王文昌

新民市周坨子學(xué)校，沈陽(yáng)新民110308

淺談教學(xué)中如何解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

王文昌

新民市周坨子學(xué)校，沈陽(yáng)新民110308

構(gòu)造思想方法是初中數(shù)學(xué)極為重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種體現(xiàn)創(chuàng)新思維的思想方法。利用構(gòu)造思想方法解析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，特別是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的構(gòu)造方式，能夠有效培養(yǎng)和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力。

初中數(shù)學(xué)；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；解題策略

近年來(lái)，中考數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題已成為考查學(xué)生的熱點(diǎn)題型，這類(lèi)題型不僅涉及到大量的知識(shí)點(diǎn)，而且能將幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)緊密結(jié)合，既考查學(xué)生的基木運(yùn)算能力、又考查學(xué)生的思維能力和空間想象能力，較綜合地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的素質(zhì)要求。但是由于這類(lèi)題型往往信息較多，綜合難度較大，學(xué)生得分情況很不理想。如何在平時(shí)教學(xué)中逐步滲透，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)、分析此類(lèi)題型的能力，理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系，達(dá)到提高思維品質(zhì)的目的，成為我們一線教師的必須思考的問(wèn)題。

那么我們?nèi)绾谓鉀Q這樣的問(wèn)題呢？這里與大家一起分享一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。我們處理動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的原則是：將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化，“動(dòng)中取靜”，處理好動(dòng)與靜的關(guān)系，分析出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，再利用其他相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題。

一、數(shù)學(xué)解題相關(guān)理論

在《怎樣解題》一書(shū)中，波利亞用一個(gè)表對(duì)學(xué)生解題思路有詳細(xì)的闡述。他認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)解題時(shí)，要按照以下四個(gè)階段進(jìn)行：

（一）理解題目

在求解問(wèn)題時(shí)，你必須理解題目，必須清楚地看到所要求的是什么。畫(huà)一張圖表，引入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，將題目條件的不同部分分開(kāi)，并能分別寫(xiě)出來(lái)。

（二）擬定方案

在求解問(wèn)題時(shí)，你必須了解各個(gè)項(xiàng)目是如何相關(guān)的，找出已知條件與未知量之間的聯(lián)系，然后得到解題思路，擬定一個(gè)解題方案。

如果找不到己知條件和未知量之間直接的關(guān)系，你可能不得不去考慮輔助題目。先嘗試去解某道相關(guān)的題目，找到己知條件和未知量之間的關(guān)系，然后能夠解出這道題目的一部分，最終要得到一個(gè)解題方案。

（三）執(zhí)行方案

在執(zhí)行你的解題方案時(shí)，檢查你的每一個(gè)解題步驟，清楚地看清你的每一步是否正確，是否可以證明它的正確性。

（四）回顧

在檢查你的結(jié)果時(shí)，你能否檢查出這個(gè)結(jié)果是否正確，或者你能否檢查出這個(gè)論證是否合理，你是否能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果，你是否能一眼就看出這個(gè)結(jié)果，你能在別的題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？［1］

二、實(shí)例探究

（一）單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例：如圖，∠C=90°，點(diǎn)A、B在∠C的兩邊上，CA= 30，CB=20，連結(jié)AB。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止。當(dāng)點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)不重合時(shí)，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E。F為射線CB上一點(diǎn)，且∠CEF=∠ABC。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）。

（1）用含有x的代數(shù)式表示CF的長(zhǎng)。

（2）求點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)x的值。

（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時(shí)，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）。求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（4）當(dāng)x為某個(gè)值時(shí)，沿PD將以D、E、F、B為頂點(diǎn)的四邊形剪開(kāi)，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形。請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合上述條件的x值。（3分）

解：（1）由題意知，△DBP∽△ABC，四邊形PDEC為矩形，成的三角形。如圖④，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí)，

（二）雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例：如圖①，在□ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12。點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-D-A運(yùn)動(dòng)，沿B-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度。點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度。P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），連結(jié)PQ。

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）。

（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S。求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②。在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段PQ掃過(guò)的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值。

（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C'、D'，直接寫(xiě)出C'D'∥BC時(shí)t的值。

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=8（t-1）= 8t-8

當(dāng)點(diǎn)P沿D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=50×2-8（t-1）= 108-8t

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=AB，t=1

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖①

作過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E

∴S=48t-48

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖③

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。

提示：當(dāng)C'D'在BC上方且C'D'∥BC時(shí)，如圖⑥

QC=OC

∴50-5t=58-8t+13，或50-5t=8t-58+13

當(dāng)C'D'在BC下方且C'D'∥BC時(shí)，如圖⑦

OD=PD

解得t=

（三）線動(dòng)問(wèn)題

解：分析題意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可。由題知：M（m，m），P（m，0），N（m+1，m+1），Q（m+

故只需表達(dá)MP、NQ即可。表達(dá)分下列四種情況：

三、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題策略探索

綜合上面典型動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題分析和解題方法探索，一般動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題突破策略大致步驟如下：

（一）仔細(xì)讀題，整體理解

仔細(xì)讀題的目的是為了理解題意，并能夠?qū)︻}目中已知條件做出準(zhǔn)確的分析，與可能要用到的知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)系，為下一步解題做好思維上的準(zhǔn)備.這一步是解題的關(guān)鍵。

（二）畫(huà)圖分析，理順動(dòng)向

“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”一般都與圖形有關(guān)，通過(guò)畫(huà)圖，動(dòng)手操作，在分析思維與直覺(jué)思維的相互作用下，可以直觀具體地一目了然其動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)向.然后再根據(jù)所畫(huà)圖表，首先分析其動(dòng)點(diǎn)是作有限的直線運(yùn)動(dòng)，或是作有限的圓周運(yùn)動(dòng)，還是作無(wú)限飾孟動(dòng)，如果是作有限的運(yùn)動(dòng)，還要考慮其動(dòng)點(diǎn)的分界點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的范圍；其次分析是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，還是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，明確動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，仔細(xì)揣摩，準(zhǔn)確定奪。就是在平時(shí)的解題中，當(dāng)局部的解題思維受阻后，仍需依靠直覺(jué)思維去重新探索、猜測(cè)和想象，直覺(jué)思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，而分析思維則是解決問(wèn)題的基本方法。所以在探索“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”突破方略時(shí)，要特別重視直覺(jué)思維在解決問(wèn)題時(shí)的指引方向和調(diào)整思路時(shí)的重要作用。

（三）動(dòng)中尋定，定中找動(dòng)

“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”的特點(diǎn)是其背景都是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系。在動(dòng)中尋求定點(diǎn)，設(shè)其“動(dòng)”的變量字母，利用特殊角、特殊線段建立等量關(guān)系；再?gòu)撵o中找出動(dòng)點(diǎn)分界點(diǎn)，就會(huì)大大降低“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”的解題難度。這就是說(shuō)對(duì)于數(shù)形結(jié)合的“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”，把動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成靜態(tài)問(wèn)題是解決“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”的一種比較好的思維方法，可以事半功倍地找到正確解題思路。

（四）定思路，探解法

考生首先可從解剖已知條件人手，分析已知條件，通過(guò)聯(lián)想，順藤摸瓜，根據(jù)其動(dòng)點(diǎn)的特征，找出與方程，或是函數(shù)、不等式、相似形、圓等相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，再聯(lián)想與其有關(guān)的定義、公理、定理，就可以有效地突破“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”解題難點(diǎn)，探索出解題思路。其次可以從題目要求的問(wèn)題產(chǎn)生聯(lián)想，由果索因：要求這個(gè)問(wèn)題必須先要求出什么，又要求出什么；同時(shí)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的特征聯(lián)想其等量關(guān)系，這樣，也容易從中獲得解題思路，探求出解題方法。

上述“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”解題思路探索，意在授之以漁，還要廣大考生細(xì)心研磨，從中悟出“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”解題技巧，輔以足夠演練，就可從容解答“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”。［4］

［1］馬濤.中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究［J］.寧夏：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（12）.

［2］孫世軍.淺談初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略［J］.江西：教師教育，2015.

［3］陸麗麗.探求不變量巧解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題［J］.浙江：中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2014（10）.

［4］唐修成.例談中考熱點(diǎn)“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”解題突破策略［J］.數(shù)學(xué)之友，2012（3）.

［5］蔡國(guó)飛.例談初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解法［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)：初中版，2014（9）.

［6］陶萬(wàn)里.以“靜”制“動(dòng)”——初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題舉例［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2011（4）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

王文昌（1971-），男，中學(xué)一級(jí)教師，大學(xué)本科。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。