陳晨
一、設(shè)計(jì)說明
(一)教材分析
平面解析幾何研究的主要問題是:(1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程;(2)通過方程,研究平面曲線的性質(zhì).前一節(jié)學(xué)生已經(jīng)根據(jù)橢圓的幾何條件建立起橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,因而本節(jié)的主要任務(wù)就是根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).這種根據(jù)曲線的方程去討論曲線的幾何性質(zhì)的研究(思想)方法,學(xué)生還沒有深刻的領(lǐng)悟,因此在教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷研究過程,形成研究體驗(yàn),領(lǐng)會(huì)解析幾何的基本思想方法,從而為后繼學(xué)習(xí)雙曲線及拋物線時(shí)學(xué)生的自主研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).
(二)本課教學(xué)的基本設(shè)想及研究問題
基本設(shè)想:從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)出發(fā),通過適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo),促使學(xué)生通過自己的主動(dòng)探究,理解并掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),領(lǐng)會(huì)解析幾何的基本思想方法.
研究問題:(1)基于學(xué)生現(xiàn)實(shí),設(shè)計(jì)有價(jià)值的啟發(fā)性問題,能否成功地激活學(xué)生的探究欲望;(2)對(duì)課前預(yù)設(shè)實(shí)踐性檢驗(yàn),為今后處理預(yù)設(shè)與生成問題積累經(jīng)驗(yàn).
二、教學(xué)簡(jiǎn)案
教學(xué)目標(biāo):(1)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的研究過程,理解橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率.(2)會(huì)利用橢圓的幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的問題.(3)引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)利用方程研究曲線的性質(zhì)的解析幾何思想.
教學(xué)重點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn):利用方程研究曲線的思想方法.
教學(xué)方法:引導(dǎo)探究法.
教學(xué)過程設(shè)計(jì):
(一)提出問題
步驟一:復(fù)習(xí)提問.
問1:橢圓是怎么定義的?
問2:根據(jù)條件|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c),我們求出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,有幾種形式?
(旨在激活學(xué)生有關(guān)橢圓的知識(shí)經(jīng)驗(yàn))
步驟二:明確研究問題.
引1:我們根據(jù)幾何條件求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的目的是什么?(提示:解析幾何中我們研究的是哪兩類問題?)
引2:我們已經(jīng)根據(jù)橢圓的幾何條件建立起橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,下一步的任務(wù)是什么?
揭題:橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
引3:橢圓有兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,我們是否需要一一加以研究呢?
(回憶解析幾何的基本思想,促使學(xué)生產(chǎn)生問題意識(shí),形成研究問題)
(二)引導(dǎo)探究
問題:請(qǐng)同學(xué)觀察橢圓,你能發(fā)現(xiàn)橢圓有何性質(zhì)嗎?(若學(xué)生有反映,則按照學(xué)生的思路進(jìn)行;若沒有反映再由教師引導(dǎo)進(jìn)入對(duì)稱性的教學(xué))
模塊一:對(duì)稱性.
步驟一:引導(dǎo)學(xué)生感知、欣賞橢圓的對(duì)稱美.
引1:仔細(xì)觀察一下這個(gè)橢圓,你發(fā)現(xiàn)橢圓的圖形有何美妙之處?(美不美?)
引2:那它關(guān)于什么對(duì)稱呢?
步驟二:?jiǎn)l(fā)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程理性地認(rèn)識(shí)其對(duì)稱美.
引1:我們從圖像觀察到橢圓的對(duì)稱美.能否換個(gè)角度通過它的方程來觀察橢圓的對(duì)稱美呢?(引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像)比如我們?cè)鯓油ㄟ^方程說明橢圓是關(guān)于x軸對(duì)稱呢?
(若學(xué)生不能做出回答)則提問:如果在橢圓上任取一點(diǎn)(x,y)那么它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是什么?這個(gè)點(diǎn)在不在橢圓上呢?(追問)如何說明這個(gè)點(diǎn)在橢圓上?
引2:如何說明橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱呢?如何說明橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢?
若前面學(xué)生未認(rèn)識(shí)到橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可提問:橢圓既關(guān)于x軸對(duì)稱,也關(guān)于y軸對(duì)稱,那么橢圓也關(guān)于什么對(duì)稱?
得出結(jié)論:橢圓具有對(duì)稱性,關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱,原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心,簡(jiǎn)稱為橢圓的中心.
(教學(xué)橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)以教師引導(dǎo)學(xué)生積極思維,其余以學(xué)生為主)
步驟三:總結(jié)并遷移研究橢圓對(duì)稱性的方法.
引:剛才是如何判斷橢圓的對(duì)稱性?這種方法能否運(yùn)用到一般的曲線中去呢?如果能,請(qǐng)研究下列方程所表示的曲線:(1)x2=4y;(2)x2+2xy+y=0的對(duì)稱性.
步驟四:引導(dǎo)學(xué)生利用橢圓對(duì)稱性畫橢圓.
引:我們借助于橢圓方程研究了橢圓的對(duì)稱性,那么知道了橢圓的對(duì)稱性有什么好處呢?利用橢圓的對(duì)稱性可以干什么呢?(運(yùn)用手勢(shì)在橢圓圖形上比畫提示學(xué)生)
步驟五:引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓對(duì)稱性的研究過程進(jìn)行小結(jié).
(旨在加強(qiáng)體驗(yàn),突出基本數(shù)學(xué)思想方法)
模塊二:頂點(diǎn).
步驟一:引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的頂點(diǎn).
引:在研究橢圓對(duì)稱時(shí),它的曲線上有沒有比較突出的對(duì)稱的點(diǎn)?如果有,是哪些點(diǎn)?你能指出來嗎?
步驟二:?jiǎn)l(fā)學(xué)生利用方程求頂點(diǎn)坐標(biāo).
引:那么它們的坐標(biāo)是多少呢?怎么求的?
步驟三:引導(dǎo)學(xué)生定義橢圓頂點(diǎn)、長軸、短軸.
步驟四:引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真、善、美的統(tǒng)一.
引1:三個(gè)參數(shù)a,b,c都有了各自的幾何意義,它們是?
引2:橢圓方程中的b是怎么來的?
引3:三個(gè)參數(shù)a,b,c它們之間有何關(guān)系?在橢圓的圖形上有反映嗎?
步驟五:練習(xí)鞏固,深化理解.
步驟六:引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓的頂點(diǎn)的研究過程進(jìn)行小結(jié).
(意在強(qiáng)化解析幾何的基本數(shù)學(xué)思想方法)
模塊三:范圍.
步驟一:引導(dǎo)學(xué)生感知橢圓的范圍.
引1:橢圓有這樣四個(gè)頂點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)的位置有何特殊?能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來嗎?
引2:你能畫出不等式組所表示的平面區(qū)域嗎?
步驟二:?jiǎn)l(fā)學(xué)生理性地推導(dǎo)橢圓的范圍.
引:那我們能否也通過橢圓方程對(duì)其加以驗(yàn)證呢?
步驟三:引導(dǎo)學(xué)生利用橢圓的范圍作橢圓的草圖.
根據(jù)范圍,畫出下列橢圓的草圖:
(1)x216+y24=1;
(2)x216+y29=1.
步驟四:引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓范圍的研究過程進(jìn)行小結(jié).
(再次強(qiáng)調(diào)解析幾何的基本思想方法)
模塊四:離心率.
步驟一:引導(dǎo)學(xué)生感知橢圓存在扁圓程度不一.
引:請(qǐng)大家觀察下列各圖中的兩個(gè)橢圓,它們有什么區(qū)別?
步驟二:引導(dǎo)學(xué)生尋求描述橢圓扁圓程度的量——離心率.
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)3個(gè)圖進(jìn)行研究:影響這兩個(gè)橢圓扁圓的因素有哪些?如何來描述它們的扁圓程度呢?
啟發(fā)學(xué)生:橢圓中一共有三個(gè)參數(shù),共六個(gè)比值,選擇哪一個(gè)來表示橢圓的扁圓程度呢?
引導(dǎo)學(xué)生共同分析,借助于直觀手段,確定e=ca.
步驟三:運(yùn)用橢圓的離心率比較其扁圓程度.
試比較下列橢圓的(1)y24+x2=1;(2)x2+3y2=1的扁圓程度.
步驟四:引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓離心率的研究過程進(jìn)行小結(jié).
(體驗(yàn)幾何問題代數(shù)化的思想)