衛(wèi)顏俊，馮博琴，伍衛(wèi)國

（1. 西安交通大學(xué)計算機教學(xué)實驗中心，陜西 西安 710049；2. 西安交通大學(xué)計算機系，陜西 西安 710049）

基于多項式一致逼近的多閾值圖像分割算法

衛(wèi)顏俊1，馮博琴1，伍衛(wèi)國2

（1. 西安交通大學(xué)計算機教學(xué)實驗中心，陜西 西安 710049；2. 西安交通大學(xué)計算機系，陜西 西安 710049）

針對傳統(tǒng)多閾值圖像分割算法的計算復(fù)雜性，以及由圖像直方圖中毛刺的干擾帶來的算法不穩(wěn)定等缺點，提出一種基于伯恩斯坦多項式一致逼近的多閾值圖像分割算法。首先根據(jù)逼近論中的威爾斯托拉斯定理構(gòu)造圖像直方圖曲線的伯恩斯坦多項式，然后將圖像直方圖的峰谷值計算問題化簡為伯恩斯坦多項式的極值問題，該極值問題可由伯恩斯坦多項式函數(shù)的一次、二次微分導(dǎo)出，最后依據(jù)這些極值和極性應(yīng)用分類算法自動標(biāo)注圖像直方圖的實際峰谷值，由此完成基于多閾值的圖像分割。實驗結(jié)果表明所提算法不受直方圖中毛刺的干擾，算法整體穩(wěn)定，冗余計算少，時間復(fù)雜度小，用時少，效率高，逼近性能和分割效果更好。

圖像分割；圖像直方圖；閾值；一致逼近；伯恩斯坦多項式；距離空間

1 引言

因特網(wǎng)上每時每刻都在發(fā)生著巨量的數(shù)據(jù)交換，內(nèi)容除了文本信息之外，很大一部分都是數(shù)字圖像和視頻信息，對數(shù)字圖像處理方法的研究就顯得非常重要。圖像分割又是整個圖像處理的一個重要的階段，它直接影響到圖像的特征提取、目標(biāo)識別和計算機視覺等后期處理。圖像分割一般是指根據(jù)圖像中的灰度、顏色、紋理、形狀和邊緣等特征把圖像劃分成若干互不重疊的目標(biāo)和背景的2個區(qū)域，并使這些特征在同一區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)出相似性，而在不同區(qū)域間呈現(xiàn)出明顯的差異性。圖像分割方法總體可分為基于閾值、基于邊緣檢測、基于區(qū)域提取和結(jié)合特定理論的方法等。而基于閾值的分割方法又可以分為全局閾值法、自適應(yīng)閾值法、最佳閾值法和數(shù)學(xué)理論閾值法等。其中，全局閾值法包括圖像直方圖的峰谷法、迭代法、最大類間方差法和最大熵自動閾值法等[1～6]。

但是在圖像有噪聲的情況下，其直方圖包含有毛刺，此時的問題變得復(fù)雜化，以上這些求閾值的方法就不再能很好地適合，通常的做法是使用一維濾波等手段對直方圖先進(jìn)行平滑處理，然后再進(jìn)行分割。

進(jìn)一步，SHEN等[7]提出了一種新的自適應(yīng)圖像分割方法，它是一種基于灰度圖像直方圖熵和遺傳算法相結(jié)合的算法，將分割問題重新定義為一個優(yōu)化問題來解決。王亮申等[8]提出了適應(yīng)度標(biāo)定公式，使適應(yīng)度函數(shù)能夠正確引導(dǎo)群體的發(fā)展方向，從而提高收斂速度，分割方法仍然采用最大類間方差法來進(jìn)行。李哲學(xué)等[9]提出的快速多閾值圖像分割法其實是對最大類間方差法的二分法擴(kuò)展。安豐玲等[10]利用多閾值分割結(jié)果，通過全局內(nèi)區(qū)間直方圖的均衡和基于均衡直方圖對區(qū)間內(nèi)的灰度拉伸，實現(xiàn)了圖像增強，盡管是圖像增強方法，但在圖像分割中也值得參考。邢延超等[11]提出了一種基于知識的多閾值融合的圖像分割新方法，將圖像各位置的最佳連通域組合為最終圖像分割結(jié)果，特點是將融合的先驗和智能方法引入圖像分割。曹增強等[12]提出了一種去除圖像毛刺的快速算法，該方法克服傳統(tǒng)的中值濾波的缺點，通過對毛刺形狀歸類，跟蹤毛刺穿插于邊界的整個過程，快速消除圖像毛刺。黃琴波等[13]概述了如何將模糊方法、活動輪廓模型、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等最新理論和思路應(yīng)用在圖像分割領(lǐng)域中。許新征等[14]也進(jìn)一步概述了圖像分割的新理論和新方法，比如數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)、模糊集、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機、免疫算法、圖論和粒度計算等在圖像分割方面的應(yīng)用。

還可以采用數(shù)學(xué)理論求閾值，使用數(shù)學(xué)統(tǒng)計方法、聚類分類方法、泛函分析方法[15]、代數(shù)插值方法、樣條函數(shù)方法以及函數(shù)逼近理論方法[16]。

程東旭等[17]對基于樣條插值的圖像分割算法進(jìn)行了研究，使用樣條插值方法對圖像的灰度直方圖進(jìn)行曲線擬合，獲得直方圖的曲線表達(dá)，再利用對函數(shù)求極值的方法獲取閾值，進(jìn)而對圖像進(jìn)行閾值分割。陳爭光等[18]也進(jìn)行了類似的研究工作。

本文提出一種借助于逼近論中的伯恩斯坦多項式函數(shù)一致逼近方法來進(jìn)行基于多閾值的圖像分割。該方法以逼近理論為前提，比傳統(tǒng)的閾值方法求解步驟簡單，比一般的數(shù)學(xué)插值方法的計算過程簡單，可操作性和應(yīng)用性也較強，支持圖像分割中直方圖的去噪和多閾值求解。

數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中時常帶有噪聲干擾，其灰度直方圖自然也會出現(xiàn)噪聲，主要表現(xiàn)是直方圖曲線上的大量毛刺現(xiàn)象。借助于伯恩斯坦多項式的光滑性、保凸性、保符號性和保單調(diào)性等諸多優(yōu)良性質(zhì)，其對一般曲線的全局輪廓逼近非常好，從而避開了直方圖曲線上的噪聲，并通過多極值的求解很快獲得原直方圖曲線上的多峰谷值，從而獲得多閾值。

2 灰度直方圖的伯恩斯坦一致逼近多項式

2.1 威爾斯托拉斯定理

1885年，威爾斯托拉斯（Weierstrass）提出了對于連續(xù)函數(shù)，記作 f(x)，存在多項式逼近函數(shù)，記作P(x)，以下是威爾斯托拉斯第一逼近定理[19]。

設(shè) f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則?ε＞0，?P(x)多項式滿足不等式

對于?x∈[a,b]一致成立。

2.2 伯恩斯坦定理及伯恩斯坦多項式

1912年，伯恩斯坦（Bernstein）針對上述威爾斯托拉斯定理中的P(x)，構(gòu)造出以下的一種特殊一元n次多項式函數(shù)，稱為伯恩斯坦多項式，記作Bn(f,x)。

通過伯恩斯坦多項式，伯恩斯坦構(gòu)造性地證明了威爾斯托拉斯定理，以下是伯恩斯坦逼近定理[19]。設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，則伯恩斯坦多項式Bn(f,x)在[0,1]上一致收斂于 f(x)。伯恩斯坦定理不但證明了而且在 f(x)于[0,1]的各階導(dǎo)數(shù)存在的前提下，還進(jìn)一步證明了Bn(f,x)的各階導(dǎo)數(shù)也一致收斂于 f(x)相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)。本文用到Bn(f,x)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)。

2.3 伯恩斯坦多項式的性質(zhì)

伯恩斯坦多項式具有以下幾個重要性質(zhì)。

1) 保單調(diào)性質(zhì)

如果f(x)是[0,1]上的單調(diào)增（減）函數(shù)，則Bn(f,x)也是[0,1]上的單調(diào)增（減）函數(shù)。

2) 保符號性質(zhì)

如果f(x)≥0對x∈[0,1]成立，則Bn(f, x)≥0對x∈[0,1]也成立。

3) 線性性質(zhì)

對定義在[0,1]上的2個函數(shù)f(x)和g(x)，以及任何實數(shù) α 和 β，則 Bn(αf+βg,x)=αBn(f,x)+ βBn(g,x)成立。

4) 保凸性質(zhì)

設(shè) f(x)是[0,1]上的凸函數(shù)，則 Bn(f,x)也是[0,1]上的凸函數(shù)。

5) 磨光性質(zhì)

不論 f(x)曲線在[0,1]上的規(guī)整性如何，Bn(f,x)經(jīng)過反復(fù)作用總會將曲線變?yōu)橛善?個端點構(gòu)成的線段，即f(0)+[f(1)?f(0)]x。

6) 不動點性質(zhì)

對線性函數(shù) f(x)，Bn(f,x)具有不動點特性，即Bn(f,x)=f(x)。

總之，任何曲線與y=Bn(f,x)的交點數(shù)目都不大于曲線y=f(x)與y=Bn(f,x)的交點數(shù)目，Bn(f,x)幾何形態(tài)上非常相似于f(x)，但其光順性卻不低于f(x)。

以上這些性質(zhì)對本文非常重要，下面就利用它們進(jìn)行直方圖曲線的逼近。

2.4 伯恩斯坦多項式的推導(dǎo)

本文的問題針對的是 x∈[a,b]的情況，可使用變換公式，將x∈[a,b]的問題變?yōu)閠∈[0,1]的問題，從而得出滿足[a,b]區(qū)間與式(2)對應(yīng)的伯恩斯坦多項式。其中，f(x)為圖像灰度直方圖離散曲線函數(shù)。

為了算法與編程的需要，將 Qk(x)代入式(3)，并做進(jìn)一步的推導(dǎo)簡化后得到式(4)。式(4)的通項中含有4個子項，已用中括弧標(biāo)記出來，如果將第4子項，即設(shè)計為向量并先行計算，則整個式(4)對每個x（x∈[a,b]）來說的時間復(fù)雜度為O(n)。

根據(jù)圖像灰度直方圖的特點，可取[a,b]= [0,255]。

圖1為Lena樣本圖像，圖2和圖3分別是圖1所對應(yīng)的灰度直方圖和n次逼近的伯恩斯坦多項式曲線（取n=1200）。從圖中可以看出，圖2中存在多處毛刺很難徹底消除，而圖3逼近于圖2且是平滑的。消除了大量的毛刺后使求極值變得容易了許多，并隨著n的增大，逼近程度會更好。

圖1Lena灰度圖像

圖2Lena灰度直方圖

圖3Lena灰度直方圖逼近的伯恩斯坦多項式曲線

2.5 伯恩斯坦多項式的極值

根據(jù)伯恩斯坦定理，可以將圖像灰度直方圖的峰谷值求解問題簡化為伯恩斯坦一元n次多項式的極值求解問題，并且避開了直方圖曲線上的大量毛刺干擾現(xiàn)象。

對式(2)的Bn(f,x)進(jìn)一步求一階導(dǎo)數(shù)，得到以下的Bn′?1(f, x)，Bn(f,x)函數(shù)的極值問題又簡化為一元 n?1次多項式Bn′?1(f, x)所組成的方程的求根問題。

這里，因為最關(guān)心的是 x∈[a,b]情況下的求導(dǎo)結(jié)果，所以直接使用式(4)對Cn(f,x)函數(shù)求關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)即可。從而得出滿足[a,b]區(qū)間的伯恩斯坦多項式的一階導(dǎo)數(shù)

對式(6)中做進(jìn)一步的推導(dǎo)簡化后得式(7)。

式(7)中通項含有4個子項，已用中括弧標(biāo)記出來，如果將第4子項，即設(shè)計為向量并先行計算，則整個式(7)對每個x（x∈[a,b]）來說的時間復(fù)雜度為O(n)。

2.6 伯恩斯坦多項式的極性

再次根據(jù)伯恩斯坦定理，為了判斷曲線梯度的變化，對 Bn(f,x)進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)，得到以下的Bn′?2(f, x)，將Bn(f,x)函數(shù)的極值的極大、極小特性判定問題簡化為一元 n?2次多項式Bn′?2(f, x)值的正負(fù)值判定問題，當(dāng)為負(fù)時此處是原函數(shù)的極大點，為正時此處是原函數(shù)的極小點。

這里因為最關(guān)心的是 x∈[a,b]情況下的求導(dǎo)結(jié)果，所以直接使用式(7)對Cn′(f,x)數(shù)求關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)即可。從而得出滿足[a,b]區(qū)間的伯恩斯坦多項式的二階導(dǎo)數(shù)，做進(jìn)一步的推導(dǎo)簡化后得式(9)。式(9)中通項含有4個子項，已用中括弧標(biāo)記出來，如果將第4子項，即設(shè)計為向量并先行計算，則整個式(9)對每個 x（x∈[a, b]）來說的時間復(fù)雜度為O(n)。

結(jié)合式(4)、式(7)和式(9)，可以求得伯恩斯坦多項式Bn(f,x)的值以及一階、二階導(dǎo)數(shù)的值，從而得到圖像灰度直方圖f(x)的n次逼近值以及極值和極大極小特性。

由2.2節(jié)可知，求解伯恩斯坦多項式極值的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)換為求解伯恩斯坦多項式一階導(dǎo)數(shù)方程根的問題，極值的特性問題已經(jīng)轉(zhuǎn)換為求解伯恩斯坦多項式二階導(dǎo)數(shù)的問題，在一階導(dǎo)數(shù)為零的情況下，如果二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時，為極大值；否則為極小值。

根據(jù)以上的極值和極性的計算式，并使用第3節(jié)介紹的算法自動標(biāo)注出恩斯坦多項式曲線上的全部極值點。對圖3的極值求解，結(jié)果如圖4所示。

圖4Lena灰度直方圖逼近的伯恩斯坦圖的極值

3 算法實現(xiàn)

3.1 伯恩斯坦多項式的求解算法

算法1伯恩斯坦多項式的求解算法

輸入f(x)在[a,b]上的全部值以及n的值。

輸出Cn(f,x) 在[a,b]上的全部值。

begin

步驟2取s=1; 對于(k=1;k≤n;k++)

步驟3對于(x = a; x≤b; x++) 計算以下值。

1) 取 v[n]=1；對于(k = 1; k ≤ n; k++) 計算v[n?k]= v[n ? k + 1]的值。

2) 取 u = 1; Cn(f,x) = f[0]·u·v[0]; w=0;對于(k = 1;k ≤ n; k++)計算以下值：

② w=f[(kh)]·u·v[k];

③ Cn(f,x) = Cn(f,x)+ w。

3) 計算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。

步驟4返回Cn(f,x) 的值。

end

3.2 伯恩斯坦多項式極值的求解算法

算法2伯恩斯坦多項式極值的求解算法

輸入f(x)在[a,b]上的全部值以及n的值。

輸出Cn(f,x) 在[a,b]上的全部值。

begin

步驟2取s=1; 對于(k=1;k≤n;k++)

步驟3對于(x = a; x≤b; x++) 計算以下值。

1) 取 v[n]=1；對于(k = 1; k≤n; k++) 計算 v[n ?k]= v[n ? k + 1]的值。

2) 取 u = 1; Cn(f,x)= (f[1·h]?f[0·h])·u·v[1]; w=0;對于(k = 1; k ≤ n?1; k++)計算以下值：

② w=(f[(k+1)h]?f[(kh)])·u·v[k+1];

③ Cn(f,x) = Cn(f,x) + w。

3) 計算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。

步驟4返回Cm(f,x) 的值。

end

3.3 伯恩斯坦多項式極性的求解算法

算法3伯恩斯坦多項式極性的求解算法

輸入f(x)在[a,b]上的全部值以及n的值。

輸出Cn(f,x) 在[a,b]上的全部值。

begin

步驟2取s=1; 對于(k=1;k≤n; k++)

步驟3對于(x = a; x≤b; x++) 計算以下值。

1) 取 v[n]=1；對于(k = 1; k ≤ n; k++) 計算v[n?k]= v[n ? k + 1]的值。

2) 取 u =1; Cn(f,x) = (f[2h]?2 f[1·h]+ f[0·h])·u·v[2];w=0；對于(k = 1; k ≤ n?2; k++)計算以下值：

② w=(f[(k+2) h]?2f[(k+1) h]+ f[(kh)])·u·v[k+2];

③ Cn(f,x)= Cn(f,x) + w。

3) 計算Cn(f,x) = Cn(f,x) s的值。

步驟4返回Cn(f,x) 的值。

end

算法1、算法2和算法3對于每一個x的時間復(fù)雜度都是O(n)。

通過算法 1得到了伯恩斯坦曲線在[a,b]上的值，通過算法2得到了伯恩斯坦曲線在[a,b]上的極值和極值點，通過算法3得到了伯恩斯坦曲線在[a,b]上的極性和極值點，從而獲得伯恩斯坦曲線在[a,b]上的極大值、極小值和極值點，即對應(yīng)直方圖上的全部峰值和谷值的估算和近似值，再由3.4節(jié)的類k-means最小距離分類算法找到圖像灰度直方圖上的全部實際峰值和谷值。

3.4 多閾值的求解算法

本小節(jié)首先介紹距離空間和距離的定義，然后使用類k-means的最小距離分類算法求解灰度直方圖的峰谷值，探測出圖像的多個閾值，最后實施基于多閾值的圖像分割。

1) 距離空間

定義1距離空間。設(shè)X為任意集合，如果對X上的任意2個元素x和y，都對應(yīng)一個實數(shù)ρ(x,y)，并且滿足以下3個條件：

① 非負(fù)性，ρ(x,y)≥0，其中，當(dāng)且僅當(dāng) x=y時ρ(x,y)=0；

② 對稱性，ρ(x,y)= ρ(y,x)；

③ 三點不等式，?x，y，z∈X，都有 ρ(x,y)≤ρ(x,z) +ρ(z,y)。則稱ρ(x,y)為x和y之間的距離，而稱X為以ρ(x,y)為距離的距離空間。

具體應(yīng)用時，對于不同的空間可以取不同形式的距離。比如，對于 n維歐式空間 Rn中的 2個n維向量 x= (ζ1, ζ2,… , ζn)和 y=(η1, η2,… , ηn)之間的距離定義如下

而對于空間C[a,b]中連續(xù)函數(shù)x(t)和y(t)之間的距離定義如下

2) 類k-means最小距離分類算法

首先選定k個分類估算值center[k]，它們是伯恩斯坦多項式曲線上的極值點，然后在直方圖曲線的對應(yīng)點的一定距離范圍（鄰域）內(nèi)，尋找直方圖上的準(zhǔn)極值點，將找到的點 data[n]不斷去修正center[k]，直到滿足要求為止，即可得到直方圖上的峰谷點和峰谷值。

算法4類k-means最小距離分類算法

輸入初始為k個分類和n個數(shù)據(jù)data[n];

輸出k個分類中心點center[k];

begin

步驟1隨機選擇k個初始分類中心點center[k]，比如 center[0]=data[0], …, center[k?1]=data[k?1]。

步驟2將data[0], … ,data[n]分別與center[0], …,center[k?1]相比較，與center[i]差值最少者標(biāo)記為i。

步驟3對于所有標(biāo)記為 i的點，重新按照以下公式計算新的center[i]。

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3，直到所有center[i]值的距離變化小于給定的閾值。

end

圖5是經(jīng)過類k-means最小距離分類算法得到的Lena灰度直方圖的峰谷值，圖6為對Lena圖像進(jìn)行多閾值分割后的結(jié)果，其中不同的目標(biāo)以及背景分別采用不同的灰度來填充。

4 性能與結(jié)果比較

4.1 對于不同類物體的多閾值圖像分割

圖5Lena灰度直方圖的峰谷值

圖6采用本文多閾值圖像分割算法后的Lena圖像

使用本文算法進(jìn)一步對不同類的典型物體圖像，比如apple、house、sky和vegetable等分別進(jìn)行圖像分割，這些圖像的灰度直方圖形狀差異較大，而本算法都可以實施分割，效果如圖 7所示，圖中的分割結(jié)果用不同的灰度標(biāo)識不同的目標(biāo)以及背景。

4.2 與傳統(tǒng)的閾值算法的性能比較

傳統(tǒng)的幾種求解閾值算法的一個共性問題是求解過程易受直方圖噪聲的影響，導(dǎo)致結(jié)果會有所偏差。對圖像進(jìn)行濾波平滑處理后可以部分消除這種噪聲，但會丟失圖像中的一些敏感信息。

針對Lena圖，幾種基于閾值的圖像分割算法的性能比較如表1所示，結(jié)果比較如圖6和圖8所示。實驗表明，雙峰法、迭代法和Otsu法是單目標(biāo)的；雙峰法、迭代法、Otsu法和最大熵法的計算方向性不強，且都需要提前平滑濾波來消除噪聲；Otsu法、最大熵法和本文算法的分割效果都比較理想，本文算法的步驟更簡單、易實施、用時少、且效果依n可調(diào)，這里n=1200。

表1幾種基于閾值的圖像分割算法的性能比較

圖8幾種基于閾值的圖像分割算法的結(jié)果比較

4.3 與最大熵法的結(jié)果比較

最大熵法和本文算法都是可以完成多閾值的分割算法，相比較而言，本文的算法因為不需要通過平滑濾波消除噪聲，實施起來更簡單，且保留圖像的細(xì)節(jié)，用時非常少。2種算法的分割效果接近，都比較好。另外，本文算法還與樣條算法進(jìn)行了比較，性能和效果均比較明顯。

5 結(jié)束語

本文提出的基于伯恩斯坦一致逼近多項式進(jìn)行多閾值圖像分割的算法，克服了以前一些算法的計算復(fù)雜、抗干擾差和不穩(wěn)定等方面的缺點，充分利用伯恩斯坦多項式的許多優(yōu)良性質(zhì)，大大簡化了閾值求解的步驟，整體上穩(wěn)定，時間復(fù)雜度小，用時少，效率高，逼近性能和分割效果均好，因此實用性較強。

本文的算法可以用于水果質(zhì)檢抽查和送樣方面的圖像識別的前期預(yù)處理應(yīng)用以及印制電路板焊點調(diào)試，也可用于視頻系統(tǒng)中幀圖像的壓縮傳送應(yīng)用。當(dāng)然本文的算法也有一定的局限性，仍需要進(jìn)一步優(yōu)化。比如收斂性較慢，當(dāng)階數(shù)n較小時，只能得到直方圖的輪廓逼近曲線，會丟失部分局部細(xì)節(jié)；當(dāng)提高階數(shù)n到一定程度時，基本可以滿足要求；而當(dāng)進(jìn)一步提高階數(shù)n幅度時，逼近趨勢變化不明顯，可以采用的一種優(yōu)化方案是使用切比雪夫多項式降階，從而提高收斂速度。

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Multi-threshold algorithm about image segmentation based on polynomial uniform approximation

WEI Yan-jun1, FENG Bo-qin1, WU Wei-guo2
(1. Computer Teaching amp; Experiment Centre, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. Department of Computer Science amp; Technology, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at those shortcomings of previous multi-threshold image segmentation algorithm such as large complexity and instability caused by the image histogram glitch interference, a new multi-threshold image segmentation algorithm was proposed using Bernstein polynomial to uniformly approximate histogram curve. First, according to the approximation theory of Weierstrass to construct Bernstein polynomial for the histogram curve, then more difficult peak value calculating of the histogram was reduced to the Bernstein polynomial extremal generating, that was exported easily by the first and second derivative of Bernstein polynomial function, and finally obtain the actual peak value of the image histogram by picking up these extremes and polar values and filtering through classification algorithm, and finish multi-threshold image segmentation. Experimental results show that the algorithm is insensitive for histogram glitch interference, the overall is stable, the redundant computation and time complexity are smaller, with less time and high efficiency, the approximate performance and segmentation effect are better.

image segmentation, image histogram, threshold, uniform approximation, Bernstein polynomial, distance space

s:The National Natural Science Foundation of China (No.91330117), The National High Technology Research and Development Program of China (863 Program) (No.2012AA01A306)

TP309

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016196

2016-06-15；

2016-08-31

國家自然科學(xué)基金資助項目（No.91330117）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（“863”計劃）基金資助項目（No.2012AA01A306）

衛(wèi)顏?。?962-），男，山西聞喜人，博士，西安交通大學(xué)講師，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、圖像處理、人工智能。

馮博琴（1942-），男，江蘇常州人，西安交通大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、智能網(wǎng)絡(luò)計算等。

伍衛(wèi)國（1963-），男，江西吉安人，西安交通大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、高性能計算、嵌入式網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等。