系中等腰直角三角形問題

江蘇省淮安市淮陰區(qū)開明中學史燕萍

以平面直角坐標系為載體，加上等腰直角三角形的條件，易形成綜合性較強的問題，此類題型往往將點坐標知識、等腰三角形性質、三角形全等、勾股定理等知識貫穿其中，并運用數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想解決問題。而運用信息技術，進行資源整合，優(yōu)化此類問題的解法，可提高學生的綜合能力。

一、運用課件展示圖形，根據等腰三角形“三線合一”求點坐標

（1）求k的值和邊AC的長；

（2）求點B的坐標。

二、運用信息技術將三角形旋轉變化，根據三角形全等得等量關系

例2將等腰直角△ABC斜放在平面直角坐標系中，使直角頂點C與點（1，0）重合，點A的坐標為（-2，1）。

（1）求△ABC的面積S；（2）求直線AB與y軸的交點坐標。

【分析】（1）證△ACD≌△CBE，

【點評】作輔助線構造三角形全等得到對應邊相等是解決問題的關鍵。

三、運用信息技術作出輔助線，根據分類討

論思想畫出兩種圖形

例3如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，0）、B（0，4），以AB為斜邊作等腰直角△ABC，則點C坐標為_____________。

【分析】由于題中點C的位置不確定，所以有圖①圖②兩種情況，需要分類討論，并作輔助線根據全等得結論。

【點評】本題考查了坐標與圖形性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；難點在于分類思想的運用。

四、運用信息技術展示旋轉過程，根據數(shù)形結合思想得到數(shù)量關系

圖1

圖2

圖3

（1）求k的值；

（2）如圖2，過點O作OD⊥AC于D，求CD2-AD2的值；

（3）如圖3，將△AOB繞點A逆時針旋轉，射線AO交x軸正半軸于點P，射線AB交（1）中雙曲線上于點Q，△PAQ能否成為以A為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求點P，Q的坐標；若不能，說明理由。

【分析】（1）首先過點A作AM⊥x軸于點M，AN⊥y軸于N，則AM=AN，進而得出A點橫縱坐標相等，進而代入一次函數(shù)解析式求出即可；

（2）由（1）得AD2=OA2-OD2①，CD2=OC2-OD2②，利用②-①：CD2-AD2=OC2-OA2求出即可；

（3）如圖易證△AOP≌△ABQ（ASA），再根據OP=BQ可求出點P，Q的坐標。

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應用、全等三角形的判定與性質、勾股定理的應用等知識，需利用數(shù)形結合找出全等三角形從而得出數(shù)量關系。

五、中考真題再現(xiàn)

1.（2016鎮(zhèn)江）如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點O是正方形OABC的一個頂點，已知點B坐標為（1，7），過點P（a，0）（a＞0）作PE⊥x軸，與邊OA交于點E（異于點O、A），將四邊形ABCE沿CE翻折，點A、B分別是點A、B的對應點，若點A恰好落在直線PE上，則a的值等于（）。

【分析】本題考查了正方形的折疊和全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是通過作輔助線構造三對三角形全等，用字母表示點A的坐標并列出方程求出點A坐標，再進一步得出OP長。理解AE在PE上時，AB與x軸平行并正確作圖是難點。

思考與感悟：

1.巧借信息技術進行資源整合

信息技術的豐富資源，為教師提供了海量的教學資源，開闊了視野，激活了思維，為教師打造高效的專題性教學提供了寶貴的素材，也改變學生學習的方式，為學生提供探索復雜問題、多角度理解數(shù)學思想的機會，開闊了學生數(shù)學探索的視野。

2.變式訓練提升學生學習能力

通過信息技術手段進行圖形的變化，讓學生體會相互間的聯(lián)系與區(qū)別，掌握舉一反三解決相關問題的方法與技巧。讓學生逐步學會變式，概括總結一類問題的解決策略，學生獲得的不僅僅是學習成績的提升，還有自主高效的學習能力提升。

【備注：本文系省級課題。信息技術條件下初中數(shù)學學習資源開發(fā)研究的研究成果，課題編號：30102】