張儉衣

運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法巧解函數(shù)題

張儉衣

函數(shù)相關(guān)的問題復(fù)雜多變，計(jì)算量大，若能在解題中靈活運(yùn)用一些技巧，可大大減少計(jì)算量，提高解題速度，這對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們解決問題的靈活性也大有幫助.下面就一些常用的技巧舉例加以說明.

一、巧取特殊值

A.y1

C.y2

【分析】若直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)去比較大小，由于圖像上的三點(diǎn)不在同一個(gè)分支，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.這里可以通過取特殊值轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算進(jìn)行比較.

【點(diǎn)評(píng)】在一些函數(shù)問題中，若對(duì)函數(shù)的自變量中所有值進(jìn)行全面考慮，問題比較復(fù)雜.但若能取一些有代表性的特殊值，進(jìn)行簡(jiǎn)化思考、計(jì)算，就能使解題快捷.但需要注意的是，所取的特殊值必須滿足題目的條件.

二、巧用整體思想

例2已知y+m與x+n（其中m，n是常數(shù)）成正比例關(guān)系，且當(dāng)x=-1時(shí)，y=-15；當(dāng)x=7時(shí)，y=1，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)定義可設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，將條件代入后把多元的方程組問題通過添加括號(hào)成為二元一次方程組，使不便求解的問題得到解答.

解：設(shè)y+m=k（x+n）（其中m，n是常數(shù)，k≠0），∴y=kx+（kn-m）.

∵x=-1時(shí)，y=-15；x=7時(shí)，y=1，

∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-13.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)問題中出現(xiàn)若干個(gè)相同的部分或問題中關(guān)系式的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，可把一些有關(guān)系的量看作一個(gè)整體來處理.

三、巧用對(duì)稱性

A.-6B.-9C.0D.9

【分析】利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特性，把兩點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成一點(diǎn)的坐標(biāo)再解答.

解：由函數(shù)圖像的對(duì)稱性知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴x2=-x1，y2=-y1，

從而x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=-2x1y1.

故x1y2+x2y1=-6.

應(yīng)選A.

【點(diǎn)評(píng)】利用對(duì)稱性解題是指利用正比例函數(shù)圖像、反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特性進(jìn)行解題的一種技巧.當(dāng)函數(shù)圖像關(guān)于某直線對(duì)稱時(shí)，也可用對(duì)稱性進(jìn)行巧妙解答.

四、巧用數(shù)形結(jié)合

例4已知一次函數(shù)y=（m+2）x+（1-m），y隨x的增大而減小，且它的圖像與x軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，則m的取值范圍是____________.

【分析】因?yàn)閥隨x的增大而減小，直線從左向右呈下降趨勢(shì)，它的圖像又與x軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，根據(jù)題意畫出相應(yīng)一次函數(shù)圖像，由圖像列出不等式組并解之可求得m的范圍.

解：由題意畫出函數(shù)的示意圖（如圖1），

圖1

解得m<-2.

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)形結(jié)合是指利用圖形來幫助解答一些代數(shù)問題的一種方法.在函數(shù)相關(guān)的問題中若涉及的內(nèi)容較難或較繁可考慮利用圖像的直觀性來幫助思考；反之，一些圖像問題也可用代數(shù)的辦法加以解決.

小試身手

1.點(diǎn)P（x-1，x+1）不可能在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.不論數(shù)a取什么值，直線y=ax-2a+1總通過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.

3.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式-m2+m+2016的值為（）.

A.2014B.2015

C.2016D.2017

4.（2015·徐州）若函數(shù)y=kx-b的圖像如圖2所示，則關(guān)于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集為（）.

A.x＜2B.x＞2

C.x＜5D.x＞5

5.如圖3，過原點(diǎn)的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)的圖像分別交于兩點(diǎn)A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA.四邊形ABCD的形狀一定是_______.

圖2

圖3

7.已知x滿足0≤x≤5，y1=x+2，y2=-2x+ 5，對(duì)任意一個(gè)x，y1，y2中的較大值用m表示，則m的最小值是_______.

參考答案

1.D2.（2，1）3.B4.C5.平行四邊形6.37.3.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）