李璐艷 付瑞元

摘 要：采用非線性規(guī)劃法解決企業(yè)生產(chǎn)、銷售中的最佳方案問題。結(jié)合公司最大需求和最大生產(chǎn)能力，列出約束條件，運(yùn)用Lingo軟件進(jìn)行求解，進(jìn)而得到公司利潤(rùn)最大化下的最佳生產(chǎn)、銷售方案，為中小企業(yè)制訂科學(xué)的生產(chǎn)、銷售計(jì)劃提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃；企業(yè)營(yíng)銷；Lingo

中圖分類號(hào)：F274 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2016）04-0059-02

一、非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

對(duì)實(shí)際非線性規(guī)劃問題做定量分析，首先要選定適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)變量和決策變量，并建立起目標(biāo)變量與決策變量之間的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)，并建立約束條件。非線性規(guī)劃問題的一般數(shù)學(xué)模型可表述為求未知量x1，x2...，xn，使?jié)M足約束條件：

gi（x1，...，xn）≥0，i=1，...，m

hj（x1，...，xn）=0，j=1，...，p

并使目標(biāo)函數(shù)f（x1，...，xn）達(dá)到最小值（或最大值）。其中g(shù)i（x1，...，xn）和hj（x1，...，xn）均是定義在n維向量空間Rn上的某子集D（定義域）上的實(shí)值函數(shù)，且f（x1，...，xn）、gi（x1，...，xn）、hj（x1，...，xn）中至少有一個(gè)是非線性函數(shù)。記x=（x1，...，xn），則上述模型可以簡(jiǎn)記為：

minf（x）或maxf（x）

s.t.gi（x）≥0，i=1，...，mhj（x）=0，j=1，...，p

定義域D中滿足約束條件的點(diǎn)稱為問題的可行解，全體可行解所組成的集合稱為問題的可行集。對(duì)于一個(gè)可行解x*，如果存在x*的一個(gè)領(lǐng)域，使目標(biāo)函數(shù)在x*處的函數(shù)值f（x*）不大于（或不小于）該領(lǐng)域中任何其他可行解處的函數(shù)值，則稱x*為問題的局部最優(yōu)解，如果f（x*）不大于（或不小于）一切可行解處的目標(biāo)函數(shù)值，則稱x*為該模型的整體最優(yōu)解。

二、應(yīng)用舉例

（一）案例介紹

宏宇電器公司計(jì)劃生產(chǎn)三類10種小家電，其中包括：熱水壺（1.5升、1.8升、2升）、豆?jié){機(jī)（0.9升、1.1升、1.3升）、電飯煲（2升、2.5升、3升、3.5升）。三類小家電的年最大生產(chǎn)能力分別為：熱水壺5萬個(gè)、豆?jié){機(jī)6.5萬個(gè)、電飯煲6.2萬個(gè)。制定使公司利潤(rùn)最大的的生產(chǎn)、銷售方案（數(shù)據(jù)來源：2010年東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽A題）。

（二）案例求解

公司的收入和支出來自計(jì)劃內(nèi)銷售和計(jì)劃外銷售兩部分，公司所承擔(dān)的計(jì)劃內(nèi)成本應(yīng)該根據(jù)計(jì)劃內(nèi)的產(chǎn)品數(shù)量占總產(chǎn)品數(shù)量的比值確定，即：

公司承擔(dān)的生產(chǎn)成本=總成本×

公司利潤(rùn)的表達(dá)式：

公司總利潤(rùn)=已簽約合同的銷售額+意向簽約合同的銷售額+計(jì)劃外營(yíng)銷部上繳利潤(rùn)-計(jì)劃內(nèi)成本-經(jīng)費(fèi)

第1種小家電的銷售額與訂購(gòu)量的函數(shù)關(guān)系為：

f1（x）=-0.26713x2+11.418x+1.3873

同理可以得到，第2至10種家電銷售額與其訂購(gòu)量的函數(shù)關(guān)系。記fi（x）為第i種小家電的銷售額，i=1，2，...，10，x代表訂購(gòu)量。

同理，記gi（y）為計(jì)劃外銷售第i種小家電營(yíng)銷部向企業(yè)繳納的利潤(rùn)，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記mi（z）為第種小家電的經(jīng)費(fèi)，i=1，2，...，10，z代表產(chǎn)量；記ni（y）為第種小家電的經(jīng)費(fèi)，i=1，2，...，10，y代表銷售量；記ni（y）為第i種小家電的經(jīng)費(fèi)，i=1，2，...，10，y代表產(chǎn)量。

1.每個(gè)產(chǎn)品的訂購(gòu)量不能超過客戶的最大意向簽約量。xij≤Mij，其中xij代表第j個(gè)顧客對(duì)第i種小家電的訂購(gòu)量，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，Mij代表第j個(gè)客戶對(duì)第i種產(chǎn)品的最大簽約量。

2.計(jì)劃外產(chǎn)品的訂購(gòu)量不能超過其最大可能訂購(gòu)量。xi6≤Ni6，其中xi6代表計(jì)劃外的第i種小家電的訂購(gòu)量，i=1，2，...，10，Ni6代表計(jì)劃外第i種產(chǎn)品的最大可能訂購(gòu)量。

3.所有產(chǎn)品的訂購(gòu)量均不能為負(fù)數(shù)。xij≥0，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，6。

4.各類產(chǎn)品的訂購(gòu)量不能與超過其最大生產(chǎn)能力。∑3 i=1∑6 j=1xij≤12，∑6 i=4∑6 j=1xij≤20，∑3 i=7∑6 j=1xij≤19。

運(yùn)用Lingo軟件得到最大值t=697.33萬元，目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)的各變量取值。為使公司利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)的生產(chǎn)方案為：1至10種小家電分別對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量（千件）為：11.59、24.54、13.87、14、29、20、12、24.3、14.3、8.4。

相應(yīng)的銷售方案（如上表所示）。

本文表明，非線性規(guī)劃法能夠有效地解決企業(yè)經(jīng)營(yíng)中的生產(chǎn)、銷售方案問題，這是一種定量的科學(xué)的決策方法，對(duì)中小型企業(yè)具有特殊的適用價(jià)值。